天津市师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级下学期中结课考试数学试卷

这是一份天津市师范大学附属实验中学2024-2025学年九年级下学期中结课考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
2．一个正方形的面积为2，则其边长可估算为（ ）
A．1.2与1.3之间B．1.3与1.4之间
C．1.4与1.5之间D．1.5与1.6之间
3．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（ ）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×106D．35×107
6．sin60°+tan60°的值为（ ）
A．B．C．D．
7．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
9．方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．﹣33B．15C．﹣28D．﹣21
10．如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD交AC于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠ABG＝30°B．∠ABE＝15°C．2BG＝ABD．AE＝EG
11．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠CAD的度数为（ ）
A．100°B．90°C．70°D．60°
12．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y＝﹣+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题
13．计算：（﹣2a）3＝ ．
14．计算的结果等于 ．
15．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的三种球，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，从中任意摸出1个球是黄球的概率为 ．
16．对于一次函数y＝（3﹣m）x+1，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
17．如图，正方形ABCD与正方形正方形EFGH，满足EF∥AB．正方形ABCD的边长为6，正方形EFGH的对角线．
（Ⅰ）正方形EFGH的边长为 ．
（Ⅱ）线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，为△ABC的外接圆⊙O的一部分．
（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，过点B画出△ABC的高BH，高BH的延长交于点D，在线段BH上画出点D关于AC的对称的点E（不要求证明） ．
三、解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
20．春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，⊙O的切线BD与OC的延长线相交于点D．
（1）如图①，若BD∥AC，求∠ACO的大小；
（2）如图②，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
22．如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线 EF上取三点A，B，G，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠BDG＝30°，∠BGD＝90°，量得的AB长为70m．设线段DG的长为am．
（Ⅰ）用含有a的式子表示线段BG，CD的长；
（Ⅱ）求C，D两点间的距离（sin37°取，cs37°取，tan37°取，取1.7，结果取整数）．
23．2022年3月23日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离y（m）与离学校的时间x（min）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）填空：
（1）学校到科技馆的距离是 m；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为 min；
（3）小明在整个途中，骑行的最快速度是 m/min；
（4）小明在整个途中，共行驶了 m．
（5）（Ⅰ）直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即6≤x≤15）期间，他离科技馆的距离y（m）与离开学校时间x（min）之间的函数关系：
（Ⅱ）当小明离开学校2min时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟60m，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案）
24．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒．
（1）当点G落在线段OB上时，t＝ ；当点G落在线段CB上时，t＝ ；
（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；
（3）当时，请直接写出S的取值范围．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
2025年天津师大附属实验中学中考数学结课试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、单选题
1．计算：3+（﹣2）结果正确的是（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键．
2．一个正方形的面积为2，则其边长可估算为（ ）
A．1.2与1.3之间B．1.3与1.4之间
C．1.4与1.5之间D．1.5与1.6之间
【分析】根据正方形的面积为2，表示出边长，估算即可．
【解答】解：正方形的面积为2，则有边长为，
∵1.96＜2＜2.25，
∴1.4＜＜1.5，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（ ）
A．3.5×106B．3.5×107C．35×106D．35×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将35000000用科学记数法表示为：3.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．sin60°+tan60°的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据sin60°＝，tan60°＝解答即可．
【解答】解：sin60°+tan60°＝+＝．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．
7．化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先通分，再化简即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减，关键是掌握分式加减的运算法则．
8．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝＝﹣，k2+1＞0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴A、B在第二象限内，C在第四象限内，
∴y3＜0，y1＞0，y2＞0，
∵﹣3＜﹣1，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
9．方程x2﹣2x﹣24＝0的根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（ ）
A．﹣33B．15C．﹣28D．﹣21
【分析】先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣24，再计算（x1+1）（x2+1）得x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣24，
所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣24+2+1＝﹣21．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD交AC于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠ABG＝30°B．∠ABE＝15°C．2BG＝ABD．AE＝EG
【分析】由作图方法可知，BD是EF的垂直平分线，则根据等边三角形的性质只能得到．
【解答】解：由作图方法可知，BD是EF的垂直平分线，
∴BG⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴，
故A正确，对于B、C、D条件不足，不能证明成立，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接AE．若AE∥BD，则∠CAD的度数为（ ）
A．100°B．90°C．70°D．60°
【分析】利用旋转变换的性质以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：由旋转变换的性质可知：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣100°）＝40°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝40°，
∵∠CAE＝∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
12．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m，篮圈距地面3m，设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y＝﹣+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，
把（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4中得：＝16a+4，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+4，
故①正确；
当x＝7时，y＝﹣×（7﹣4）2+4＝3，
∴此球能投中，
故②不正确；
当x＝1时，y＝﹣×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
故③正确；
综上所述：上列结论，正确的个数是2个，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二、填空题
13．计算：（﹣2a）3＝ ﹣8a3 ．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可．
【解答】解：（﹣2a）3＝（﹣2）3a3＝﹣8a3．
【点评】本题考查积的乘方的性质，要注意符号的运算．
14．计算的结果等于 ﹣1 ．
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝（1+）（1﹣）＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15．一个不透明的袋中装有除颜色外都相同的三种球，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，从中任意摸出1个球是黄球的概率为 ．
【分析】用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率．
【解答】解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，
∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．对于一次函数y＝（3﹣m）x+1，函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是 m＞3 ．
【分析】根据一次函数的增减性可得3﹣m＜0，进一步求解即可．
【解答】解：根据题意，得3﹣m＜0，
解得m＞3，
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质与系数的关系是解题的关键．
17．如图，正方形ABCD与正方形正方形EFGH，满足EF∥AB．正方形ABCD的边长为6，正方形EFGH的对角线．
（Ⅰ）正方形EFGH的边长为 2 ．
（Ⅱ）线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ．
【分析】连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，由△FHM≌△CPM，求出FH＝PC＝2，根据等腰直角三角形的性质求出PQ＝CQ＝2，再运用勾股定理求出PD，根据三角形中位线性质定理可求出MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵正方形EFGH的对角线．
∴EF＝＝2，
故答案为：2；
（Ⅱ）连接HM并延长至点P，使MP＝MH，作PQ⊥CD于点Q，连接PC、FH、PD，
∵M是线段CF的中点，
∴MF＝MC，
在△FHM和△CPM中，
∴△FHM≌△CPM（SAS），
∴FH＝PC＝2，∠HFM＝∠PCM，
∵FG∥BC，
∴∠GFM＝∠BCM，
∴∠HFG＝∠PCB＝45°
∴∠PCQ＝45°，
∴PQ＝QC＝2，
∴DQ＝CD+CQ＝8，
∴，
∵线段HP的中点为M，DH的中点为N，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线性质定理的综合运用，通过辅助线构造全等三角形和三角形中位线是解决问题的关键．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，为△ABC的外接圆⊙O的一部分．
（Ⅰ）线段AC的长等于 5 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，过点B画出△ABC的高BH，高BH的延长交于点D，在线段BH上画出点D关于AC的对称的点E（不要求证明） 见解答 ．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理求解即可；
（Ⅱ）利用网格即可在图1中，过点B作出△ABC的高BH，延长BH交⊙O于点D，在线段BH上作出点D关于AC对称的点E．
【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝5，
故答案为：5；
（Ⅱ）如图所示．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，圆的认识，圆周角定理，三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
三、解答题
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 x≤ ；
（2）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤ ．
【分析】分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出各不等式的解集，再找出出其公共部分即可．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≤；
（2）解不等式②，得x＞﹣3；
（3）不等式①和②的解集在数轴上表示为：
；
（4）原不等式组的解集为：﹣3＜x≤．
故答案为：x≤；x＞﹣3；数轴见解析；﹣3＜x≤．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知以上知识是解题的关键．
20．春节期间为了表达美好的祝福，抢微信红包成为了人们最喜欢的活动之一．某中学九年级六班班长对全班学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次抽取的学生人数为 40 ，图①中m的值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这组红包金额数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（1）求得直方图中各组人数的和即可求得本次抽取的学生人数，利用百分比的意义求得m；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出平均数，再根据统计图中的数据可以得到众数和中位数．
【解答】解：（Ⅰ）4+6+12+10+8＝40（人），
m＝100×＝25．
故答案为：40，25；
（Ⅱ）∵＝33，
∴这组红包金额数据的平均数为33，
∵这组数据中，30出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是30，
∴，
∴这组红包金额数据的中位数为30．
【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，⊙O的切线BD与OC的延长线相交于点D．
（1）如图①，若BD∥AC，求∠ACO的大小；
（2）如图②，若BD＝3，CD＝1，求AB的长．
【分析】（1）如图①，连接BO，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再证明四边形ABDC为平行四边形，则∠A＝∠D，接着根据圆周角定理得到∠O＝2∠A，则利用∠O+∠D＝90°可计算出∠A＝30°，然后利用平行线的性质得到∠ACO的度数；
（2）过O点作OQ⊥AB于Q，过B点作BH⊥OC于H，连接OB，如图②，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r+1，利用勾股定理得到r2+32＝（r+1）2，解方程得到OB＝4，OD＝5，再利用面积法求出BH＝，则OQ＝，接着利用勾股定理计算出BQ＝，然后根据垂径定理可得到AB的长度．
【解答】解：（1）如图①，连接BO，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥DB，
∴∠OBD＝90°，
∵OC∥AB，BD∥AC，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A＝∠D，
∵∠O＝2∠A，∠O+∠D＝90°，
∴2∠A+∠A＝90°，
解得∠A＝30°，
∵AB∥OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°；
（2）过O点作OQ⊥AB于Q，过B点作BH⊥OC于H，连接OB，如图②，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，OD＝r+1，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥DB，
∴∠OBD＝90°，
在Rt△OBD中，r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
∴OB＝4，OD＝5，
∵BH•OD＝OB•BD，
∴BH＝＝，
∵AB∥OD，
∴OQ＝BH＝，
在Rt△OBQ中，BQ＝＝，
∵OQ⊥AB，
∴AQ＝BQ，
∴AB＝2BQ＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
22．如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线 EF上取三点A，B，G，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠BDG＝30°，∠BGD＝90°，量得的AB长为70m．设线段DG的长为am．
（Ⅰ）用含有a的式子表示线段BG，CD的长；
（Ⅱ）求C，D两点间的距离（sin37°取，cs37°取，tan37°取，取1.7，结果取整数）．
【分析】（1）在Rt△DBG中，根据∠BDG＝30°，DG＝am，可以求出tan∠BDG＝，过点B作BH⊥CD，解直角三角形求出DH和CH，进而解答即可；
（2）过点C作CM⊥EF，在Rt△AMC中和Rt△BMC中，解直角三角形求出AM和BM即可．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△DBG中，∠BDG＝30°，DG＝am，
∴tan∠BDG＝tan30°＝＝＝，
∴BG＝a，
过点B作BH⊥CD，
∵BH∥GD，
∴∠DBH＝∠BDG＝30°，BH＝DG＝am，
在Rt△BHD中，∠HBD＝30°，BH＝am，
∴DH＝a•tan30°＝a，
∵CD∥AB，
∴∠HCB＝∠ABC＝37°，
∴CH＝＝a，
∴CD＝CH+DH＝＝a；
（Ⅱ）过点C作CM⊥EF，
在Rt△AMC中，
∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，
∵∠ABC＝37°，
tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DG，
在Rt△BDG中，
∵∠BDG＝30°，
∴BG＝30×tan30°＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BG＝×30+10＝40+10≈57（米），
答：C，D两点间的距离约为57米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系以及几个直角三角形之间的关系是正确解答的关键．
23．2022年3月23日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离y（m）与离学校的时间x（min）的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）填空：
（1）学校到科技馆的距离是 3000 m；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为 2 min；
（3）小明在整个途中，骑行的最快速度是 320 m/min；
（4）小明在整个途中，共行驶了 4920 m．
（5）（Ⅰ）直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即6≤x≤15）期间，他离科技馆的距离y（m）与离开学校时间x（min）之间的函数关系：
（Ⅱ）当小明离开学校2min时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟60m，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案）
【分析】（Ⅰ）（1）根据图象求解；
（2）根据图象求解；
（3）先求出各段的速度，再比较大小；
（4）根据路程和求解；
（5）根据待定系数法求解；
（Ⅱ）先求出小强的函数解析式，再根据图象求解．
【解答】解：（Ⅰ）（1）学校到科技馆的距离是 3000（m），
故答案为3000；
（2）小明等待红绿灯所用的时间为：8﹣6＝2（min），
故答案为：2；
（3）（3000﹣1560）÷6＝240，（1560﹣600）÷（12﹣8）＝240，（1560﹣600）÷（15﹣12）＝320，1560÷（21﹣15）＝260，
∴小明在整个途中，骑行的最快速度是 320m/min，
故答案为：320；
（4）3000+2×（1560﹣600）＝4920（m）
∴小明在整个途中，共行驶了 4920m，
故答案为：4920；
（5）当6≤x≤8时，y＝1560，
当8＜x≤12时，设y＝kx+b，
则，解得：，
∴当8＜x≤12时，y＝﹣240x+3480；
当12＜x≤15时，设y＝ax+c，
则解得：，
∴当12＜x≤15时，y＝320x﹣3240；
（Ⅱ）小强离科技馆的距离y与小明离学校的时间x之间的函数解析式为：y＝60（x﹣2）＝60x﹣120，
图象如下虚线所示：
由图象得：当x＝12时，y＝600，
当15＜x≤21时第二次相遇，
设DE：y＝ex+f，则，解得：，
∴DE：y＝﹣260x+5460，
解得：，
即当x＝9时，第二次相遇，此时距科技馆926.25m，
∴他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是600m或926.25m．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
24．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒．
（1）当点G落在线段OB上时，t＝ ；当点G落在线段CB上时，t＝ 2 ；
（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；
（3）当时，请直接写出S的取值范围．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（2）在整个运动过程中，分两种情况画出图形，即可得△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数关系式；
（3）根据t的取值范围得到当时，求出对应的函数S的取值范围即可．
【解答】解：（1）如图1中，当点G落在OB上时，
∵B（3，3），
∴AB＝BC＝3，AO＝BC＝3，
∴tan∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∵AE＝t，AF＝t，
∴tan∠AEF＝＝，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AEF＝∠AOB＝30°，
由翻折的性质可知，EA＝EG，∠AEF＝∠FEG＝30°，
∴∠AEG＝60°，
∵∠AEG＝∠EOG+∠EGO，
∴∠EOG＝∠EGO＝30°，
∴EG＝EO，
∴AE＝OE，
∴2t＝3，
∴t＝，
如图2中，当点G落在BC上时，AG＝FG＝2BF，
∴t＝2（3﹣t），
∴t＝2，
故答案为：，2．
（2）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是△EFG，S＝•EG•FG＝t2．
如图3﹣2中，当＜t≤3时，重叠部分四边形EFNM，
S＝S△EFG﹣S△MNG＝t2﹣（2t﹣3）2＝﹣t2+6t﹣．
综上所述，S＝；
（3）当t＝2时，S＝﹣t2+6t﹣＝﹣×4+6﹣＝，
当t＝时，S＝﹣t2+6t﹣＝﹣×2+6﹣＝，
∴当时，S的取值范围为＜S≤．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、三角形的面积公式等，对解题能力要求较高，正确地理解题意是解题的关键．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，将A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入函数表达式，再根据OC＝3，求出a，即可知顶点D；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点P（x，x2+4x+3），求出点N，则•|OB|，据此分析即可；
（3）过点C作与y轴夹角为30°的直线CE，过点A作AE⊥CE，垂足为E，交y轴于点Q，则EQ＝CQ，此时AQ+CQ值最小，即求AE，根据△CQE∽△AQO，得出∠OAQ＝30°，根据A（﹣1，0），AO＝1，求出OQ＝tan30°•A0＝，AQ＝2OQ＝，由CO＝3，则CQ可求，在Rt△CQE中，QE＝CQ，则AE＝AQ+QE．
【解答】（1）根据题意，将A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入函数表达式，
则y＝a（x+1）（x+3）＝a（x2+4x+3），
∵OC＝3，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x+3，
则顶点D（﹣2，﹣1）；
（2）将点B（﹣3，0）、C（0，3）代入：y＝mx+n，
则一次函数y＝x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点P（x，x2+4x+3），
则点N（x，x+3），
则•|OB|＝（x+3﹣x2﹣4x﹣3）
＝﹣（x2+3x）﹣＜0，
∵﹣＜0，
故 S△PBC有最大值，此时 x＝﹣．
故点P（﹣，﹣）；
（3）存在，理由：如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CE，过点A作AE⊥CE，垂足为E，交y轴于点Q，
则EQ＝CQ，此时AQ+CQ值最小，即求AE．
∵△CQE∽△AQO，
∴∠OAQ＝30°，
∵A（﹣1，0），AO＝1，
∴OQ＝tan30°•AO＝，AQ＝2OQ＝，
∵CO＝3，
∴CQ＝3﹣＝，
在Rt△CQE中，QE＝CQ＝，
∴AE＝AQ+QE＝+＝，
∴最小值为．
【点评】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数的性质、图形的面积计算等，掌握相关知识是解题的关键．
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答案
A
C
D
C
B
B
A
C
D
A
D
题号
12
答案
B