湖南省株洲市九方中学2025年高考数学调研试卷（含解析）

这是一份湖南省株洲市九方中学2025年高考数学调研试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.1+3ii2+i3=( )
A. 2−iB. 1+2iC. 1−iD. −2−i
2.已知双曲线x22−y2=1与双曲线y24−x2b2=1(b>0)的离心率相同，则b=( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 8
3.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，若a在b上的投影向量为− 3b，则〈a,b〉=( )
A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. 7π12
4.在二项式( x+12⋅4x)n的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. 16B. 14C. 512D. 13
5.对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线的解析式可以用ρx=αex2π表示，其中α>0，x∈[0,+∞)，则( )
A. ρe0.05>ρsin5π24>ρln1.5B. ρe0.05>ρln1.5>ρsin5π24
C. ρsin5π24>ρln1.5>ρe0.05D. ρln1.5>ρsin5π24>ρe0.05
6.已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，其外接球球心O满足O1O=3OO2，则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积之比为( )
A. 20 513B. 10 1013C. 10 513D. 1013
7.已知0b>0)的离心率为 22，C上一动点P到右焦点F的距离的最小值为 6− 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线PF的斜率为1，且PF与C交于P，Q两点，求|PQ|；
(3)若原点O到直线l的距离为1，且直线l与C交于A，B两点，且OA+OB=OP，求四边形OAPB的面积．
19.(本小题17分)
给定平面上一些点的集合D及若干个点P1，P2，⋯，Pn，Pi∈D(i=1,2,⋯,n)，若对于∀P∈D，i=1n|PPi|2为定值，我们就称(D,P1,P2,⋯,Pn)为一个稳定点集．
(1)判断集合D={(x,y)|x≥0，y≥0，x+y≤2}与点P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)构成的(D,P1,P2,P3)是不是稳定点集，并说明理由；
(2)判断集合U={(x,y)|x2+y2=2}，以及点A(1,1)，B(1,−1)，C(−1,1)，D(−1,−1)构成的(U,A,B,C,D)是不是稳定点集，并说明理由；
(3)若集合D={(x,y)|x2+y2=1}及单位圆O：x2+y2=1中的内接2024边形的顶点P1，P2，⋯，P2024构成的(D,P1,P2,…,P2024)是一个稳定点集，求|i=12024OPi|的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，原式=1+3i−1−i=(1+3i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−2−i．
故选：D．
由复数的除法运算计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由已知，双曲线x22−y2=1，实轴在x轴，
∴a= 2,b=1，则c= 3，e= 3 2= 62，
又双曲线y24−x2b2=1(b>0)，
∴a=2,c= 4+b2，则e= 4+b22，
∵双曲线x22−y2=1与双曲线y24−x2b2=1(b>0)的离心率相同，
∴ 4+b22= 62，解得b2=2，则b= 2．
故选：A．
先分别求得双曲线x22−y2=1和双曲线y24−x2b2=1(b>0)的离心率，再根据其离心率相同求解．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：向量a，b满足|a|=2，|b|=1，若a在b上的投影向量为− 3b，
则a⋅b|b|⋅b|b|=− 3b，得a⋅b=− 3，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=− 32，〈a,b〉∈[0,π]，〈a,b〉=5π6．
故选：A．
根据投影向量的概念，结合向量夹角的计算公式即可得解．
本题主要考查投影向量的概念，结合向量夹角的计算公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：在二项式( x+12⋅4x)n的展开式中，
二项式系数的和为2n=256=28，
∴n=8，
( x+12⋅4x)n，即( x+12⋅4x)8，它的通项公式为Tr+1=C8r⋅(12)r⋅x4−34r，
故展开式共有9项，当r=0，4，8时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有6！A73，
故有理项都互不相邻的概率为P=6!A739!=512．
故选：C．
由题意利用二项式系数的性质，求出n，利用二项展开式的通项公式，求出有理项，再利用互不相邻的排列问题求法，求出有理项都互不相邻的概率．
本题主要考查二项式定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：∵α>0，x∈[0,+∞)，∴ρx=αex2π>0，
ρx1ρx2=ex1−x22π，若x1>x2，则ρx1ρx2=ex1−x22π>1⇔ρx1>ρx2，
∴若要比较ρx1>ρx2的大小关系，只需要比较x1，x2的大小关系即可，
∵e0.05>1>sin5π24>sinπ6=12，
而ln1.5=12ln2.25sin5π24>ln1.5，
∴ρe0.05>ρsin5π24>ρln1.5．
故选：A．
分析得知ρx1>ρx2⇔x1>x2，故只需比较e0.05,sin5π24,ln1.5的大小关系即可．
本题考查指数函数、对数函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设圆台O1O2的高为4h，外接球半径为R，作出轴截面如图：
O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，则圆O1，O2的半径分别为2，6，
则R2=4+9h2=36+h2，
解得h=2,R=2 10，
故所求体积之比为43π⋅(2 10)313(4π+36π+ 4π⋅36π)⋅8=10 1013．
故选：B．
根据相切结合勾股定理可得R2=4+9h2=36+h2，即可求解h=2,R=2 10，由圆台和球的体积公式即可求解．
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为cs(α−β)=45，0