黑龙江省齐齐哈尔市联合考试2024-2025学年八年级下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市联合考试2024-2025学年八年级下学期4月月考 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共36分）
1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断．
【详解】A、＝3，与不是同类二次根式；
B、，与不是同类二次根式；
C、，与不是同类二次根式；
D、＝，与是同类二次根式；
故选D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义、二次根式的性质，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. 不是同类项，不能合并，原计算错误；
C. ，原计算错误；
D. ，计算正确；
故选D．
3. 若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴A可以判定是直角三角形，不符合题意；
∵，，
∴，
∴B不能判定是直角三角形，符合题意；
∵，，，
∴，，，
∴，
∴C可以判定是直角三角，不符合题意；
∵，，，
∴，，，
∴，
∴D可以判定是直角三角；不符合题意．
故选：B．
4. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A. 2B. 6C. 8D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案．
【详解】解：，
∵整数，
∴是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数n为6，
故选：B.
5. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A. 直角三角形两锐角互余B. 两直线平行，内错角相等
C. 如果，那么D. 全等三角形对应边相等
【答案】C
【解析】
【分析】写出每个命题的逆命题，然后判断正误即可．
【详解】A、逆命题为：两角互余的三角形是直角三角形，真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题为：内错角相等，两直线平行，真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题为：如果，那么，是假命题，故本选项符合题意；
D、逆命题为：对应边相等的三角形是全等三角形，真命题，故本选不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉性质定理．
6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，，2C. 3，4，5D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数，
根据定义逐项判断即可，满足的三个正整数，即为勾股数．
【详解】因为，所以这三个数不是勾股数，则A不符合题意；
因为不是正整数，所以B不符合题意；
因为，且都是正整数，所以C符合题意；
因为不是正整数，所以D不符合题意．
故选：C．
7. 在中，a，b，c分别是，，的对边．若，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，绝对值，二次根式以及平方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据非负性求出a，b，c，即可判断．
【详解】解：，
，
，
这个三角形一定是等腰直角三角形．
故选：D．
8. 如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接，
由勾股定理得，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
9. 如图，是一长为，宽为，高的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分三种情况讨论：①通过上面和前面抵达②通过上面和右侧面抵达③通过左侧面和前面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算
【详解】解：①通过上面和前面抵达，
②通过上面和右侧面抵达
③通过左侧面和前面抵达；，
∵
∴最短距离是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理，长方体的展开图；具备一定的空间相象能力，将几何体展开是解题的关键．
10. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将化为，然后把，代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：．
11. 如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A. 小于2米B. 等于2米C. 大于2米D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小.
【详解】解：斜靠在竖直的墙上，，，
在中，.
竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，
，，
在中，.
.
，
.
.
的长度小于2米.
故答案为：A.
【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法.
12. 如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：∵长方形中，，，
∴，
∵将沿折叠，点B落在处，与交于E，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
13. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴且，
∴且；
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式要有意义被开方数大于等于0，分式要有意义分母不为0是解题的关键．
14. 已知x，y都是实数，且，则的平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值，进而得出的值代入代数式进行计算即可．
【详解】解：负数不能开平方，
，
即；
，，
，
，
故答案为：．
15. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______方向航行．

【答案】北偏东
【解析】
【分析】由题意易得海里，海里，，则有，所以，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，海里，，海里，
∴，
∴，
∴，
∴乙船沿北偏东方向航行；
故答案为北偏东．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
16. 如果的整数部分为，的小数部分为，求____．
【答案】6
【解析】
【分析】先估算的取值范围，从而求出a，b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
17. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，注意二次根式的性质：．根据数轴判断出和的取值范围，再根据二次根式的非负性化简式子即可得出答案．
【详解】解：根据数轴可得：
∴
∴
故答案为．
18. 如图，在数轴上，点，点分别表示实数，2，过点作．且，连接．若以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点对应的实数为，先求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后利用数轴的性质求解即可得．
【详解】解：设点对应的实数为，
∵在数轴上，点，点分别表示实数，2，
∴，
∵，，
∴，
由作图可知，，
又∵在数轴上，点表示实数，点在数轴正半轴，
∴，
∴，
即点对应的实数为，
故答案为：．
19. 已知，，，，则的面积为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了解含度角的直角三角形的性质和勾股定理；作交于，分两种情况：①在线段上；②在线段的延长线上，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理得出的长，进而根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作交于
①在线段上，如图
∵
∴
∴，，
在中，由勾股定理得

∴
∴
②在线段的延长线上，如图
∵
∴
∴，，
在中，由勾股定理得

∴
∴
故答案为：或．
20. 一组数据按一定规律排列：，，，，，……，这组数据的第25项是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字变化类问题，二次根式的性质，将每个数都写成算术平方根的形式，即可得到被开方数是一组连续的偶数．
【详解】解：按一定规律排列的一列数：，即，，即，，……，故第n个数为（且n为正整数），
所以第25个数是即．
故答案为：．
三、解答题（共60分）
21. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、负整数指数幂、化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分别化为最简二次根式，再运算加减法，即可作答．
（2）先运算平方差公式得，再除法运算，然后合并同类二次根式，即可作答．
（3）先化简绝对值以及负整数指数幂运算，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（4）先化简零次幂、负整数指数幂、再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式；
【小问3详解】
解：原式；
【小问4详解】
解：原式．
22. 如图，在△ABC中，，，．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若AD平分∠BAC，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）只需要利用勾股定理的逆定理验证即可；
（2）过D作于E，由角平分线的性质可得，即可利用勾股定理推出，则，设，则，，在Rt△DEC中，，则，由此求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过D作于E．
∵AD平分∠BAC，，
∴，
在Rt△ABD中，，
同理，
∴，
∴，
设，则，，
在Rt△DEC中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键在于能够根据题意判断出∠B=90°．
23. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算化简原式，然后代入a和b的值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，注意代值若为无理数，结果要分母有理化，要求最简形式．
24. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，现以A、B、C、D、E这5个格点中的3个点为顶点画三角形．

（1）在图①中画一个三角形，使其三边长均为无理数，且三边均不相等；
（2）在图②中画一个直角三角形，要求两直角边不相等；
（3）在图③中画一个等腰直角三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，作三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据网格利用勾股定理求出，，再根据题意，选取适合的边长作三角形即可．
（1）根据题意，连接即可；
（2）根据题意，由，连接即可；
（3）根据题意，由，且连接即可．
【小问1详解】
解：，
，且边长均为无理数，
如图①所示，为所求；
【小问2详解】
解：，
，且，
如图②所示，所求；
【小问3详解】
解：，
，且，
如图③所示，为所求．

25. 阅读下面的材料并解决问题．
……
（1）观察上式并填空：______；
（2）观察上式并猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示）
（3）请利用（2）的结论计算下列式子：
．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要二次根式的化简求值、分母有理数，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
（1）分子、分母都乘以，再进一步计算可得；
（2）分子、分母都乘以，再进一步计算可得；
（3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以求解可得．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
小问2详解】
，
故答案为：；
【小问3详解】
．
26. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．
（1）线段与线段的数量关系为：______．
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【小问1详解】
证明：是等腰直角三角形，，
∴，
∴
故答案为：．
【小问2详解】
和都是等腰直角三角形，，，
，，，
，
连接，如图所示：
在和中，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
；
【小问3详解】
解：过点作于，如图所示：
，，，
，
，
点是的中点，
，
是等腰直角三角形，，，
，
，
．