2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省咸阳市永寿县御家宫中学九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版），共32页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列几何体中，主视图为三角形是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知正比例函数中，随的增大而减小，则一次函数图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知二次函数图像经过点和点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：______．
10. 如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点是边的中点，则的度数为______．
11. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，历史超三千年，能够启迪智慧，陶冶情操．如图所示，七巧板是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若正方形的边长为4，则5号小正方形的面积为______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为4，点的纵坐标为1，，轴．若的面积为，则的值为______．
13. 如图，在矩形中，点在对角线的两侧，且点到三边的距离均为1，点到三边的距离也均为1．若，则的长为______．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 先化简，再求值：，其中，．
16. 解方程：．
17. 如图，已知是的弦．请用尺规作图法，在上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．求证：．
19. 为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．该活动小组共有多少人？
20. 在两个木盒里分别装进除颜色外质地、大小均相同的小球，①号木盒中有2个白球、1个黄球，②号木盒中有2个红球、2个黄球．
（1）若从②号盒子中随机取出1个球，取出的是黄球的概率是______；
（2）分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率．
21. 如图①是醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来体育竞技．如图②，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，求“采青”路径的长．（参考数据：，，）
22. 西安市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．甲种蔬菜种植成本（元）与甲种蔬菜种植面积的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为每平方米40元．
（1）求甲种蔬菜种植成本与甲种蔬菜种植面积之间的函数关系式；
（2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为多少元？
23. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，数学小组的同学对八（2）班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下不完整的统计图表．
饮品价格统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班级有______名同学；扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是______；请补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如上表），求该班同学每天用于饮品上的人均花费；
（3）若该学校有2600名学生，估计每天饮用碳酸饮料的学生人数．
24. 如图，是的直径，点均在上，，点在的延长线上，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
25. 图①是某花园的紫藤花架的示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线，均是抛物线的一部分．
素材1：某综合实践小组测量得到点到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点的水平距离是3米；曲线的最低点到地面的距离是米，与点的水平距离是4米．
素材2：按图②的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中，均垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米．
将该示意图放入平面直角坐标系中，使地面所在直线在轴上，所在直线在轴上．
（1）求曲线所在抛物线的函数表达式；
（2）若灯带的长为10米，求的长．
26. 【问题提出】
（1）如图①，是直径，点在上，是的中点．若，，求的长；
【问题解决】
（2）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园，分为露营区和活动区．如图②所示，按设计要求，，，，，为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
2025年陕西省初中学业水平考试全真模拟（二）
数 学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值为它的相反数即可得解．
【详解】解：，即的绝对值是，
故选：D．
2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可；
【详解】A、主视图为 ，是三角形，故此选项正确；
B、主视图为 ，是矩形，故此选项错误；
C、主视图为 ，是圆，故此选项错误；
D、主视图为 ，是矩形，故此选项错误；
故选A．
【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别．
3. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，以及，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，

∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，
根据不等式的基本性质1判断A，B，再根据不等式的基本性质2判断D，然后根据不等式的基本性质3判断C即可．
【详解】解：由，根据不等式的基本性质1，两边都加上3，可得，所以A不成立；
由，根据不等式的基本性质1，两边都减去3，可得，所以B不成立；
由，根据不等式的基本性质3，两边都乘以，可得，所以C成立；
由，根据不等式的基本性质2，两边都除以3，可得，所以D不成立．
故选：C．
5. 已知正比例函数中，随的增大而减小，则一次函数图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质、判断一次函数所经过的象限，由正比例函数的性质得出，再结合一次函数解析式得出一次函数经过二、三、四象限，即可得解．
【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小，
∴，
∵一次函数中，，，
∴一次函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
6. 如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，，，，均在格点上，与相交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，由题意可得：，，，，得出，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，四边形内接于，是的直径．若的半径为6，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理．求出的度数是解题的关键．连接．根据圆内接四边形的性质以及，求出．根据圆周角定理得出，那么，然后利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接．
四边形内接于，
，
∵，
∴．
，
，
的半径为6，
的长度为．
故选：B．
8. 已知二次函数的图像经过点和点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把点代入二次函数解析式可得a、b关系，然后再把点代入二次函数解析式结合可进行求解．
【详解】解：把点代入二次函数，得：，
∴，
∴二次函数，
把代入二次函数解析式得：，
∵，
∴；
故选B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，直接提取公因式即可得解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
10. 如图是由正方形和正五边形叠放在一起形成的图形，点是边的中点，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的内角和定理的应用，根据正五边形的内角和可得，结合直线为正五边形的对称轴，可得，进一步结合正方形的性质可得答案.
【详解】解：∵正五边形，点是边的中点，
∴，直线为正五边形的对称轴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴；
故答案为：
11. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，历史超三千年，能够启迪智慧，陶冶情操．如图所示，七巧板是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．若正方形的边长为4，则5号小正方形的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】题目主要考查正方形的性质及图形的面积计算，根据图形，分别确定出各个部分的面积即可得出结果
【详解】解：根据题意得：4号和5号的面积相等，面积为，
∵，
∴5号的面积为：，
故答案为：2．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，点的纵坐标为4，点的纵坐标为1，，轴．若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求解反比例函数的解析式、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系．作轴于，交于，根据题意，利用面积法求出，利用等腰三角形三线合一的性质求得，设出点坐标，表示点的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求．
【详解】解：作轴于，交于，
与轴平行，
，
，
，
点的纵坐标为4，点的纵坐标为1，
，
，
，
的面积为，
，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
顶点、在反比例函数的图象上，
，
，
点坐标为，
，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，点在对角线的两侧，且点到三边的距离均为1，点到三边的距离也均为1．若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】设于H，于G，于M，于N，交于O，连接，由题意得，易证四边形是平行四边形，得，再证四边形是正方形，得，然后证，得，，则，设，且，则，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设于H，于G，于M，于N，交于O，连接，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中,
∴，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
设，且，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
同理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘法、立方根，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式、完全平方公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
；
当，时，．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验计算即可得解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项可得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为．
17. 如图，已知是的弦．请用尺规作图法，在上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，等腰直角三角形的判定与性质，分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于、两点，作直线交于，以为圆心，线段为半径画弧交直线于，作射线交于，则即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，即为所求，
由作图可得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即．
18. 如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再证明即可得到答案.
【详解】证明：，
∴，
在和中，，
∴
∴.
19. 为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”．若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张．该活动小组共有多少人？
【答案】该活动小组共有人
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该活动小组共有人，根据“若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张”列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该活动小组共有人，
由题意可得：，
解得：，
∴该活动小组共有人．
20. 在两个木盒里分别装进除颜色外质地、大小均相同的小球，①号木盒中有2个白球、1个黄球，②号木盒中有2个红球、2个黄球．
（1）若从②号盒子中随机取出1个球，取出的是黄球的概率是______；
（2）分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）利用概率公式计算即可得解；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：从②号盒子中随机取出1个球，取出是黄球的概率是；
【小问2详解】
解：列表得：
共有12种等可能出现的结果，其中取出的2个球恰好都是黄球的情况有种，
∴取出的2个球恰好都是黄球的概率为．
21. 如图①是醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图②，三根梅花桩，，垂直于地面放置，醒狮少年从点跳跃到点，随后纵身跃至点，已知，，，．醒狮少年在某次演出时需要从点直接腾跃至点进行“采青”，求“采青”路径的长．（参考数据：，，）
【答案】“采青”路径的长为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，连接，过点作交于，交于，作于，得出四边形，，，为矩形，由矩形的性质可得，，，在中，求出 ，得出，在中，，得出，计算出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，过点作交于，交于，作于，
，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴四边形，，，为矩形，
∴，，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故“采青”路径的长为．
22. 西安市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．甲种蔬菜种植成本（元）与甲种蔬菜种植面积的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为每平方米40元．
（1）求甲种蔬菜种植成本与甲种蔬菜种植面积之间的函数关系式；
（2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为多少元？
【答案】（1）
（2）2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）设甲种蔬菜种植成本与甲种蔬菜种植面积之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可；
（2）求出甲种蔬菜种植面积，代入解析式得出甲种蔬菜总种植成本，再加上乙种蔬菜种植成本即可．
【小问1详解】
解：设甲种蔬菜种植成本与甲种蔬菜种植面积之间的函数关系式为，
将，代入函数解析式可得：，
解得：，
∴甲种蔬菜种植成本与甲种蔬菜种植面积之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：甲种蔬菜种植面积为（平方米），
当时，，
∴2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为（元），
故2025年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元．
23. 如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，数学小组的同学对八（2）班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下不完整的统计图表．
饮品价格统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班级有______名同学；扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是______；请补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限1瓶，价格如上表），求该班同学每天用于饮品上的人均花费；
（3）若该学校有2600名学生，估计每天饮用碳酸饮料的学生人数．
【答案】（1），，补全条形统计图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、求平均数、补全条形统计图、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据组的人数和所占比例即可得出总人数，用乘以组人数所占比例即可得出扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数，求出组的人数，再补全条形统计图即可；
（2）根据平均数的求法列式计算即可得解；
（3）用乘以每天饮用碳酸饮料的学生人数所占比例即可得解．
【小问1详解】
解：由题意可得：这个班级有名同学；
扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是；
组的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：该班同学每天用于饮品上的人均花费为（元）；
【小问3详解】
解：（人），
故估计每天饮用碳酸饮料的学生人数人．
24. 如图，是的直径，点均在上，，点在的延长线上，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，则，结合题意得出，证明，结合圆周角定理可得，即可得证；
（2）连接，证明，得出，，结合，得出，代入数据计算即可得解．
【小问1详解】
证明：如图：连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即半径的长为．
25. 图①是某花园紫藤花架的示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线，均是抛物线的一部分．
素材1：某综合实践小组测量得到点到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点的水平距离是3米；曲线的最低点到地面的距离是米，与点的水平距离是4米．
素材2：按图②的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中，均垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米．
将该示意图放入平面直角坐标系中，使地面所在直线在轴上，所在直线在轴上．
（1）求曲线所在抛物线的函数表达式；
（2）若灯带的长为10米，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
（1）根据题意用待定系数法求解析式即可；
（2）根据图象关于轴对称，可求出点的横坐标，再根据与之间的距离比与之间的距离多2米，可求出点的横坐标，再根据点在曲线上，求出的纵坐标，从而得出的长度．
【小问1详解】
解：根据题意得曲线的顶点坐标为(3,4)，
设曲线的函数解析式为，
代入得：，
解得：，
曲线的函数解析式为；
小问2详解】
长度为10米，
，
与之间的距离比与之间的距离多2米，
，
则，
．
26. 【问题提出】
（1）如图①，是的直径，点在上，是的中点．若，，求的长；
【问题解决】
（2）畅享绿水青山，近年来户外露营火爆，某街道规划将原来的三角形公园进行扩大改造成四边形公园，分为露营区和活动区．如图②所示，按设计要求，，，，，为改造后公园的两条主干道．为了更好的平衡露营区和活动区用地，要让露营区的面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的露营区？若存在，求面积的最大值及此时点到点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，面积最大值为平方米，此时点到点的距离为米
【解析】
【分析】题目主要考查圆周角定理、解直角三角形，全等三角形的判定和性质，二次函数面积问题等，理解题意，做出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）连接，过点B作于点M，根据圆周角定理确定，得出，再由三角函数确定，同理确定，由勾股定理得出，即可求解；
（2）在上截取，连接，令与交于点G，根据各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质确定，，设，，过点D作于点E，则，结合图形确定面积函数，然后利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）连接，过点B作于点M，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）在上截取，连接，令与交于点G，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
设，
∴，
过点D作于点E，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
∴存在，面积的最大值为平方米，此时点到点的距离为米．
饮品名称
自带白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均（元／瓶）
0
2
3
4
①
②
红1
红2
黄1
黄2
白1
红1，白1
红2，白1
黄1，白1
黄2，白1
白2
红1，白2
红2，白2
黄1，白2
黄2，白2
黄
红1，黄
红2，黄
黄1，黄
黄2，黄
饮品名称
自带白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均（元／瓶）
0
2
3
4