云南省美美与共民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考月考（一）数学试卷（解析版）

这是一份云南省美美与共民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考月考（一）数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
2. 设函数，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
因为函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，
故函数在上增函数.
因为，则.
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.
故选：B.
4. 将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，
得到，再向右平移个单位长度后得到.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，，
所以.
故选：A.
6. 已知，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
又
∴，
则.
故选：D.
7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（ ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）
A. 130天B. 149天C. 120天D. 155天
【答案】B
【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍，则，
.
故选：B.
8. 已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：
若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，
可得或.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】A：，当，方向相反时，错误；
B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确；
C：知：，不一定有，错误；
D：即，可得，即，正确.
故选：BD.
10. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. 的面积为 D. 外接圆的面积为
【答案】AD
【解析】的内角的对边分别为，若，
则，由，所以，故A正确；
因为，所以，解得，故B错误；
，故C错误；
设外接圆的半径为，因为，所以，
外接圆的面积为，故D正确.
故选：AD.
11. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. “”是“”必要不充分条件
C. 若，且，则的最小值为
D. 若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，A错误；
对于B，，而，则或，
因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于C，依题意，，
，当且仅当，
即时取等号，C正确；
对于D，由题可知“”为真命题，当时，，符合题意；
当时，则解得，所以的取值范围是，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，且，则实数__________.
【答案】
【解析】因为，则，
因为，所以，则.
13. 圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】将化成弧度为，即圆心角，
则扇形的弧长为，所以，
所以该扇形的面积为.
14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为__________.
【答案】
【解析】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，
所以.
因为当时，盛水筒M位于点，所以，
所以.
因为，所以，得.
因为，所以，所以.
所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知.
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）因为所以
则
所以.
（2）由（1）可得
所以
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
解：（1）
，
所以函数的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数图象的对称轴方程为，.
（2）当时，，
则，进而可得，，
所以.
当时，即时，取最小值.
当时，即时，取最大值.
17. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的面积为为边上的中点，求.
解：（1）由正弦定理，
所以，
因为，所以，
又因为.
（2）因为AD为BC边上的中线，所以，
所以.
又因为，所以.
由余弦定理，所以，所以，
所以，所以.
18. 已知定义域为的函数是奇函数，.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为在定义域为上是奇函数，
所以，即，∴.
又∵，即，∴.
则，由，
则当，原函数为奇函数.
（2）由（1）知，
任取，设，则，
因为函数在上是增函数，，∴.
又，
∴，即，
∴在上为减函数.
（3）因是奇函数，从而不等式：，等价于，
因为为减函数，由上式推得：，
即对一切有：恒成立.
设，
令，则有，
∴，
∴，即k的取值范围为.
19. 在平面四边形中，已知，且， ，是线段（包括端点）上的一个动点.
（1）当时，
①求值；
②若，求；
（2）求的最小值.
解：（1）①因为，且，
所以，，且，，
所以四边形为直角梯形.
所以以A为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
当时，因为，
所以，，，，
所以，，
因此；
②设，即点P的坐标为，
则，，
因为，
所以当时，，即.
（2）设，，又，
则，
所以，当时取到等号，
因此的最小值为3.