湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省娄底市涟源市2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 在中，， 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．
详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：A．
2. 正六边形每一个外角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形外角和，根据多边形的外角和等于求解即可．
【详解】解：．
故选B．
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
详解】解：∵，
∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，
∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，已知，于点E，于点F，给出下列条件：①；②；③；④．其中选择一个就可以判定的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：，，，．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题．
【详解】解：于点E，于点F，
，
，，
；
故①可以判定；
，
，
，，
；
故②可以判定；
，，，
；
故③可以判定；
，
，即，
，，
；
故③可以判定；
综上所述，①②③④可以判定；
故选：D．
5. 如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得即可．
【详解】解：∵是高，，，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选：A．
6. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若，，则斜边的长是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，，， ，求出，进而得出．
【详解】解：∵，，由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，是的角平分线，，则点D到的距离为（ ）
A. 2B. 3·C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等成为解题的关键．
如图：过D点作垂足为E，然后根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：如图：过D点作垂足为E，
∵是的角平分线，，，
∴．
故选：B．
8. 如图，在中，，，，，则的长为（ ）

A. 1.5B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解．
【详解】解：∵，，，，
，,
∴,
．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
9. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（ ）
A. 17B. 24C. 26D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设
根据题意可知，，，，
在中，
，即
解得：
故选：C．
10. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴
∵，
∴，
又∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
故选：A．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11. 若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是______．
【答案】八边形
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线是解决本题的关键．根据多边形的一个顶点引出的对角线的条数与边数的关系解决此题．
【详解】解：∵任意n边形从一个顶点出发可以引条对角线，
则该多边形的边数为：，
故答案为：八边形．
12. 在中， ． 若， 则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
利用勾股定理即可解答此题．
【详解】解：在中， ，，根据勾股定理得：
．
故答案为：．
13. 如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了___米．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可．
【详解】解：由题意知，“路”长（米），
则少走了：（米）；
故答案为：4．
14. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，之间的距离是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可．
【详解】解：由题意知，是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
故答案为：5．
15. 如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意易求，根据，，易求，得到是等边三角形，即，过点作于点H，则，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点H，
则，
∴，
∵，
∴，
故选：．
16. 如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，平分，若，则的长为___________________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线，特殊角的直角三角形，根据性质，和勾股定理计算即可．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
17. 如图，是正五边形，延长、交于点，则___________．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理、三角形的内角和定理，掌握多边形的外角和为，三角形的内角和为是解题的关键．由题意得，、为正五边形的外角，利用多边形的外角和定理得到，再利用三角形内角和定理即可解．
【详解】解：由题意得，、为正五边形的外角，
正五边形的外角和为，
，
．
故答案为：36．
18. 如图，，M、N分别是、的中点，，，则_____．

【答案】8
【解析】
【分析】连接，，根据直角三角形斜边中线定理可知，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，，如图所示：

∵，M是的中点，，
∴，
∵N是的中点，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题 (每小题6分，共12分)
19. 一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为9
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的边数为9．
20. 如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先后利用直角三角形的性质求出和长即可．
【详解】解：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
四、解答题(每小题8分，共16分)
21. 已知： 四边形中， ，， ， ，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）5 （2）36
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的实际应用．
（1）利用勾股定理即可求出的长；
（2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积．
【小问1详解】
解：在中， ，， ，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
【小问2详解】
解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
22. 某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）米
（2）8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
小问1详解】
解：由勾股定理得，
（米）,
（米）,
【小问2详解】
解：如图，在上截取米，连接，
由勾股定理得，（米）,
（米）,
他应该往回收线8米．
五、解答题 (每小题9分，共18分)
23. 如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据，，和是直角三角形，再根据为的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出；
（2）根据，可得，，由，，由三角形内角和即可求得的度数．
【小问1详解】
证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
【小问2详解】
解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
24. 如图，已知AC平分，于E，于F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】（1）AC平分，，，
，和都是直角三角形，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
即的值为4．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键．
六、解答题 (每小题10分，共20分)
25. 如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）已知， ，求值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出；
（2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出；
（3）过C作于E，为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
26. 如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．

（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，，且，求的面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数；
（2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，，
，
【小问2详解】
证明：过点E作交于点G，交于点H，
由（1）可知，，
平分，
，，
，
平分，，，
，
，
，，
平分；
【小问3详解】
解：，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．