江西省抚州市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：1.本卷共有六大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1. 将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：这个几何体的俯视图为
故选：B．
2. 一元二次方程的根为（ ）
A. 或B. 或C. 或D.
答案：B
解：
∴或，
解得：或，
故选：B．
3. 如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的面积比为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵这两个相似三角形对应高的比为，
∴这两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的面积比为．
故选C．
4. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A. sinA＝B. tanA＝C. tanB＝D. csB＝
答案：C
Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，csB＝＝．
故选：C．
5. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D. 对角线垂直的四边形是菱形
答案：A
解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，故该选项符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，原命题错误，故该选项不符合题意；
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，原命题错误，故该选项不符合题意；
D．对角线垂直平行四边形是菱形，原命题错误，故该选项不符合题意．
故选A．
6. 二次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解：二次函数开口向下，则，A选项错误，不符合题意；
二次函数与轴交点在轴上方，则，B选项错误，不符合题意；
二次函数的对称轴，化简可得：，C正确，符合题意；
由函数图象可得，当时，，即，D选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象以及基本性质．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标是__________．
答案：
解：∵直线与双曲线的一个交点的坐标为，且两图象的交点关于原点对称，
∴它们的另一个交点的坐标是．
故答案为：
8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________．
答案：
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴方程的判别式：，
∴，
故答案为：．
9. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是_________个．
答案：12
解：∵一共有16个球，摸出红球的频率稳定在左右，
∴红球个数约为（个），
∴黄球的个数大约（个），
故答案为：12．
10. 如图，五线谱是由等距离五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______．
答案：2
解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，
则，即，
解得 ．
故答案为：2．
11. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______．
答案：6
解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故答案为：6．
12. 如图，正方形的边长为12，为边上一动点，在运动的过程中，始终保持于，于．若的长为整数，则的长可以为______．

答案：6或7或8
解：如图，连接，
正方形中，，，，
∴
∴四边形是矩形．
∴．
当点E位于的中点时，
∵
∴，此时，取最小值；
中，．
中，，即的最小值为6.
如图，，；
∴
∴
∴的整数值为6，7，8．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 按要求解答
（1）计算：；
（2）解方程：．
答案：（1）6 （2），．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：，
，
，
，．
14. 已知是一元二次方程的两根求代数式的值．
答案：
解：∵已知是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
15. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图．
（1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M；

（2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高．

答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：如图1，点M即为所求；
．
【小问2详解】
如图2，即为所求．
．
16. 已知二次函数，
（1）将二次函数的解析式化为的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
答案：（1）；
（2）二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【小问1详解】
解：
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴该二次函数图像的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
17. 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为_______；
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为1,2，3，
∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为．
故答案为：
【小问2详解】
画树状图如下：
组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种情况，是奇数有13、21、23、31共4种情况，故这个两位数恰好是奇数的概率为．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知直线与轴、轴分别相交于，两点，与反比例函数的图象在第二象限内交于点，且点是的中点.
（1）求点的坐标及的值；
（2）结合图象，直接写出关于的不等式的解集.
答案：（1），
（2）或
【小问1详解】
解：对于，令时，；令时，，解得，，
∴，，
设点C的坐标为，
∵是的中点，
∴，
∴
∴，
∵点C在的图象上，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：反比例函数解析式为
令
解得：或2
由图象知：当或时，一次函数的图象在反比例函数下方，
∴关于的不等式的解集为或.
19. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面积．

答案：（1）详见解析；（2）4．
（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴
∴矩形OCED的面积是2×2＝4．
20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
答案：（1）该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为
（2）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元
【小问1详解】
解：设该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2023年4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
答案：（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险
【小问1详解】
如图，作，垂足为点，

在中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，

，，
，
，
，
在中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有危险．
22. 课本再现
（1）如图1，在和中，，，，
求证：．我们数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证．
请你根据以上分析，完成证明．
知识应用
（2）如图2，在四边形中，，，，求的度数．
答案：（1）见解析
（2）
解：（1）设，则，，
，由勾股定理，得
，
在，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∵
∴由（1）知：
∴
在中，，
∴．
六、（本大题共12分）
23. 已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的顶点坐标为______；
②抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______；
③抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______；
（2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点的左侧）的长度始终不变，求的值和线段的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，．是否存在实数使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1） （2） （3）
【小问1详解】
解：①当时，，
∴抛物线的顶点坐标为；
②∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
③∵抛物线沿着轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：①；②；③．
【小问2详解】
解：将变形得，，
∴抛物线总经过定点，
与轴交于点，
∴抛物线始终经过定点，，
∴直线与抛物线C1相交所得的线段AB的长度不变，且长度为：
，
即当时，线段AB的长恒为4．
【小问3详解】
解：存在实数使得以点、、、为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵抛物线：的顶点坐标为，
由（2）可知，，点、均在直线上，根据翻折的性质可知、两点关于对称，即、在的两侧，故要使、、、四点构成的四边形为正方形，需满足，即点G到直线的距离为2，
∴，
∴，
解得：或．