河南省漯河第四高级中学2025年高考数学模拟试卷（含解析）

这是一份河南省漯河第四高级中学2025年高考数学模拟试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z=1−i3i5，则z+z−=( )
A. −2iB. 2iC. −2D. 2
2.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)=13x3+4x2+9x−1的极值点，则a5=( )
A. −4B. −3C. 3D. 4
3.设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M−m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，⋯，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且XA1+XA2+XA3+⋯+XAn=120，则n的最大值为( )
A. 14B. 15C. 16D. 18
4.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a，则cs(aπ3+2π3)=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
5.已知四个数a=lg2+lg52,b= lg2⋅lg5，c=lg2，d=lg5，其中最小的是( )
A. aB. bC. cD. d
6.已知圆C：x2+y2−8x=0上的两点P、Q到直线l：x=a(−20)的左焦点F1的直线与E的右支交于点P，与左支交于点Q，若cs∠PF1O=34,PQ=3QF1，PF1⋅OQ=0，则双曲线E的离心率为______．
14.已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA= ______．
四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6,b−c=1,sinC= 74．
(Ⅰ)求b的值及△ABC的面积；
(Ⅱ)求证：A=2C．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD//BC，AD=4，AB=AP=2，BC=1，M为PB的中点，PN=2ND．
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若Q为线段PC上一点，且A，M，Q，N四点共面，求三棱锥Q−ABC的体积．
17.(本小题100分)
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩(满分100分)统计如下表所示．
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；
(2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间[60,70)的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为p(00)的左，右焦点，焦距为2，离心率e=12，过左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：1|AF1|+1|BF1|为定值；
(3)求△ABF2内切圆的面积的最大值．
19.(本小题12分)
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号[x]，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[l]=1，[2.3}=2,[−1.5]=−2．
(1)分别求函数y=[sinx]和y=[x]的值域；
(2)若f(x)=min{xex,1(x+1)2}，求函数y=[f(x)]的值；
(3)若数列{an}满足：a1=4，an+1= an+22− an+1(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，求[Sn]的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵z=1−i3i5=1+ii=(1+i)ii2=1−i，
∴z−=1+i，
则z+z−=(1+i)+(1−i)=2．
故选：D．
先利用i3=−i，i5=i化简，再利用复数的除法运算求z，再求出z−，最后利用复数的加法运算即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵f(x)=13x3+4x2+9x−1，f′(x)=x2+8x+9，
a3，a7是函数f(x)=13x3+4x2+9x−1的极值点，
∴a3、a7是x2+8x+9=0的两个实数根，
∴a3⋅a7=9．
a5= a3a7=3．
故选：C．
f′(x)=x2−8x+6，a1、a11是函数f(x)=13x3+4x2+9x−1的极值点，可得a1、a11是x2−8x+6=0的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查满足条件的n的最大值的求法，考查非空真子集、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
要想n的值大，则特征值要尽可能小，A1，A2，A3，⋯，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令A1是只有1个元素的集合，则XA1=0，A2是含有两个相邻正整数的集合，则X A2=1时，能保证n的值最大，同理得：XA3=2，以此类推，得到XAn=n−1，利用等差数列求和公式列出方程，能求出n的最大值．
【解答】
解：要想n的值大，则特征值要尽可能小，
A1，A2，A3，⋯，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，
不妨令A1是只有1个元素的集合，则XA1=0，
A2是含有两个相邻正整数的集合，
则X A2=1时，能保证n的值最大，
同理得：XA3=2，以此类推，得到XAn=n−1，
∴0+1+2+⋅⋅⋅+(n−1)=n(n−1)2=120，
解得n=16或n=−15(舍)，
∴n的最大值为16．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：根据“数字黑洞“的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a=123，
则cs(aπ3+2π3)=cs(123π3+2π3)=cs(42π−π3)=csπ3=12．
故选：C．
根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得．
本题考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了学生的推理能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为a=lg2+lg52,b= lg2⋅lg5，
则12=a>b，
因为c=lg2，d=lg5，所以d>12>c，
因为b= lg2⋅lg5> lg22=lg2=c，
所以b>c，即c为最小值．
故选：C．
由已知结合对数运算性质及基本不等式即可判断．
本题主要考查了对数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
由y2⩾0得满足x2+y2−8x=0上的x∈[0,8]，所以x1，x2∈[0,8]，又−27，令h(x)=g(x)−f(x)=2x−2x2−4x，
求导得h′(x)=2xln2−4x−4，令φ(x)=2xln2−4x−4，
求导得φ′(x)=2x(ln2)2−4>14⋅2x−4>0，函数h′(x)在(7,+∞)上递增，
h′(x)>h′(7)>27ln2−32>27⋅12−32>0，函数h(x)在(7,+∞)上递增，
h(x)>h(7)=2>0，则g(x)>f(x)>0，
因此|f(x)|≤100|g(x)|，f(x)是O(g(x))的复杂函数，B是；
对于C，函数y=9⋅(32)x在R上单调递增，值域为(0,+∞)，
因此不存在正常数c，使得c≥f(x)g(x)成立，而g(x)>0，即不存在正常数c，使得|f(x)|≤c|g(x)|成立，
f(x)不是O(g(x))的复杂函数，C不是；
对于D，存在常数c=1|an|i=1n|ai|，取常数k=1，对任意x>k，
|i=0naixi|≤i=0n|ai|xi=xni=0n|ai|xi−n≤|an|xn⋅1|an|i=1n|ai|=c|g(x)|，
因此f(x)是O(g(x))的复杂函数，D是．
故选：ABD．
根据给定的定义，结合函数单调性、不等式性质及导数探讨单调性逐项推理判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，导数与单调性关系的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：数列{fn}满足f1=1，f2=1，fn+2=fn+fn+1(n∈N*)，
可得fn+2=fn+fn+1=fn+fn+fn−1=fn+fn+fn−fn−2=3fn−fn−2，故A正确；
f1+f3+f5+...+f2025=f2+f3+f5+...+f2025=f4+f5+...+f2025=f6+f7+...+f2025=，故B正确；
由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，可得连续三项由两个奇数和一个偶数构成，
若存在n∈N*，使得fn，fn+1，fn+2成等比数列，可得fn+12=fnfn+2，即有等式一边为奇数，另一边为偶数，不成立，故C错误；
f12+f22+f32+...+f20252=f1f2+f22+f32+...+f20252=f2(f1+f2)+f32+...+f20252=f2f3+f32+...+f20252=f3f4+...+f20252=，故D正确．
故选：ABD．
由数列的递推式和累加法、等比数列的性质，对选项分析可得结论．
本题考查数列的新定义和等比数列的性质，以及累加法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】2(只需p≥2的值即可)
【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M为C上任意一点，且总有|MF|≥1，
可得P2≥1，所以P≥2．
故答案为：2(只需p≥2的值即可)．
利用抛物线的性质，综合求解P，即可得到结果．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
13.【答案】2
【解析】解：设双曲线E的右焦点为F2，PF1的中点为M，连接PF2，MF2，
∵PQ=3QF1，且O为F1F2的中点，∴OQ//MF2，
又∵PF1⋅OQ=0，可得PF1⊥OQ，即PF1⊥OQ，∴PF1⊥MF2，
则△PF1F2为等腰三角形，∴|PF2|=|F1F2|=2c，
∴cs∠PF1O=|MF1||F1F2|=|PF1|2|F1F2|=34，可得|PF1|=3c，
由双曲线的定义，可得|PF1|−|PF2|=|PF1|−|F1F2|=3c−2c=c=2a，
∴双曲线E的离心率为e=ca=2．
故答案为：2．
设双曲线E的右焦点为F2，PF1的中点为M，由PQ=3QF1，得到OQ//MF2，再由PF1⋅OQ=0，得到PF1⊥MF2，得出|PF2|=|F1F2|=2c，根据cs∠PF1O=34，求得|PF1|=3c，结合双曲线的定义，得到|PF1|−|PF2|=c=2a，进而求得双曲线的离心率，得到答案．
本题主要考查双曲线离心率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】817
【解析】解：设△ABC三个内角A，B，C对应的边为a，b，c，对应的高为m，n，t，
△ABC面积等于1且CB=1，即S=1，a=1，
S=12am=12bn=12ct=1，S3=18abcmnt=1，
mnt=8abc=8cb，
因为S=12cbsinA=1，
所以cb=2sinA，mnt=4sinA，
因为csA=c2+b2−a22cb≥2cb−12cb=1−12cb，当且仅当c=b时取得等号，
所以2cb≤11−csA，即4sinA≤11−csA，
sinA1−csA=2sinA2⋅csA22sin2A2=ctA2≥4，
故tanA2≤14，
可得sinA=2tanA21+tan2A2=2tanA2 +1tanA2≤214+4=817，
所以当△ABC三条高的乘积取最大值时，sinA的值为817．
故答案为：817．
设△ABC三个内角A，B，C对应的边为a，b，c，对应的高为m，n，t，由面积公式可推导出mnt=4sinA，利用余弦定理、基本不等式及三角恒等变换可求得sinA的最大值，从而可得结论．
本题主要考查三角形面积公式，余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
15.【答案】(Ⅰ)5，15 74；
(Ⅱ)证明见解析．
【解析】解：(Ⅰ)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=6,b−c=1,sinC= 74，
由sinC= 74，可得csC=±34，
根据余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，且a=6，b−c=1，
所以c2=36+(c+1)2±9(c+1)，整理得37+2c±9(c+1)=0，
显然46+11c=0不成立，所以37+2c−9(c+1)=0，可得c=4，则b=5，
根据三角形的面积公式可得S△ABC=12absinC=12×6×5× 74=15 74；
证明：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：a=6，b=5，c=4，
根据余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=34，
则cs2C=2cs2C−1=18，
又由csA=b2+c2−a22bc=25+16−362×5×4=18，所以csA=cs2C，
因为A，C∈(0,π)，且A+C