广西壮族自治区桂林市第十八中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区桂林市第十八中学2024-2025学年八年级下学期3月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的定义，当时，为二次根式，且，正确的理解二次根式的定义是解题的关键．利用二次根式的定义进行筛选即可．
【详解】解：A，是6的算术平方根，，所以是二次根式，选项A正确，符合题意；
B，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误，不符合题意；
C，不是二次根式，；选项C错误，不符合题意；
D，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误，不符合题意；
故选A．
2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式解答即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故选：D．
3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求算术平方根，二次根式的性质及减法运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的性质及运算进行计算判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：B．
5. 计算的结果是（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
6. 若，则的值可以是（ ）
A. 2B. 3C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值可以是．
故选C．
7. 一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可．
详解】解：由题意得：==．
故选A．
8. 若是整数，则整数的值是（ ）
A. 1或3B. 3或6C. 3或12D. 6或12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据是整数，也为整数，得出或，求解即可得出答案．
【详解】解： 若整数，也为整数，
或，
解得：或，
故选：C．
9. 已知实数，满足，则的值是（ ）
A. 4B. 2C. 16D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，
，
解得，
．
故选：C．
10. 若,则a、b两数的关系是（ ）
A. 互为相反数B. 互为倒数C. 相等D. 互为负倒数
【答案】A
【解析】
【分析】把的分子分母同乘（1+），进一步化简与a比较得出结论即可．
【详解】，
∴a与b互为相反数.
故选A.
【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则.
11. 已知，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围．
【详解】解：∵，
∵，
∴，
故选：B．
12. 如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：∵两张正方形纸片的面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积为
．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 的算术平方根为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：的算术平方根为；
故答案为：．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据二次根式除法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 已知二次根式与可以合并，请写出一个满足条件的的值：______．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简，然后根据同类二次根式的定义即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵二次根式与可以合并，
∴
∴，
故答案为：3（答案不唯一）
16. 当时，式子______．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
17. 宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为___________．(结果保留根号)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 ，求出宽，再求出面积即可．
【详解】解：∵四边形是黄金矩形，
∴，
∵长，
∴宽，
∴矩形的面积为．
故答案为：．
18. 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的新定义问题，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；由题意可设，由可知，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：
由，可设：，
∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴当取的正整数时，明显不符合题意，故x的值只能为1，
∴，即，
∴，
∴或2，
当时，则；当时，则；
故答案为或．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先将各二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
=
=
=．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20. 已知都是实数，且，求的值．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于求出x的值，根据二次方根被开方数的取值范围求x的值．
【详解】解：由题意，得，
解得．
．
．
21. 先化简，再代入求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
22. 已知实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，先由数轴得，再结合二次根式的性质化简，即可作答．
【详解】解：由数轴，得
∴，．
．
23. 据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）求从高空抛物到落地时间；
（2）已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）．
【答案】（1）
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
（1）把代入公式即可；
（2）求出，代入动能计算公式即可求出．
【小问1详解】
解：由题意知，
∴，
故从高空抛物到落地时间为；
小问2详解】
解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当时，，
∴，
这个玩具产生的动能，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
24. 若，，求：
（1）；
（2）求．
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∴
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴
．
25. 某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
（1）求该长方形闲置区域的周长；
（2）除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位）
【答案】（1）米
（2）1350.70元
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答．
（2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，（米）．
答：该长方形闲置区域的周长为米．
【小问2详解】
解：
（平方米）．
∴其余区域的面积为平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费135070元．
26. 综合探究：
像这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：
；
．
根据以上信息解答下列问题：
（1）与________互为有理化因式；
（2）化去分母中的根号：________（n为正整数）；
（3）比较大小：________；（填“＞”“＜”或“＝”）
（4）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）＜ （4）
【解析】
【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．
（1）根据互为有理化因式的定义进行求解即可；
（2）根据分母有理数进行求解即可；
（3）将两个式子转化为分数的形式，进行比较即可；
（4）利用分母有理化进行化简后，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴与互为有理化因式；
故答案为：；
【小问2详解】
；
故答案为：；
【小问3详解】
∵，
∵，
∴，
即：；
故答案为：
【小问4详解】
．