2025年高考第三次模拟考试卷：数学（天津卷01）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（天津卷01）（解析版），共14页。试卷主要包含了在下列函数中，为偶函数的是，设，，，则，已知a，，，则 .等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，故B正确.故选：B
2．已知，设命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】取,满足,但，必要性不成立，
由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立，
则是的充分不必要条件，故选：A
3．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图
下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．以上都不对
【答案】B
【解析】由题意，做出散点图如下图所示，

由图可知，日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系，
①正确，②错误，故选：B.
4．在下列函数中，为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；
对于B，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；
对于C，函数的定义域为，且，所以，故函数为偶函数；
对于D，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，故选C.
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为单增，所以，即.
因为单增，所以，即.
因为单减，所以，即.
综上所述：，故选C
6．已知两条不同直线及平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，的位置关系有平行、异面或相交，故A错；
对于B，与平面的关系是平行或，故B错；
对于C，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故C正确；
对于D，与平面的关系是平行或，故Ｄ错；故选Ｃ.
7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【解析】的图象向右平移个长度单位可得
，
因为是此函数的对称中心点，
则，解得，，
又因为，所以当时，，所以，
因为，则，所以，
所以在上的最小值为.故选：C
8．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】双曲线 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，腰长为的等腰三角形（为原点），，可得，即
解得 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．
故选C．
9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱长.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点.当底面水平放置时，液面高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】取底面梯形两腰的中点为，如下图所示：
由可得，
所以四边形与四边形的面积之比为，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的；
当底面水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的,
即可得液面高为，故选C
第二部分（选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．已知a，，，则 .
【答案】6
【解析】，故，，得，，所以.
11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是 ．
【答案】28
【解析】因为的展开式中二项式系数之和为256，
所以，故，即该二项式为
设其展开式的通项为，则，
当时，即，此时该项为
12．抛物线的焦点F恰好是圆的圆心，过点F且倾斜角为的直线l与C交于不同的A，B两点，则 ．
【答案】8
【解析】由题意知，焦点，则抛物线，
直线，设，，
联立消去y并整理得．则，
所以．
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ．
【答案】
【解析】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种，
其中甲、乙参加同一项目的方案种，
则所求的参赛方案一共有种；
因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，
则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案，
若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，
故总共有种不同的方案；
若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，
故共有种不同的方案；
同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案；
乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案.
所以.
14．如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 .
【答案】
【解析】，∴，∴，
则，
又，∴，
所以；
∵与共线，∴可设，，
∵，∴，
∴=，
=，
∴=，①
∵，
∴，，，②
把②代入①并整理得：∴，
∵，∴，∴，
解得：，∴或，
故的值为或．
15．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，令，则，
因为为增函数，所以当该方程在时无实数根时，
，所以，
①时，时有一个解，所以时，有一个解，
当时，是递减的，
则，
所以时有一个解，
即当时，恰有两个互异的实数解；
②时，在时无解，
此时，即，解得或（舍去），
所以方程在时有1个解，
即当时，方程只有一个实数解，
③时，在时无解，
则时，，
所以，该方程要在时有2个不等的实数解，
即函数在上有2个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的范围为，
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14分）在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，.
(1)求的值；
(2)求的周长；
(3)求的值.
【解】（1）在中，由正弦定理，，，
可得， …………………………1分
因为，所以，
即， …………………………3分
显然，解得． …………………………4分
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或． …………………………6分
由已知，，互不相等，所以，
所以． …………………………8分
（3）因为，所以， …………………………10分
所以，， …………………………12分
所以.…………………14分
17．（本小题满分15分）已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.

(1)求证：//平面ABC；
(2)求平面CED与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【解】（1）

在直三棱柱中，平面，且， …………………………1分
以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
易知平面ABC的一个法向量为， ……………3分
则，故， …………………………4分
又因为平面，故//平面 …………………………5分
（2），
设平面CED的法向量为，则，
不妨设， …………………………7分
因为，
设平面CED的法向量为，则，
不妨设 …………………………9分
则
因此，平面CED与平面夹角的余弦值为. …………………………11分
（3）因为，根据点到平面的距离公式，
则 …………………………14分
即点到平面CED的距离为. …………………………15分
18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围.
【解】（1）由椭圆的离心率为，
可设，，则， …………………………2分
四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为， …………………………4分
即，所以椭圆的方程为：. …………………………5分
（2）设，联立直线与椭圆，
消去y可得，
，
则，， …………………………7分
设PQ的中点为，则，
所以， …………………………8分
因为，所以，
所以， …………………………10分
所以，即，
所以， …………………………11分
又，所以，
又，故即， …………………………14分
所以的取值范围是，
所以面积的取值范围为. …………………………15分
19．（本小题满分15分）设是等差数列，其前项和为（），为等比数列，公比大于1．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
(3)设，求证：．
【解】（1）依题意设等差数列的公差为，
等比数列的公比为，
则，，
又，，
所以， …………………………3分
解得或（舍去），
所以，. …………………………5分
（2）由（1）可得 …7分
设的前项和为，
所以
. …………………………9分
（3）因为，
所以， …………………………11分
所以， …………………………13分
所以
. …………………………15分
20．（本小题满分16分）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
【解】（1），
则， …………………………2分
所以曲线在点处的切线方程为，
即； …………………………4分
（2）（i），
， …………………………5分
∵时，取得极值，∴，解得， …………………………6分
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为； …………………………8分
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得， …………………………10分
则
∴所证不等式等价于，
即， …………………………12分
不妨设，即证，
令，，
则， …………………………14分
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴ …………………………16分
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
100
109
115
118
121
134
141
152
168
175
186
203