2025年甘肃省陇南市武都区中考数学模拟试卷

这是一份2025年甘肃省陇南市武都区中考数学模拟试卷，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）23的倒数是（ ）
A．−23B．23C．−32D．32
2．（3分）将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
4．（3分）不等式﹣x﹣3＞0的解集是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜3D．x＞3
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，当AD平分∠CAB时，图中相等的线段有（ ）
A．2组B．3组C．4组D．5组
6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x﹣m的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．﹣2
7．（3分）为了调查不同品牌的衬衣销售情况，某校数学兴趣小组统计了A，B两款衬衣一周的销量，如图是两款衬衣一周的销量变化趋势图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲款衬衣的销量比乙款衬衣销量稳定
B．乙款衬衣的销量平均数高于甲款衬衣
C．甲款衬衣与乙款衬衣销量的变化趋势相同
D．甲款衬衣的销量比乙款衬衣的销量好
8．（3分）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）
A．16πm2B．12πm2C．24πm2D．48πm2
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＝﹣4时，y＝﹣11
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．抛物线开口向下
10．（3分）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（ ）
A．16B．20C．36D．45
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）分解因式：m2﹣9m＝ ．
12．（4分）在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则a＝ ．
13．（4分）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为（﹣1，2），则C点坐标为 ．
14．（4分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠A+∠BCD＝200°，则∠ECD的度数为 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 度．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：−12025+27−(−12)0+2÷(−12)．
18．（6分）先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
19．（6分）解方程：2x−3x2−1−1x+1=2x−1．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD．
（1）用尺规作∠BAD的角平分线，交BC于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE，求证：四边形ABED是菱形．
21．（10分）3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人随机且同时做出“石头、剪刀、布”3种手势中的1种来决定比赛顺序．．
（1）求甲做出“石头”手势的概率；
（2）求甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率．（用画树状图或列表的方法加以说明）
22．（10分）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表．
成绩频数分布表
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）一共抽取了 人，表中a＝ ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？
24．（10分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点B（3，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式．
25．（10分）如图，已知四边形ABCD为菱形，点A，B，C在⊙O上，AD为⊙O的切线．AO的延长线与DC的延长线交于点E，与BC交于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连接OC，若tan∠B＝4：3，CE＝8，求OC的长．
26．（10分）【基础问题】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，BE⊥FE，求证：△ABE∽△DEF；
【拓展延伸】（2）如图2，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°，CD＝3，BE＝2，求BC的长；
（3）如图3，在四边形ABCD中，DE∥BC，交AB于点E，CF∥AD，交AB于点F，∠DEC＝∠A＝∠B，FB＝4，EB＝6，求DEAE的值．
27．（12分）已知抛物线L1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴向右平移得到抛物线L′，平移后点C的对应点为点P，点Q是平面内任意一点，是否存在以A、B、Q、P四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年甘肃省陇南市武都区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．（3分）23的倒数是（ ）
A．−23B．23C．−32D．32
【考点】倒数．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：23的倒数是32；
故选：D．
【点评】此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】点、线、面、体．
【专题】几何图形；几何直观．
【答案】C
【分析】根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断，即可解答．
【解答】解：A、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故A不符合题意；
B、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故B不符合题意；
C、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故C符合题意；
D、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的前提．
3．（3分）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】在图中标注∠3，则∠3＝60°，结合∠1＝45°，可求出∠1+∠3的度数，由直尺的对边平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出∠2的度数．
【解答】解：在图中标注∠3，如图所示．
∵∠1＝45°，∠3＝90°﹣30°＝60°，
∴∠1+∠3＝45°+60°＝105°，
∵直尺的对边平行，
∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣105°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4．（3分）不等式﹣x﹣3＞0的解集是（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣3C．x＜3D．x＞3
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】移项，系数化为1即可求出不等式的解集．
【解答】解：∵﹣x﹣3＞0，
∴﹣x＞3，
∴x＜﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，当AD平分∠CAB时，图中相等的线段有（ ）
A．2组B．3组C．4组D．5组
【考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，AE＝BE，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，AC＝AE，
∴AC＝BE，
则图中相等的线段有5组，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x﹣m的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣8D．﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据“上加下减”的规律解答即可．
【解答】解：一次函数y＝2x﹣m的图象向下平移4个单位，
根据下减规律，得到y＝2x﹣m﹣4，
y＝2x﹣m﹣4是正比例函数，
﹣m﹣4＝0，
解得m＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的规律是解题的关键．
7．（3分）为了调查不同品牌的衬衣销售情况，某校数学兴趣小组统计了A，B两款衬衣一周的销量，如图是两款衬衣一周的销量变化趋势图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲款衬衣的销量比乙款衬衣销量稳定
B．乙款衬衣的销量平均数高于甲款衬衣
C．甲款衬衣与乙款衬衣销量的变化趋势相同
D．甲款衬衣的销量比乙款衬衣的销量好
【考点】折线统计图；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】观察图象，再逐项判断各选项即可．
【解答】观察甲款衬衣与乙款衬衣的销量图可知，甲款衬衣的销量量在每个时段都大于乙款衬衣的销量，
∴甲款衬衣的销量的平均数较大，选项D正确；
而选项A，C，B都与图象不相符合，
故选：D．
【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是能从图象中获取有用的信息．
8．（3分）某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ）
A．16πm2B．12πm2C．24πm2D．48πm2
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可．
【解答】解：该五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴扇形区域总面积是540π×42360=24π(m2)，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是540°，半径是4m的扇形的面积是解题关键．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＝﹣4时，y＝﹣11
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．抛物线开口向下
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：A、由表格中点（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），可知对称轴是直线x＝﹣2，故不符合题意；
B、根据对称轴是直线x＝﹣2，图象过点（1，﹣11），所以当x＝﹣5时，y＝﹣11，故符合题意；
C、由表格数据可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、根据对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（ ）
A．16B．20C．36D．45
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；数形结合；函数及其图象．
【答案】B
【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积．
【解答】解：由图2可知：
当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，
当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，
所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）分解因式：m2﹣9m＝ m（m﹣9） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式m即可．
【解答】解：原式＝m（m﹣9）．
故答案为：m（m﹣9）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12．（4分）在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则a＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】2．
【分析】根据第二行及对角线上的三个数之和相等，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：﹣2+a+6＝2a+a+0，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（4分）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为（﹣1，2），则C点坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．
【解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，
∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣1，2），
∴点C的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．
14．（4分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠A+∠BCD＝200°，则∠ECD的度数为 20° ．
【考点】圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】20°．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A+∠BCE＝180°，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCE＝180°，
∵∠A+∠BCD＝200°，
∴∠BCD﹣∠BCE＝200°﹣180°＝20°，即∠ECD＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 9 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】9．
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE＝2CE＝6即可求解．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
16．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠AED为 75 度．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】75．
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AD＝AE，∠DAE＝30°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠AED=180°−30°2=75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）计算：−12025+27−(−12)0+2÷(−12)．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】33−6．
【分析】根据乘方的意义、算术平方根的定义和零指数幂的性质计算乘方和开方，再把除法化成乘法进行计算，最后算加减即可．
【解答】解：−12025+27−(−12)0+2÷(−12)
=−1+33−1+2×(−2)
=−1+33−1−4
=33−1−1−4
=33−6．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、算术平方根的定义和零指数幂的性质．
18．（6分）先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中x＝3，y＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】4x﹣3y；15．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则化简整式，再代入求值．
【解答】解：[（3x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x
＝[9x2﹣6xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2]÷2x
＝（9x2﹣6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2）÷2x
＝（8x2﹣6xy）÷2x
＝4x﹣3y．
当x＝3，y＝﹣1时，
原式＝4×3﹣3×（﹣1）
＝12+3
＝15．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则、乘法公式等知识点是解决本题的关键．
19．（6分）解方程：2x−3x2−1−1x+1=2x−1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：两边同乘（x+1）（x﹣1）得：2x﹣3﹣（x﹣1）＝2（x+1），
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD．
（1）用尺规作∠BAD的角平分线，交BC于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE，求证：四边形ABED是菱形．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；菱形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE，进而可得AD＝BE，则四边形ABED为平行四边形．再根据AB＝AD，可知四边形ABED是菱形．
【解答】（1）解：如图，AE即为所求．
（2）证明：∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AB＝AD，
∴AD＝BE，
∴四边形ABED为平行四边形．
∵AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键．
21．（10分）3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人随机且同时做出“石头、剪刀、布”3种手势中的1种来决定比赛顺序．．
（1）求甲做出“石头”手势的概率；
（2）求甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率．（用画树状图或列表的方法加以说明）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）13．
（2）29．
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲做出“石头”手势的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲做出“石头”手势的结果有1种，
∴甲做出“石头”手势的概率为13．
（2）将“石头、剪刀、布”三种手势分别记为1，2，3，
画树状图如下：
共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果有：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），共6种，
∴甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率为627=29．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（10分）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣303）m；
（2）教学楼BC的高度约为24m．
【分析】（1）在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF＝BE＝（60﹣303）m，BC＝EF，CF∥DG，从而可得∠DCF＝∠CDG＝37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AE=3DE＝303（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣303）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣303）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣303）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣303）×0.75＝（45﹣22.53）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.53）＝22.53−15≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（8分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表．
成绩频数分布表
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）一共抽取了 50 人，表中a＝ 8 ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？
【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；算术平均数；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）50，8；（2）83.4分；（3）504人．
【分析】（1）由D组人数及其所占百分比可得；根据各组人数之和等于总人数可得a的值；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生18÷36% ＝50 （人），
则A组的人数a＝50×16% ＝8（人），
故答案为：50，8：
（2）抽取的这些学生的平均成绩为：
8×65+10×75+14×85+18×9550=83.4(分)，
∴所抽取的这些学生的平均成绩是83；
（3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为1400×1850=504（人），
∴该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（10分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点B（3，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的表达式是y=6x；
（2）一次函数的表达式是y=43x﹣2．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3，由△OAB的面积为3求得OA＝2，即可求得A（0，﹣2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象过点B（3，2）．
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式是y=6x；
（2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3．
∵S△OAB＝3，
∴12OA⋅BH=3，
∴OA＝2．
∴A（0，﹣2），
把A、B点的坐标代入 y＝mx+n，得n=−23m+n=2，
解这个方程组，得m=43n=−2，
∴一次函数的表达式是y=43x﹣2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
25．（10分）如图，已知四边形ABCD为菱形，点A，B，C在⊙O上，AD为⊙O的切线．AO的延长线与DC的延长线交于点E，与BC交于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连接OC，若tan∠B＝4：3，CE＝8，求OC的长．
【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）OC的长是6．
【分析】（1）连接OC、OD，则OC＝OA，由菱形的性质得CD＝AD，由切线的性质得∠OAD＝90°，而OD＝OD，根据“SSS”证明△OCD≌△OAD，得∠OCD＝∠OAD＝90°，即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由∠COE+∠AOC＝180°，∠ADC+∠AOC＝180°，证明∠OCE＝∠ADC，因为∠B＝∠ADC，所以∠OCE＝∠B，由CEOC=tan∠COE＝tanB=43，CE＝8，求得OC=34CE＝6．
【解答】（1）证明：连接OC、OD，则OC＝OA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD，
∵AD与⊙O相切于点A，
∴AD⊥OA，
∴∠OAD＝90°，
在△OCD和△OAD中，
OC=OACD=ADOD=OD，
∴△OCD≌△OAD（SSS），
∴∠OCD＝∠OAD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵∠COE+∠AOC＝180°，∠ADC+∠AOC＝360°﹣∠OCD﹣∠OAD＝180°，
∴∠COE＝∠ADC，
∵∠B＝∠ADC，
∴∠COE＝∠B，
∵∠OCE＝90°，CE＝8，
∴CEOC=tan∠COE＝tanB=43，
∴OC=34CE=34×8＝6，
∴OC的长是6．
【点评】此题重点考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）【基础问题】（1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，BE⊥FE，求证：△ABE∽△DEF；
【拓展延伸】（2）如图2，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°，CD＝3，BE＝2，求BC的长；
（3）如图3，在四边形ABCD中，DE∥BC，交AB于点E，CF∥AD，交AB于点F，∠DEC＝∠A＝∠B，FB＝4，EB＝6，求DEAE的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）见解析；（2）BC＝9；（3）DEAE=62．
【分析】（1）根据矩形的性质得∠A＝∠D＝90°，结合BE⊥FE，则∠ABE＝∠DEF，证明△ABE∽△DEF，即可作答；
（2）先由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC，再结合∠ADE＝60°，得∠CAD＝∠BDE，证明△ACD∽△DBE，然后把数值代入CDBE=ACDB进行计算，即可得解；
（3）因为DE∥BC，AD∥CF，则∠DEC＝∠A＝∠B＝∠ECB＝∠CFB＝∠DEA所以△DAE∽△CFB∽△ECB，则EBCB=CBFB，得6CB=CB4，解得CB=26，故DEAE=EBCB=62.即可得解．
【解答】（1）证明：∵BE⊥FE，
∴∠BEF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADC+∠BDE＝180°﹣60°＝120°，
∠ADC+∠CAD＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ACD∽△DBE，
∴CDBE=ACDB，
即32=BCBC−3，
解得BC＝9；
（3）解：DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠B＝∠DEA，
∵AD∥CF，
∴∠A＝∠CFB，
∵∠DEC＝∠A＝∠B，
∴∠DEC＝∠A＝∠B＝∠ECB＝∠CFB＝∠DEA，
∴△DAE∽△CFB∽△ECB，
∴EBCB=CBFB，
即6CB=CB4，
解得：CB=24=26，
∴DEAE=EBCB=626=62．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
27．（12分）已知抛物线L1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若将抛物线L沿x轴向右平移得到抛物线L′，平移后点C的对应点为点P，点Q是平面内任意一点，是否存在以A、B、Q、P四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）Q(7+3，3)或Q(7−1，3)或Q(−7−1，3)．
【分析】（1）将点C坐标代入即可得解；
（2）分类讨论，画出图形，再根据菱形的性质即可得解．
【解答】解：（1）由题意得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．
理由：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），
令y＝0得，x＝3或﹣1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB＝4，
①如图，当四边形ABQP 为菱形时，AB＝AP，
过点P作PC⊥x轴于点D，
∵四边形ABQP为菱形，
∴PA＝AB＝4．
∴AD=AP2−DP2=7，
∴OD=7−1，
∴P(7−1，3)，
∴Q(7+3，3)，
②同理，如图，当四边形ABPQ为菱形时，
AB＝BP，P(7+3，3)，
∴Q(7−1，3)；
③同理，如图，当四边形ABPQ为菱形时，
AB＝BP，P(3−7，3)，
∴Q(−7−1，3)；
∴综上，Q(7+3，3)或Q(7−1，3)或Q(−7−1，3)．
【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标特征、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点卡片
1．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
注意：0没有倒数．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
4．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
5．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
6．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
7．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
8．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
9．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
10．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
12．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
13．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．
14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
16．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
17．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
18．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
22．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
23．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
24．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
25．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
26．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
27．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
28．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
29．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
30．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
31．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
32．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
34．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，csA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
36．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
37．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
38．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
39．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
40．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
41．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
42．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1−x）2+（x2−x）2+…+（xn−x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
43．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
44．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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题号
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答案
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分数/分
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80≤x＜90
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D
90≤x≤100
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求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置