山西省长治市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省长治市2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共19页。
1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上．
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：A、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意；
B、，原选项计算正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
2. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：在中，，，，
∴,
∴.
故选C．
3. 一个布袋里装有5个红球，3个黑球，7个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A. 摸出的是黑球B. 摸出的是绿球C. 摸出的是红球D. 摸出的是白球
答案：D
解：任意摸出一个球，为红球的概率是：，
任意摸出一个球，为黑球的概率是：，
任意摸出一个球，为绿球的概率是：，
任意摸出一个球，为白球的概率是：．
故可能性最大的为：摸出的是白球．
故答案：D．
4. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度，如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，；则树高为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向左转的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：列树状图如图所示，
共有9种情况，至少一辆车向左转有5种，
∴至少一辆车向左转的概率是．
故选：D．
6. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：A．
7. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象的对称轴是直线
B. 二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当时，随的增大而增大
D. 二次函数图象与轴的交点的纵坐标是
答案：C
解∶∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是，故选项B错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
设二次函数解析式为，
把代入，得，解得：，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D错误．
故选C．
8. 两年前生产1千克甲种药品的成本为120元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为80元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：∵甲种药品成本的年平均下降率为x，
∴根据题意可得．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，
∴与的位似比为2，
∵点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故选：A．
10. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，淤泥横截面的面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：如图：过点O作于D，由垂径定理得，，
∵圆的直径为2米，
∴，即
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
答案：4
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
故答案为4．
12. 若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为__________．
答案：
解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得，解得：，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥的高．
故答案是：．
13. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为______．
答案：3
解：由题意得：，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
14. 如图，明华同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时的坐标为，若实心球落地点为，则__________．

答案：##
解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
15. 已知如图，正方形，，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则__________．
答案：
解： 连接并延长交于， 连接，
∵四边形是正方形，
，
∵分别是边的中点，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
∵点分别是的中点，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
答案：（1）6；（2），
解：（1）
；
（2），
，
，
，，
∴或，
∴，．
17. 如图，是的直径，内接于，点是的中点，，的延长线相交于点，且．求证：．
答案：见解析
证明：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
18. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数．（请用方程知识解答）
答案：这个最大数为16
解：设这个最大的数为，则最小的数为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这个最大的数为16．
19. 为了解学生身体健康状况，某校从全校2000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表1），并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
表1 学生体质健康统计表
成绩
频数
百分比
不及格
3
及格
良好
45
c
优秀
32
根据上面的信息解决下面问题：
（1）本次选取的学生人数为__________人，图1中__________，__________，__________；
（2）请补全图2的条形统计图；
（3）为听取测试建议，学校选出了1名“良好”学生和3名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“优秀”的概率．
答案：（1）100，3%，20，45%
（2）见解析 （3）
【小问1详解】
解：由题意可知：本次选取的学生人数为为，
则，，
，
故答案：100，，20，．
【小问2详解】
解：补全条形统计图如图：
．
【小问3详解】
解：设3名“优秀”学生分别用A，，，表示，1名“良好”学生用表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生均为“优秀”的结果有6种，
∴．
20. 学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量．
数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离．
数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机
A
A
塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，）
答案：该风力发电机塔杆的高度为
解：过点作于点，作于点，
由题意得：，，
在中，∵，，
∴，．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴．
答：该风力发电机塔杆的高度为．
21. 阅读与思考：
下面是学习小组的研究性学习汇报内容，请仔细阅读并完成相应任务．
垂中平行四边形
定义：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
例题分析：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，求，的长．
解：∵四边形为垂中平行四边形，
∴，为的中点，，
∴，．
∴（依据），
∵，，
∴，
解得．
……
任务：
（1）①上述文本框内容中的依据为__________；
②将上述的求解过程补充完整；
（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，若，则__________．
答案：（1）①相似三角形的对应边成比例；②见解析
（2）
【小问1详解】
解：①相似三角形的对应边成比例
②过程补充如下：
在中，，，
∴，
∴．
∴，；
【小问2详解】
解：根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点，
∴，；
又∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴．
22. 综合与实践：
问题情景：明朝中期16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．
模拟过程：如图2，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
问题解决：
（1）若火箭第二级的引发点的高度为．
①求抛物线和直线的表达式；
②求火箭在运行过程中的最大高度是多少？
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
答案：（1）①，；②火箭在运行过程中的最大高度是
（2）这两个位置之间的距离为
【小问1详解】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得，．
∴抛物线和直线的表达式分别为，；
②由①知，，
∴最大值，
∴火箭在运行过程中的最大高度是．
【小问2详解】
解：由（1）②知，火箭在运行过程中的最大高度是，即，
当时，则，解得（不合题意，舍去），．
又∵时，，
∴当时，
则，解得．
，
∴这两个位置之间的距离为．
23. 综合与探究：
问题情景：已知如图1，在中，点为边上一点，连接．
初步探究：
（1）如图2，若为直角三角形，，为边上的高，，，则__________．
深入探究：
（2）①如图3，若，求证：；
②如图4，在（2）①的条件下，若点为中点，，求的长．
答案：（1）（或4.8）；（2）①见解析；②
（1）解：，，，
∴ ，
∵为边上的高，
∴，
则，
故答案为：（或4.8）；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
②解：∵点为中点，
∴设，
由（1）知，
∴，
∴，
∴与的相似比为，
∵，
∴．