2025《初数学•期中试卷压轴易错题19大专题》7年级下册(苏科)

这是一份2025《初数学•期中试卷压轴易错题19大专题》7年级下册(苏科)，共81页。
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8082" 【易错篇】 PAGEREF _Tc8082 \h 1
\l "_Tc10635" 【考点1 幂的运算】 PAGEREF _Tc10635 \h 1
\l "_Tc9735" 【考点2 单项式乘单项式】 PAGEREF _Tc9735 \h 2
\l "_Tc23055" 【考点3 单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc23055 \h 2
\l "_Tc6002" 【考点4 多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc6002 \h 3
\l "_Tc4363" 【考点5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc4363 \h 4
\l "_Tc5222" 【考点6 平方差公式】 PAGEREF _Tc5222 \h 4
\l "_Tc27021" 【考点7 平移】 PAGEREF _Tc27021 \h 5
\l "_Tc32099" 【考点8 轴对称与轴对称图形】 PAGEREF _Tc32099 \h 6
\l "_Tc13619" 【考点9 旋转】 PAGEREF _Tc13619 \h 7
\l "_Tc27706" 【考点10 中心对称与中心对称图形】 PAGEREF _Tc27706 \h 8
\l "_Tc17010" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc17010 \h 10
\l "_Tc18897" 【考点11 幂的运算的逆用】 PAGEREF _Tc18897 \h 10
\l "_Tc25043" 【考点12 多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc25043 \h 10
\l "_Tc27357" 【考点13 多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc27357 \h 11
\l "_Tc2623" 【考点14 整式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc2623 \h 14
\l "_Tc13190" 【考点15 整式乘法中的恒成立问题】 PAGEREF _Tc13190 \h 15
\l "_Tc15514" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】 PAGEREF _Tc15514 \h 16
\l "_Tc276" 【考点17 多结论类问题】 PAGEREF _Tc276 \h 18
\l "_Tc2357" 【考点18 新定义类问题】 PAGEREF _Tc2357 \h 19
\l "_Tc21011" 【考点19 阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc21011 \h 20
【易错篇】
【考点1 幂的运算】
【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．−4C．5D．−5
【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．a5⋅a5=a25B．−5a5b52=−25a10b10
C．x2+x6=x8D．−m7÷−m2=−m5
【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×34a÷27b的值为 ．
【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b为整数，则24a−3b= ．
【考点2 单项式乘单项式】
【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅x5my2=x5y7，则−12mn的值为（ ）
A．−18B．−12C．1D．12
【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅−ab22+−12a2b32⋅4b，其中a=2，b=1．
【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−a2n−1b2m=−a3b5，则m+n的值为 .
【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【考点3 单项式乘多项式】
【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ．
【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x−2b=x2+5x+4恒成立，则a+b= ．
【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“−2x2（3x﹣■+1）＝−6x3+4x2y−2x2”那么“■”中的一项是 ．
【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi−Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ．
【考点4 多项式乘多项式】
【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a−4b−2a+ba−b−2ab+1，且单项式xa+3y与−3xyb是同类项．
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：
我们发现，x+px+q=x2+p+qx+pq．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
运用规律
(1)如果x+3x−5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x−2．
①求a−3b−3的值；
②求1a2+1b2的值．
【考点5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+b2+c2=2a−4b+6c−14， 则abc的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2−2m−1x+14是某个整式的平方，那么m的值是 ．
【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2=4x+2y−4，则x+y= ．
【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x−2023)2+(x−2025)2=24，则(x−2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【考点6 平方差公式】
【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4−1)(4+1)(42+1)=(42−1)(42+1)=162−1=255，请借鉴该同学的经验，计算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy−x
C．x+y−x−yD．−x+yy−x
【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（ ）
A．变小B．变大C．没有变化D．无法确定
【变式6-3】（24-25七年级·山西临汾·期中）霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历十一年（1583年）建，又称文昌阁．其结构外表是明二假三层，它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯（sǔn mǎ）结构，精密谨严天衣无缝，行家里手惊佩它是工艺精湛超群绝伦．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为2a+bcm，宽为2a−bcm的长方形，中间凿掉一个边长为acm的正方形，且该零件的高为acm．求这个零部件体积．

【考点7 平移】
【例7】（24-25七年级·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】（24-25七年级·安徽合肥·期末）日常生活情境：移动储物柜，小明沿墙挪动墙角的三角储物柜，示意图如图所示．则下列能表示平移距离的是（ ）
A．线段BC的长B．线段BF的长
C．线段CE的长D．线段AD的长
【变式7-2】（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acmay若这两个正方形的面积之和为34，且BE=8，求图中阴影部分的面积．
【变式13-1】（24-25七年级·北京·期中）长方形窗户ABCD（如图1），是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，求ab．
【变式13-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【变式13-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
______+______=2a2+2b2
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知a+b2+a−b2=40，求2a+b的最大值，请认真思考，并完成解答．
【考点14 整式乘法中的规律性问题】
【例14】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
根据规律计算： 22022−22021+22020−22019+……+24−23+22−2的值是（ ）
A．22023−23B．22023−1C．−22023
【变式14-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】① x−1x+1=_____；
② x−1x2+x+1=_____；
③ x−1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1=__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【变式14-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)续写等式：13+23+33+43+53=________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道1+2+3+⋅⋅⋅+n=12n(n+1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+⋅⋅⋅+(n−1)3+n3=________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
33+63+93+⋅⋅⋅+573+603；
【变式14-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20−6×21=________，11×16−9×18=________，不难发现，结果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【考点15 整式乘法中的恒成立问题】
【例15】（24-25七年级·上海·期中）m、n为正整数，如果−amn=−amn成立，那么（ ）
A．m必为奇数B．n必为奇数
C．m、n必同为奇数D．m、n必同为偶数
【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论x为何值时，等式x2x+a+4x−3b=2x2+5x+6恒成立，则a= ，b= ．
【变式15-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作a,b．即：若ac=b，则a,b=c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为32=9，所以3，9=2．
（1）计算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整数指数幂的范围内，若(42x−4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
【变式15-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(−1,0)=3m．当F(1,−1)=−8，F(1,2)=13，则F(x,y)= ；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是 ．
【考点16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】
【例16】（24-25七年级·辽宁鞍山·阶段练习）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画）
(1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形；
(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案）
【变式16-1】（24-25七年级·贵州安顺·期中）如图，图2中的图案可以看作是由图1中的基本图案通过一定的图形变换形成的，这个图形变换不可能是（ ）
A．旋转B．轴对称C．平移D．轴对称和旋转
【变式16-2】（2024·四川广安·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式16-3】（24-25七年级·江苏南京·期末）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图（1），（2）中的梯形Ⅰ～Ⅴ的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．
(1)如图（1），梯形Ⅱ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到；梯形Ⅲ可以看成由梯形Ⅰ经过一次______得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）；
(2)如图（2），梯形Ⅴ可以看成由梯形Ⅳ经过怎样的图形运动得到？下列结论：①1次旋转；②1次轴对称；③1次平移和1次旋转；④1次旋转和1次轴对称．其中，所有正确结论的序号是______．
【考点17 多结论类问题】
【例17】（24-25七年级·重庆·阶段练习）已知a、b、c、d均为常数，e、f均为非零常数，若有两个整式A=x2+ex+f，B=5x3−6x2+10=ax−13+bx−12+cx−1+d，下列结论中，正确个数为（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f=−10；
②当多项式A⋅B乘积不含x4时，则e=6；
③a+b+c=19；
④当A能被x−2整除时，2e+f=−4；
⑤若x=2m或m−2时，无论e和f取何值，A值总相等，则m=−2．
A．4B．3C．2D．1
【变式17-1】（24-25七年级·山东济南·期中）定义：如果2m=n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m=Dn．例如：因为21=2，所以D2=1；因为24=16，所以D16=4，D数有如下运算性质： Ds·t=Ds+Dt，Dqp=Dq−Dp，其中q>p．下列说法错误的是（ ）
A．D8=3
B．若D3=2，D5=a+b,D15=2a+2b
C．若Da=1，则Da3=3
D．若D3=2a−b，D5=a+b，则D53=−a+2b
【变式17-2】（24-25七年级·河北张家口·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了a+bnn=1,2,3,4,5,6的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．
有如下两个结论：
①a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
②当a=−2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是−1；
上述结论中，正确的有 （写出序号即可）．
【变式17-3】（24-25七年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘(a+1)，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘(a−1)称这为第二此操作，以此类推．
①将多项式(a2−1)以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；
②将多项式(a2+2a)以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；
③将多项式(a2+2a+1)以上述方式进行4次操作后，当a=2时，所得多项式的值为243；
④将多项式(a−1)以上述方式进行n次操作后所得多项式为(a−1)(a+1)n−1；
四个结论错误的有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点18 新定义类问题】
【例18】（24-25七年级·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数a，b，a△b=a2+b−3，例如：2△1=22+1−3，2x△y=2x2+y−3．
(1)设A=x△m−2x（m为常数）
①已知关于x的方程A=m−1x2−6为一元一次方程，求：m的值及方程的解．
②已知A与B为关于x的多项式，B=2△x，n的值满足2n+2−2n+1=8，若A×B中不含一次项，求：3m−n的值．
(2)如果数对a,b满足a△b=2b△2a，我们称数对a,b为“嘉幸数”，已知数对2,m与1,n均为“嘉幸数”，求代数式4m+nm+n−2mn14m+4−m−n+12m2n−8n2+2024的值．
【变式18-1】（24-25七年级·浙江台州·期末）规定两正数a,b之间的一种运算，记作a,b：如果ac=b，那么a,b=c．例如：因为34=81，所以3,81=4．小慧在研究这种运算时发现：a,b+a,c=a,bc，例如：5,6+5,7=5,42．证明如下：设5,6=x,5,7=y,5,42=z，根据定义可得：5x=6,5y=7,5z=42，因为5x×5y=6×7=42=5z，所以5x×5y=5x+y=5z，即x+y=z，所以5,6+5,7=5,42．请根据前面的经验计算：
（1）4,2+4,32的值为 ；
（2）2×mn,2mn+mn,12m2n+mn,12m2n3的值为 ．
【变式18-2】（24-25七年级·湖南长沙·期中）阅读以下材料：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如43×68=34×86=2924，所以43和68与34和86都是“幸福数对”.
解决如下问题：
(1)请判断24与63是否是“幸福数对”？并说明理由：
(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，试说明a，b，c，d之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程；
(3)若有一个两位数，十位数字为x2+x+1，个位数字为2x2+x+3；另一个两位数，十位数字为2x2+x+5，个位数字为x2+x+2．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．
【变式18-3】（24-25七年级·浙江宁波·期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F(x，y)=(mx+ny)(3x−y)（其中m，n均为非零常数）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(−1,0)=3m．当F(1,−1)=−8，F(1,2)=13，则F(x,y)= ；当x2≠y2时，F(x，y)=F(y，x)对任意有理数x，y都成立，则m，n满足的关系式是 ．
【考点19 阅读理解类问题】
【例19】（24-25七年级·上海闵行·期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．
比如47×43，它们乘积的前两位是4×4+1=20，它们乘积的后两位是7×3=21，所以47×43=2021；
再如62×68，它们乘积的前两位是6×6+1=42，它们乘积的后两位是2×8=16，所以62×68=4216；
又如21×29，2×2+1=6，不足两位，就将6写在百位：1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以21×29=609
该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；
设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数），则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+10−b．
两数相乘可得：
(10a+b)[10a+(10−b)]
=100a2+10a(10−b)+10ab+b(10−b)
=100a2+100a−10ab+10ab+b(10−b)
=100a2+100a+b(10−b)
=100a(a+1)+b(10−b).
（注：其中aa+1表示计算结果的前两位，b10−b表示计算结果的后两位．）
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤；
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为___________．
设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为___________．（a、b表示1~9的正整数）
（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：100aa+1+b10−b的运算式：____________________
【变式19-1】（24-25七年级·湖北十堰·期中）阅读材料：31的末尾数字是3，32的末尾数字是9，33的末尾数字是7，34的末尾数字是1，35的末尾数字是3，，观察规律，34n+1=(34)n×3，∵34的末尾数字是1，∴(34)n的末尾数字是1，∴(34)n×3的末尾数字是3，同理可知，34n+2的末尾数字是9，34n+3的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)32021的末尾数字是 ，142022的末尾数字是 ；
(2)求22022的末尾数字；
(3)求证：122024+372018能被5整除．
【变式19-2】（24-25七年级·福建龙岩·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了(a+b)n (n=1,2,3,4,5,6⋯)的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出(a+b)4的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
【变式19-3】（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m−n中字母m，n的位置，得到代数式n−m，因为m−n≠n−m，所以m−n不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有_____(填序号)
①2m⋅2n⋅2p
②−2mn
③−2m−2n
④m−n2
(2)若关于m，n的代数式km−n2+km2−n2为对称式，则k的值为_____；
(3)在(2)的条件下，已知上述对称式km−n2+km2−n2=−10，且mn=1，求m−n2的值．
期中易错题压轴题专项复习【19大题型】
（考试范围：第7~9章）
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc8082" 【易错篇】 PAGEREF _Tc8082 \h 1
\l "_Tc10635" 【考点1 幂的运算】 PAGEREF _Tc10635 \h 1
\l "_Tc9735" 【考点2 单项式乘单项式】 PAGEREF _Tc9735 \h 3
\l "_Tc23055" 【考点3 单项式乘多项式】 PAGEREF _Tc23055 \h 5
\l "_Tc6002" 【考点4 多项式乘多项式】 PAGEREF _Tc6002 \h 7
\l "_Tc4363" 【考点5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc4363 \h 10
\l "_Tc5222" 【考点6 平方差公式】 PAGEREF _Tc5222 \h 12
\l "_Tc27021" 【考点7 平移】 PAGEREF _Tc27021 \h 14
\l "_Tc32099" 【考点8 轴对称与轴对称图形】 PAGEREF _Tc32099 \h 16
\l "_Tc13619" 【考点9 旋转】 PAGEREF _Tc13619 \h 20
\l "_Tc27706" 【考点10 中心对称与中心对称图形】 PAGEREF _Tc27706 \h 22
\l "_Tc17010" 【压轴篇】 PAGEREF _Tc17010 \h 25
\l "_Tc18897" 【考点11 幂的运算的逆用】 PAGEREF _Tc18897 \h 25
\l "_Tc25043" 【考点12 多项式乘积不含某项求字母的值】 PAGEREF _Tc25043 \h 27
\l "_Tc27357" 【考点13 多项式乘多项式与图形面积】 PAGEREF _Tc27357 \h 31
\l "_Tc2623" 【考点14 整式乘法中的规律性问题】 PAGEREF _Tc2623 \h 38
\l "_Tc13190" 【考点15 整式乘法中的恒成立问题】 PAGEREF _Tc13190 \h 43
\l "_Tc15514" 【考点16 利用平移、轴对称、旋转设计图案】 PAGEREF _Tc15514 \h 45
\l "_Tc276" 【考点17 多结论类问题】 PAGEREF _Tc276 \h 49
\l "_Tc2357" 【考点18 新定义类问题】 PAGEREF _Tc2357 \h 54
\l "_Tc21011" 【考点19 阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc21011 \h 59
【易错篇】
【考点1 幂的运算】
【例1】（24-25七年级·四川资阳·期末）计算−452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．−4C．5D．−5
【答案】A
【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．
先逆用同底数幂相乘将−452024化成452023×45，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：−452024×1.252023×5
=452023×45×542023×5
=45×542023×45×5
=1×45×5
=1×45×5
=4．
故选：A．
【变式1-1】（24-25七年级·吉林白城·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．a5⋅a5=a25B．−5a5b52=−25a10b10
C．x2+x6=x8D．−m7÷−m2=−m5
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A：a5⋅a5=a10，故A错误；
B：−5a5b52=25a10b10，故B错误；
C：x2+x6=x2+x6，故C错误；
D：−m7÷−m2=−m5，故D正确；
故选：D．
【变式1-2】（24-25七年级·四川成都·期末）已知4a−3b+1=0，则32×34a÷27b的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂乘除法，幂的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可得4a−3b=−1，再将32×34a÷27b变形为32+4a−3b，即可计算求值．
【详解】解：∵4a−3b+1=0，
∴4a−3b=−1，
∴32×34a÷33b=32×34a÷33b=32+4a−3b=3，
故答案为：3．
【变式1-3】（24-25七年级·重庆渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b为整数，则24a−3b= ．
【答案】94
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算可得24a−3b=24a÷23b，进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：24a−3b=24a÷23b=4a2÷8b=62÷16=94，
故答案为：94．
【考点2 单项式乘单项式】
【例2】（24-25七年级·四川遂宁·期末）设xm−1yn+2⋅x5my2=x5y7，则−12mn的值为（ ）
A．−18B．−12C．1D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵xm−1yn+2⋅x5my2=xm−1+5m⋅yn+2+2=x6m−1⋅yn+4=x5y7，
∴6m−1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，
∴−12mn=−12×13=−123=−18．
故选：A．
【变式2-1】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：−2a2b3⋅−ab22+−12a2b32⋅4b，其中a=2，b=1．
【答案】−a4b7，-16．
【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．
【详解】解：原式=−2a2b3⋅a2b4+14a4b6⋅4b=−2a4b7+a4b7=−a4b7．
当a=2，b=1时，原式=−a4b7=−24×17=−16．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
【变式2-2】（24-25七年级·山东聊城·期末）若am+1bn+2⋅−a2n−1b2m=−a3b5，则m+n的值为 .
【答案】2
【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入m+n计算即可.
【详解】∵am+1bn+2⋅−a2n−1b2m=−a3b5，
∴−am+2nb2m+n+2=−a3b5，
∴m+2n=32m+n+2=5，
解之得
m=1n=1，
∴m+n=1+1=2.
【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组是解答本题的关键.
【变式2-3】（24-25七年级·浙江金华·期中）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．

（1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米；
（2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米．
【答案】 4 803
【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可；
（2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可．
【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为2×2=4（厘米），
故答案为：4；
（2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则ab=40，
由图知，②长方形纸片的长为13a，宽为2a，
∴②号长方形纸片的面积是13a⋅2a=23ab=23×40=803（平方厘米），
故答案为：803．
【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键．
【考点3 单项式乘多项式】
【例3】（24-25七年级·四川成都·期末）如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示．如果当BC的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，那么b：a的值为 ．
【答案】1：3
【分析】根据题意和图形，设BC的长为x，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差，然后再根据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，即可得到b：a的值．
【详解】设BC的长为x，
左上角与右下角的阴影部分的面积的差为：
（x﹣a）•3b﹣（x﹣4b）•a
＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab
＝（3b﹣a）x+ab，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，
∴3b﹣a＝0，
解得a=3b，
∴b：a=1：3
故答案为：1：3．
【点睛】本题考查整式的加减，关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算．
【变式3-1】（24-25七年级·广东深圳·期中）若xx+a+3x−2b=x2+5x+4恒成立，则a+b= ．
【答案】0
【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：
∵等式左边=x2+ax+3x−2b=x2+a+3x−2b，
∴x2+a+3x−2b=x2+5x+4，
∴a+3=5,−2b=4，
解得：a=2,b=−2，
∴a+b=2+−2=0．
故答案为：0
【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键．
【变式3-2】（24-25七年级·湖南邵阳·期末）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“−2x2（3x﹣■+1）＝−6x3+4x2y−2x2”那么“■”中的一项是 ．
【答案】2y
【分析】利用多项式除以单项式法则计算−6x3+4x2y−2x2÷−2x2即可得出“■”中的项，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算验证即可．
【详解】解：∵−6x3+4x2y−2x2÷−2x2
=−6x3÷−2x2+4x2y÷−2x2−2x2÷−2x2
=3x−2y＋1
即−2x2（3x−2y+1）=−6x3+4x2y−2x2 ，
∴“■”中的一项是2y．
故答案为：2y．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式3-3】（24-25七年级·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅Wi−Fi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ．
【答案】70
【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为a,b,c，则ab=28，ac=42，据此求出ab+c的值即可得．
【详解】解：由第1个等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2，
由第2个等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4，
由第3个等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3，
由第4个等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5，
设等式左边三个数分别为a,b,c，
则ab=28，ac=42，
所以被隐藏的两位数是ab+c=ab+ac=28+42=70，
故答案为：70．
【考点4 多项式乘多项式】
【例4】（24-25七年级·山西临汾·期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的长方形，需要B类卡片（ ）
A．2张B．3张C．4张D．5张
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得．
【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为：
2a+ba+2b
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2，
∵1张B类卡片的面积为ab，
∴需要B类卡片的张数为5ab÷ab=5（张），
故选：D．
【变式4-1】（24-25七年级·河南省直辖县级单位·期末）有一块长为(m+6)米（m为正数），宽为(m+3)米的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（ ）
A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为m+7米，宽为m+2米，分别求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，新长方形的长为m+7米，宽为m+2米，
∴新长方形的面积为m+7m+2=m2+2m+7m+14=m2+9m+14平方米，
原长方形的面积为m+6m+3=m2+3m+6m+18=m2+9m+18，
∵m2+9m+18−m2+9m+14=4>0，
∴与原来相比，这块土地的面积变小了，
故选：C．
【变式4-2】（24-25七年级·四川成都·期末）先化简，再求值：12b2a−4b−2a+ba−b−2ab+1，且单项式xa+3y与−3xyb是同类项．
【答案】−b2−2a2−2，−11
【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得−b2−2a2−2，结合单项式xa+3y与−3xyb是同类项，得出a+3=1,b=1，即a=−2，代入−b2−2a2−2进行计算，即可作答．
【详解】解：12b2a−4b−2a+ba−b−2ab+1
=ab−2b2−2a2−2ab+ab−b2−2ab−2
=ab−2b2−2a2−ab−b2−2ab−2
=ab−2b2−2a2+ab+b2−2ab−2
=−b2−2a2−2；
∵xa+3y与−3xyb是同类项，
∴a+3=1，b=1，
即a=−2，
∴−b2−2a2−2=−12−2×−22−2=−1−8−2=−11．
【变式4-3】（24-25七年级·福建福州·期末）发现规律：
我们发现，x+px+q=x2+p+qx+pq．这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
运用规律
(1)如果x+3x−5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x−2．
①求a−3b−3的值；
②求1a2+1b2的值．
【答案】(1)−2，−15
(2)①−2；②134
【分析】（1）根据多项式的乘法法则计算即可求解；
（2）①由多项式的乘法法则可得a+b=3，ab=−2，再把值代入a−3b−3展开后的结果中计算即可求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即可求解；
本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x+3x−5=x2+mx+n，
∴m=3+−5=−2，n=3×−5=−15，
故答案为：−2，−15；
（2）解：①∵x+ax+b=x2+3x−2，
∴a+b=3，ab=−2，
∴a−3b−3
=ab−3a−3b+9
=ab−3a+b+9
=−2−3×3+9
=−2；
②1a2+1b2
=b2+a2a2b2
=a+b2−2abab2
=32−2×−2−22
=9−−44
=134．
【考点5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）已知a2+b2+c2=2a−4b+6c−14， 则abc的值是（ ）
A．4B．−4C．8D．−8
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将a2+b2+c2=2a−4b+6c−14变形化为a−12+b+22+c−32=0，即可得到a−1=0,b+2=0,c−3=0，求出a,b,c即可求解abc．
【详解】解：∵a2+b2+c2=2a−4b+6c−14，
∴a2+b2+c2−2a+4b−6c+14=0
a−12+b+22+c−32=0，
∵a−12≥0,b+22≥0,c−32≥0，
∴a−1=0,b+2=0,c−3=0，
解得：a=1,b=−2,c=3，
∴abc=1×−23=−8，
故选：D．
【变式5-1】（24-25七年级·上海闵行·期中）如果关于x的整式9x2−2m−1x+14是某个整式的平方，那么m的值是 ．
【答案】2或−1
【分析】本题考查完全平方式，根据9x2−2m−1x+14是某个整式的平方，得到9x2−2m−1x+14=3x±122，进行求解即可．
【详解】解：∵9x2−2m−1x+14是某个整式的平方，
∴9x2−2m−1x+14=3x±122，
∴2m−1=±2×3×12=±3，
∴m=2或m=−1；
故答案为：2或−1．
【变式5-2】（24-25七年级·福建漳州·期中）若x，y是自然数，且满足x2+y2=4x+2y−4，则x+y= ．
【答案】2或4
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可．
【详解】解：∵x2+y2=4x+2y−4，
∴x2+y2−4x−2y+4=0，
∴x2−4x+4+y2−2y+1=1，
∴x−22+y−12=1，
∵x， y是自然数，
∴x−22=0 y−12=1或x−22=1 y−12=0．
∴x−2=0，y−1=1，或x−2=0，y−1=−1，
x−2=1，y−1=0，或x−2=−1，y−1=0，．
当x−2=0，y−1=1，时，
解得：x=2，y=2，
x+y=2+2=4，
当x−2=0，y−1=−1，时，
解得：x=2，y=0，
x+y=2+0=2，
当x−2=1，y−1=0，时，
解得：x=3，y=1，
x+y=3+1=4，
当x−2=−1，y−1=0，时，
解得：x=1，y=1，
x+y=1+1=2，
故答案为：2或4．
【变式5-3】（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知(x−2023)2+(x−2025)2=24，则(x−2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据题意巧妙构造(x−2024)2，再利用完全平方公式展开，合并同类项后即可得到答案．
【详解】解：已知(x−2023)2+(x−2025)2=24，
则[(x−2024)+1]2+[(x−2024)−1]2=24，
那么(x−2024)2+2(x−2024)+1+(x−2024)2−2(x−2024)+1=24，
整理得：2(x−2024)2=22，
则(x−2024)2=11，
故选：B．
【考点6 平方差公式】
【例6】（24-25七年级·河南新乡·期中）某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4−1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4−1)(4+1)(42+1)=(42−1)(42+1)=162−1=255，请借鉴该同学的经验，计算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【答案】2
【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以2×1−12之后，连续使用平方差公式进而得出答案．
【详解】解：1+121+1221+1241+128+1215
=2×1−121+121+1221+1241+128+1215
=2×1−1216+1215
=2−1215+1215
=2，
故答案为：2．
【变式6-1】（24-25七年级·甘肃兰州·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy−x
C．x+y−x−yD．−x+yy−x
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据整式乘法及平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【详解】解：A、x+yx+y2=x+y3，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
B、x+yy−x=−x+yx−y=−x2−y2，能用平方差公式计算，该选项符合题意；
C、x+y−x−y=−x+yx+y=−x+y2，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
D、−x+yy−x=y−xy−x=y−x2，不能用平方差公式计算，该选项不合题意；
故选：B．
【变式6-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为ama>4的正方形跳远沙池的一组对边各增加1m，另一组对边各减少1m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（ ）
A．变小B．变大C．没有变化D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提．
用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案．
【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为a2m2，长方形跳远沙池的面积为(a+1)(a−1)=(a2−1)m2，
因为a2−1−a2=−1b>0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸2a至GH．当下面窗户
的遮阳帘水平向左拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．
(1)求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）
(2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至AG=23AD，下面窗户的遮阳帘拉伸至CP=25BC处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，求ab．
【答案】(1)2a2+6ab+4b2
(2)65
【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解；
（3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户ABCD面积的一半，得出等式，即可求出ab的值．
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题知：AE=DF=a，EB=FC=2b，AG=BP=2a，GD=PC=2b，
∴AB=AE+EB=a+2b，AD=AG+GD=2a+2b，
∴S长方形ABCD=AB⋅AD
=a+2b2a+2b
=2a2+2ab+4ab+4b2
=2a2+6ab+4b2，
∴长方形窗户ABCD的总面积为2a2+6ab+4b2．
（2）解：根据题意可得AD=BC，
∵AG=23AD，
∴GD=13AD，
∵CP=25BC，
∴BP=35BC，
∴S透光=S长方形GHFD+S长方形EBPQ
=GD⋅DF+BP⋅EB
=13AD⋅DF+35BC⋅EB
=13AD⋅DF+35AD⋅EB
=AD13DF+35EB．
∵S透光=12S长方形ABCD=12AD⋅AB，
∴AD13DF+35EB=12AD⋅AB，
∴13DF+35EB=12AB，
∴13a+35⋅2b=12a+2b，
∴13a+65b=12a+b，
∴16a=15b，
∴ab=65．
【变式13-2】（24-25七年级·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一

情境二乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的数量；
情境二

情境三丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
【答案】情境一：a+ba−b=a2−b2；情境二：所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为2a+4b，宽为a+b，长方形如图
【分析】情境一：设等腰梯形的高为ℎ，可求ℎ=a−b2，分别表示出图1和图2的面积，即可求解；
情境二：可得a2+4ab+mb2，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
情境三：能构成长方形，则2a2+7ab+4b2要能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解．
【详解】解：情境一
如图，设等腰梯形的高为ℎ，
∴2ℎ+b=a，
∴ℎ=a−b2，
∴图1的面积： S1=4×12a+b×a−b2
=a+ba−b，
图2的面积：S2=a2−b2，
∵S1=S2，
∴ a+ba−b=a2−b2，
故可得到的乘法公式为：a+ba−b=a2−b2；
情境二
a2+4ab+mb2，
∵拼成了一个正方形，
∴当m=4时，
a2+4ab+4b2=a+2b2，
∴所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4；
情境三
赞同丁同学的说法；
去掉1个C以后，
2a2+6ab+4b2
=a+b2a+4b，
∴该情况下所拼长方形的长为2a+4b，宽为a+b，
长方形如图：

【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键．
【变式13-3】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）八年级数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），
(1)在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为______
(2)在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你在框1中画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整；
框1
(3)小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的示意图，请结合图例，在横线上添加适当的式子，使等式成立；
______+______=2a2+2b2
(4)小威老师在培优群中布置了一道思考题：已知a+b2+a−b2=40，求2a+b的最大值，请认真思考，并完成解答．
【答案】(1)aa+b=a2+ab
(2)a+b2a+b
(3)a+b2+a−b2
(4)10
【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的关系，完全平方公式的应用，掌握多项式的乘法是解题的关键．
（1）根据图形用两种方法表示面积即可；
（2）根据（1）种方法画图，并表示面积即可；
（3）根据图形的拼接得到等式即可；
（4）先化简得到a2+b2=20，然后设2a+b=m，则有b=m−2a，代入配方得到5(a−25m)2=20−15m2，根据完全平方式的非负性得到=20−15m2≥0，解题即可．
【详解】（1）解：aa+b=a2+ab；
（2）如图，
式子为：(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2；
故答案为：a+b，2a+b；
（3）如图，根据面积可得(a−b)2+(a+b)2=2a2+2b2，
故答案为：(a−b)2，(a+b)2；
（4）解：∵a+b2+a−b2=40，
∴a2+2ab+b2+a2−2ab+b2=40
∴2a2+2b2=40，即a2+b2=20，
设2a+b=m，
∴b=m−2a，
∴a2+(m−2a)2=20，
即5a2−4ma+m2−20=0，
∴5(a−25m)2=20−15m2，
∴20−15m2≥0，
解得：−10≤m≤10，
∴2a+b的最大值为10．
【考点14 整式乘法中的规律性问题】
【例14】（24-25七年级·四川眉山·期中）观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
根据规律计算： 22022−22021+22020−22019+……+24−23+22−2的值是（ ）
A．22023−23B．22023−1C．−22023
【答案】A
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x3+x2+x+1)=xn+1−1，利用规律，当x=−2，n=2022时，代入其中即可求解．
本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
【详解】解：由(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
观察发现： (x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x3+x2+x+1)=xn+1−1，
当x=−2，n=2022时，得
(−2−1)(22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2+1)=(−2)2023−1，
∴22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2+1=(−2)2023−1−3=−22023−1−3=22023+13，
∴22022−22021+22020−22019⋯+24−23+22−2=22023+13−1=22023−23．
故选：A．
【变式14-1】（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】① x−1x+1=_____；
② x−1x2+x+1=_____；
③ x−1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x−1xn+xn−1+xn−2+…+x+1=__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【答案】(1)x2−1；x3−1；x4−1
(2)xn+1−1
(3)52025−14
【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键
（1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）设x=5,n=2024，则5−152024+52023+52022+⋯+5+1=52025−1，即可求解．
【详解】（1）解：x−1x+1=x2−1；
x−1x2+x+1=xx2+x+1−x2+x+1=x3+x2+x−x2−x−1=x3−1；
x−1x3+x2+x+1=xx3+x2+x+1−x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x−x3−x2−x−1=x4−1，
故答案为：x2−1；x3−1；x4−1；
（2）解：（1）总结得到，x−1xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1=xn+1−1，
故答案为：xn+1−1；
（3）解： 设x=5,n=2024，
根据x−1xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1=xn+1−1
则5−152024+52023+52022+⋯+5+1=52025−1，
∴52024+52023+52022+52021+…+5+1=52025−14．
【变式14-2】（24-25七年级·广东湛江·期末）观察并验证下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)续写等式：13+23+33+43+53=________；（写出最后结果）
(2)我们已经知道1+2+3+⋅⋅⋅+n=12n(n+1)，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+⋅⋅⋅+(n−1)3+n3=________；（结果用因式乘积表示）
(3)利用（2）中得到的结论计算：
33+63+93+⋅⋅⋅+573+603；
【答案】(1)225
(2)14n2(n+1)2
(3)1190700
【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键．
（1）直接根据题意给出的规律即可求解；
（2）直接根据题意给出的规律即可求解；
（3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解
【详解】（1）解：原式=(1+2+3+4+5)2=152=225，
故答案为：225；
（2）解：原式=1+2+3+⋯+n−1+n2=12n(n+1)2=14n2(n+1)2，
故答案为：14n2(n+1)2；
（3）解：原式=(3×1)3+(3×2)3+(3×3)3+⋅⋅⋅+(3×20)3
=27×13+27×23+27×33+⋅⋅⋅+27×203
=27(13+23+33+⋅⋅⋅+203)
=27(1+2+3+⋯+20)2
=27×14×202×212
=27×44100
=1190700．
【变式14-3】（24-25七年级·河南商丘·期末）日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20−6×21=________，11×16−9×18=________，不难发现，结果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】(1)14；14；14
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了整式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据所给算式进行计算即可；
（2）选择两个类似的长方形框试一试即可；
（3）表示出各个角上的数字，再根据“右上角×左下角-左上角×右下角=14”写出规律；利用多项式乘多项式法则，证明结论．
【详解】（1）解：7×20−6×21=140−126=14，
11×16−9×18=176−162=14
不难发现，结果都是14，
故答案为：14；14；14；
（2）解：如图：
14×27−13×28=378−364=14，
18×23−16×25=414−400=14，
结果都是14；符合规律；
（3）解：①设左上角的数字为n，则右上角的数字为n+2，
左下角的数字为n+7，右下角的数字为n+9．
发现的规律是n+2n+7−nn+9=14．
证明：n+2n+7−nn+9
=n2+9n+14−n2−9n
=14；
②设左上角的数字为n，则右上角的数字为n+1，
左下角的数字为n+14，右下角的数字为n+15．
发现的规律是n+1n+14−nn+14=14．
证明：n+1n+14−nn+15
=n2+15n+14−n2−15n
=14．
【考点15 整式乘法中的恒成立问题】
【例15】（24-25七年级·上海·期中）m、n为正整数，如果−amn=−amn成立，那么（ ）
A．m必为奇数B．n必为奇数
C．m、n必同为奇数D．m、n必同为偶数
【答案】B
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则得到−amn=−1namn=−amn，则−1n=−1，据此可得答案．
【详解】解：∵−amn=−1namn=−amn，
∴−1n=−1，
∴n必为奇数，
故选：B．
【变式15-1】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若不论x为何值时，等式x2x+a+4x−3b=2x2+5x+6恒成立，则a= ，b= ．
【答案】 1 −2
【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可．
【详解】∵x2x+a+4x−3b=2x2+a+4x−3b=2x2+5x+6恒成立，
∴a+4=5,−3b=6,
∴a=1,b=−2．
故答案为：1，−2．
【变式15-2】（24-25七年级·福建泉州·期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作a,b．即：若ac=b，则a,b=c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如:因为32=9，所以3，9=2．
（1）计算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整数指数幂的范围内，若(42x−4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
【答案】 4，6 1≤k1，则4k2x−4t≥t，得出4k2x−4≥1，得出2x−4≤4k，x≤2k+2；得出x>2，k>0，即可得出答案．
【详解】解：（1）设4,2=x，4,3=y，
则4x=2，4y=3，
∵4x+y=4x·4y=2×3=6，
∴4,6=x+y，
∴4,2+4,3=4,6；
故答案为：4,6；
（2）设2n,4m=c，则2cn=4m，cn=2m，c=2mn，
∴2n,4m=2mn=mn2,4，
∴42x−4,54k=4k2x−44,5，
∵42x−4,54k≥4,5，
∴4k2x−44，5≥4，5；
设4t=5 t>1，则4k2x−4t≥t
∴4k2x−4≥1，
∴2x−4≤4k，x≤2k+2；
∵2x−4>0，4k>0
∴x>2，k>0，且x、k均为正整数，且x只有两个正整数解，
∴3≤x≤4，4≤2k+2