【2025届上海高三一模数学】2025届上海市静安区高三数学一模试卷及答案

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本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2024.12
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1．设集合，，则_______．
2．不等式的解集为_______．
3．已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为_______．
4．设是等差数列，，，则该数列的前8项的和的值为_______．
5．到点、距离之和为10的动点的轨迹方程为_______．
6．在△中，已知，，，则的值为_______．
7．已知物体的位移(单位：m)与时间(单位：s)满足函数关系，则该物体在
(s) 时刻的瞬时速度为_______()．
8．若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可
推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这
两个正数相等时成立”．则_______．
9．以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的
值为______．
B
A
10．如右图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同
一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的
B层，已知．小明在家测得东方明珠塔尖的仰角
为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为， 则他俩
所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离______．
11．记．若函数是偶函数，则该函数图像与轴
交点的纵坐标的最大值为________．
12．已知、、、、是从大到小连续的正整数，且，
则的最小值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13．设，则“”是“且”的…………………………………( )
A．充分非必要条件；
B．必要非充分条件；
C．充要条件；
D．既非充分又非必要条件．
14．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为……………………………………………………………………………………( )
A．14小时；
B．18小时；
C．20小时；
D．24小时．
15．我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”．如图是一个水平放置的△，，，．现将△沿 折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为……………………………………………………………………………………( )
A．；
D
B
C
A
B．；
C．；
D．．
16．在四棱锥中，、，，则该四棱锥的高为 ……………………………………………………………………………………………( )
A．4；
B．3；
C．2；
D．1．
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(满分14分) 本题共2个小题，每个小题均是满分7分．
设函数,．
(1) 求函数的单调区间；
(2) 求不等式的解集．
18．(满分14分) 本题共2个小题，每个小题均是满分7分．
已知向量、，且．
(1) 求及；
(2) 记，求函数的最小值．
19．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形．
(1) 求正三棱锥的体积；
(2) 设、、分别是线段、、的中点．
求证： = 1 \* GB3 ① 平面；
= 2 \* GB3 ② 若平面交于点，则四边形是正方形．
A
B
C
D
E
F
G
H
20．(满分18分) 本题共3个小题，每个小题均是满分6分．
如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成．已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2．
(1) 请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；
(2) 在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上．求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值；
(3) 求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上．
A
C
F
E
B
D
21．(满分18分) 本题共3个小题，每个小题均是满分6分．
如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数．
① 对任意的，有，；
② 对于任意的，若，则．
求证：
(1) 是型函数；
(2) 型函数在上为增函数；
(3) 对于型函数，有(为正整数)．
参考答案与评分标准
一、1．； 2．； 3．； 4．36；
5．； 6．； 7．2； 8．；
9．； 10．； 11．； 12．100000．
二、13．B； 14．B； 15．D； 16．C．
三、17．(1) ，由，解得．
可知原函数的驻点为， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
列表如下：
所以，该函数的严格单调增区间为和， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
严格单调减区间为和．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2) ，， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
，故． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
18．解 (1) ．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
．
因为，所以． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
(2) ，﹒﹒﹒3分
当，即时，该函数取得最小值．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
A
B
C
D
E
F
G
H
M
O
19． 解：(1) 因为三棱锥A－BCD是一个正三棱锥，
所以，点A在底面BCD上的射影点O必是△BCD的中心．
连接且延长与交于点，
可得，．
所以．﹒﹒﹒﹒2分
可得△BCD的面积为．
所以，正三棱锥的体积
．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
(2) = 1 \* GB3 ①由已知，有，且平面，
所以，平面. ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
= 2 \* GB3 ②设与平面交于点，则平面平面，
所以，，点是的中点.
所以，
同理，有，
由三角形中位线的性质，得到四边形是菱形．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分
因为OD⊥BC，又OD为AD在底面BCD内的射影，
所以，AB⊥CD. 可得HG⊥EH，故，四边形EFGH是正方形． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
A
C
F
E
B
D
y
O
x
20． 如图建立平面直角坐标系， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
于是，抛物线过点，
所以，抛物线的方程为，．﹒﹒4分
线段的方程为，． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(2) 设，则．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
以为母线的圆柱的底面半径满足，所以其体积.
方法1：，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
所以，当时，其体积取得最大值． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
方法2： ，解得有实际意义的驻点．﹒﹒﹒﹒3分
列表如下：
所以，该函数在区间为严格单调增函数，在区间为严格单调减函数﹒﹒4分
所以，当时，其体积取得最大值． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
(3) 证明：因为，所以，抛物线上任意一点的切线斜率为,
设，是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为，，则其方程分别为
，，且,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
消去，解得，
因为，得．
故，抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
21．证明：(1) 记；
对任意的，有，；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
对于任意的，若，则．
，
即． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
故，函数是型函数．
(2) 设，且，则．因此
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分
， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
可知在上为增函数．
(3) 因为

， ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以，，
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
……
． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
2
0
极大值-4
极小值4
0
极大值-4