云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析

这是一份云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析，共14页。试卷主要包含了 棣莫弗公式， 在中，若，且，那么一定是， 已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
高一数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集概念以及区间的表示即可得解.
【详解】集合，，则.
故选：D.
2. 函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数图象的平移与伸缩变换求解即可.
【详解】的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象.
故选：C.
3. 下列函数中，是偶函数，最小正周期为且在区间上单调递增的是（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：为最小正周期为的奇函数，故A错误；
对于B：为最小正周期为的偶函数，
当时，所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C：令，则，，
所以为偶函数，
又的图象是由的图象将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，
最小正周期为，且在上单调递减且函数值为正，
所以的最小正周期为，且在上单调递减，故C错误；
对于D：为最小正周期为的奇函数，故D错误.
故选：B
4. 已知函数零点在区间内，，则的值为（）
A. －2B. －1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.
故选：B
5. 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得
，即，所以．
故选：C．
6. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
7. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
8. 设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】由为奇函数，得，
得的图象关于点对称，所以.
又因为是定义域为的偶函数，所以，，
所以的周期为4，
所以.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解.
【详解】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，
若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，
此时圆柱的体积
若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，
此时圆柱的体积
故选：BD
10. 已知向量，，则（）
A. 若与垂直，则B. 若，则的值为-5
C. 若，则D. 若，则与夹角为60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量模的夹角的余弦坐标公式验算即可.
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，此时，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，注意到此时，
与的夹角的余弦值为，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，下列结论正确的是（）
A. 在区间单调递增
B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数在有5个零点
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件得，再利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】，其图象如图，
对于选项A，当时，，，易知在区间单调递减，所以选项A错误，
对于选项B，因为的对称轴为，而的对称轴也是，所以选项B正确，
对于选项C，当时，，此时，有无数多个零点，所以选项C错误，
对于选项D，因为，又偶函数在递减，所以，故选项D正确，
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据体积公式和面积公式列式计算.
【详解】设此球的半径为，则，
解得.
故答案为：.
13. 已知非零向量满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可.
【详解】如图当时，为等边三角形，
则为线段的长度，
所以.
故答案为：.
14. 在中，，，其面积为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知不等式，的解集是．
（1）求常数的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值；
（2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为的解集是，
所以和为关于的方程的两根且，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可得关于的不等式的解集为，
所以，解得，
即的取值范围为.
16. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
17. 在中，已知．
（1）求的大小；
（2）请从条件①：，条件②：，这两个条件中任选一个作为条件，求和的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）或
（2）选条件①，，，选条件②，，
【解析】
【分析】（1）先用正弦定理求出角A；
（2）选条件①：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；选条件②：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．
【小问1详解】
中，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
且，所以或.
【小问2详解】
选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
.
即，
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
，
即.所以，
由正弦定理得：，
即，即.
18. 如图，已知是边长为的正方形的中心，质点从点出发沿方向，同时质点也从点出发沿方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为，质点的速度为．
（1）请将表示为时间（单位：）的函数______；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，分，与，利用向量的数量积的坐标表示，即可求出的表达式，
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，结合一次函数与二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，解得，所以，
当时，，
则，
当时，，
则，
当时，，
则，
综上，
【小问2详解】
当时由（1）知单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为．
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为；
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为0．
综上的最小值为．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
【小问1详解】
由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由
得：，整理得，
则