2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题13导数运算法则在抽象函数中的应用专题特训(学生版+解析)

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导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.
(一) 抽象函数的奇偶性及应用
若两边求导得，即，即若可导函数是偶函数，则是奇函数，同理可得：若可导函数是奇函数，则是偶函数.
【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.
【解析】（1）由题可知，，
所以切线的斜率为，且，
所以函数在点的切线方程为，即；
（2）由题可知，
又因为定义域上对任意的实数满足，
所以，即，
当且时，，
当时，，当时，；
（3）因为函数在定义域上是奇函数，所以，
所以，所以，所以是偶函数，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，即，
所以是周期为的函数，
所以，所以.
(二)和差型抽象函数的应用
解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数 ，一般地，若给出通常构造函数.
【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集．
【解析】令，则，∴在上为单调递增．
又∵，∴，则可转化为，
根据单调性可知不等式的解集为．
(三)积型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数.
【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数在上满足且不恒为0，则称函数为区间上的绝对增函数，称为函数的特征函数，称任意的实数为绝对增点（为函数的导函数）．
(1)若1为函数的绝对增点，求的取值范围；
(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为．
（ⅰ）证明：是的极值点；
（ⅱ）证明：不是绝对增函数．
【解析】（1）因为函数，所以，
则．
由得，解得或，
所以为区间及区间上的绝对增函数．
又1为函数的绝对增点，所以或，解得或，
所以的取值范围为．
（2）（ⅰ）设为区间上的绝对增函数，由题意知，当时，．
①若，存在，且在区间上单调递增，则在区间上，，则，与矛盾．
若，存在，且在区间上单调递减，则在区间上，，则，与矛盾．
若，存在，且在区间上不单调，则存在，且，此时与有唯一零点矛盾．所以．
②若，不妨设，则，且存在，使得当时，，且当时，，即，使在上单调递减，在上单调递增．
所以为的极值点．同理，当时也成立．
（ⅱ）若为绝对增函数，则在上恒成立，
又恒成立，所以恒成立．
令，所以，且，
所以在上单调递增．又，所以当时，，则，与矛盾，所以假设不成立，所以不是绝对增函数．
【例4】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较
与的大小.
【解析】因为，所以，．
由，得．
即．
令，，则．
所以函数在上为增函数，
则，即，所以，即．
(四)商型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数.
【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题，
由柯西中值定理知：对，，
使得，，
又在上单调递增，则，
则，即，
所以，
故在上为增函数；
（2），
取，，
因为，所以由柯西中值定理，，
使得，
由题则有：，
设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以实数的取值范围是.
【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小.
【解析】设，则
所以函数在上单调递增.
， 为锐角三角形两个内角,则
所以，由正弦函数在上单调递增.
则
所以，即
所以.
(五)根据构造函数
若给出形如的式子通常构造偶函数或奇函数.
【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以
令
即函数为偶函数,因为上有,
所以
即函数在单调递增；
又因为
所以

即,所以,解得 ,故选B.
(六)信息迁移题中的抽象函数
求解此类问题关键是如何利用题中的信息.
【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
【解析】（1），故是“线性控制函数”；
，故不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设，其中
由于在上严格增，故，因此
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为减函数
，
综上所述，，即命题“”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意都有
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为增函数
因此对任意都有，即
当时，则恒成立
当时，
若，则，故
若时，则存在使得
故1，因此
综上所述，对任意都有.
（事实上，对任意都有，此处不再赘述）
【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；
(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；
(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
【解析】（1）设点，由，求导得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值为9.
（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，
又圆M：的圆心，直线的斜率为，
则由，得，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，
所以当时，.
（3）假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，则有，
从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件.
【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有，则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为，导函数分别为与，与的图象在上有且仅有一个交点，与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若，，试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：（为奇数）.
【解析】（1）设，
则，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当且仅当时取等号.
又与的图象在上有且仅有一个交点，
函数与关于点互回.
（2）设，，则，（互回的定义的应用）
设，则，故.
①若均大于零，因为，（提示：与的图象交于点.
所以，所以单调递增，
又，（提示：与的图象交于点）
所以，，
所以，，
所以与关于点互穿且在上恒成立.
②若均小于零，因为，
所以，所以单调递减，
又，
所以，，
所以，，
所以与关于点互穿且在上恒成立.
综上，与关于点互穿且在上恒成立.
（3）设，（）
则（），（）
（关键：寻找与，与，之间的关系）
易知，，
由（1）可知与关于点互回.
因为，
所以，与的图象交于点.
由（2）得与关于点互穿，（提示：，）
由（3）得与关于点互回，
易得当为奇数时，与关于点互回，
所以，，有（为奇数）.（提示：互回的定义的应用）
由题意得对任意正整数恒成立，（提示：由本问信息可得）
所以
，，
累乘得
所以
易知，（点拨：，当且仅当时等号成立，又，所以.所以.
因为，（为奇数），
所以（为奇数），
因为，所以（为奇数），
即（为奇数），得证.
【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间上连续的可导函数，在上任取两点，，如果对于任意的与的算术平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的算术平均值，则称该函数在上具有“M性质”.如果对于任意的与的几何平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的几何平均值，则称在上具有“L性质”.
(1)如果函数在定义域内具有“M性质”，求的取值范围.
(2)对于函数，若该函数的一个驻点是，求，并且证明该函数在上具有“L性质”.
(3)设存在，使得.
①证明:取，则有
②若，设命题:函数具有“性质”，命題为严格减函数，试证明是的必要条件.
(可用结论:若函数在区间上可导，且在区间上连续，若有，且，则在区间上存在驻点)
【解析】（1）由函数在上具有“性质”，
可得对任意.
又，所以；
（2）令由，得
则，在上严格减:在上严格增.
要证在上具有“性质”.
需证，
即证，
而，
则
，
需证，
由，
故只需证，
下面给出证明：设，则，
即在上递减，
所以，
即.
综上，成立，
故，得证.
（3）①令，，
由可用结论，令为该函数的驻点，则，
即取，则有，得证.
②取，设，
记，则，由①中的结论，则有:
（1）
（2）
由(1)(2)，得对在区间使用①中的结论，则：
，
其中，.
由于是严格减函数，则，
即，
即.
所以是的必要条件.
【例3】已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，求证：.
【解析】设函数，因为，，
所以，则，
所以在上单调递减，
从而,即，所以.
【例4】已知函数满足，且，判断函数零点的个数.
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如图所示，
函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.
【例5】已知定义在R上的函数的导数为,且满足,当时 ,求不等式的解集.
【解析】设,则,所以
=,所以是偶函数,设,则,所以,即,所以时 , 所以时,在上是增函数,所以
,故选C.
【例6】已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.
【解析】（1）若，则，
由题意，对任意的都有，
则，即，
所以，
由于的最小值为，的最大值为，
所以，即实数a的取值范围为；
（2）依题意，，
所以，在上为减函数，所以至多一个零点；
，，
当时，，
当时，，
所以存在零点，综上存在1个零点；
（3）因为，由导数的定义得 ，
即，
不妨设
若，则
若，
则
.
1.若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”．
(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：；
(3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增．
2．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
6. 函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），比较的大小 .
7.设函数在R上可导，其导函数为，且．求证： .
8.已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值.
9. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，求证：.
10．已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，求不等式的解集
11.定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），求的取值范围.
12.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.
13.设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：
①方程有实数解；
②函数的导数满足．
（1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解．
（3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有．
14.设定义在上的函数的导函数为，若，，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集
专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用
导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.
(一) 抽象函数的奇偶性及应用
若两边求导得，即，即若可导函数是偶函数，则是奇函数，同理可得：若可导函数是奇函数，则是偶函数.
【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.
(1)求函数在点的切线方程；
(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？
(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.
【解析】（1）由题可知，，
所以切线的斜率为，且，
所以函数在点的切线方程为，即；
（2）由题可知，
又因为定义域上对任意的实数满足，
所以，即，
当且时，，
当时，，当时，；
（3）因为函数在定义域上是奇函数，所以，
所以，所以，所以是偶函数，
因为，所以，
即，即，
因为，所以，即，
所以是周期为的函数，
所以，所以.
(二)和差型抽象函数的应用
解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数 ，一般地，若给出通常构造函数.
【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集．
【解析】令，则，∴在上为单调递增．
又∵，∴，则可转化为，
根据单调性可知不等式的解集为．
(三)积型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数.
【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数在上满足且不恒为0，则称函数为区间上的绝对增函数，称为函数的特征函数，称任意的实数为绝对增点（为函数的导函数）．
(1)若1为函数的绝对增点，求的取值范围；
(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为．
（ⅰ）证明：是的极值点；
（ⅱ）证明：不是绝对增函数．
【解析】（1）因为函数，所以，
则．
由得，解得或，
所以为区间及区间上的绝对增函数．
又1为函数的绝对增点，所以或，解得或，
所以的取值范围为．
（2）（ⅰ）设为区间上的绝对增函数，由题意知，当时，．
①若，存在，且在区间上单调递增，则在区间上，，则，与矛盾．
若，存在，且在区间上单调递减，则在区间上，，则，与矛盾．
若，存在，且在区间上不单调，则存在，且，此时与有唯一零点矛盾．所以．
②若，不妨设，则，且存在，使得当时，，且当时，，即，使在上单调递减，在上单调递增．
所以为的极值点．同理，当时也成立．
（ⅱ）若为绝对增函数，则在上恒成立，
又恒成立，所以恒成立．
令，所以，且，
所以在上单调递增．又，所以当时，，则，与矛盾，所以假设不成立，所以不是绝对增函数．
【例4】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较
与的大小.
【解析】因为，所以，．
由，得．
即．
令，，则．
所以函数在上为增函数，
则，即，所以，即．
(四)商型抽象函数的应用
若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数.
【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题，
由柯西中值定理知：对，，
使得，，
又在上单调递增，则，
则，即，
所以，
故在上为增函数；
（2），
取，，
因为，所以由柯西中值定理，，
使得，
由题则有：，
设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，所以实数的取值范围是.
【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小.
【解析】设，则
所以函数在上单调递增.
， 为锐角三角形两个内角,则
所以，由正弦函数在上单调递增.
则
所以，即
所以.
(五)根据构造函数
若给出形如的式子通常构造偶函数或奇函数.
【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,求实数的取值范围.
【解析】因为,所以
令
即函数为偶函数,因为上有,
所以
即函数在单调递增；
又因为
所以

即,所以,解得 ,故选B.
(六)信息迁移题中的抽象函数
求解此类问题关键是如何利用题中的信息.
【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”.
(1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
(3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
【解析】（1），故是“线性控制函数”；
，故不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设，其中
由于在上严格增，故，因此
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为减函数
，
综上所述，，即命题“”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意都有
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为增函数
因此对任意都有，即
当时，则恒成立
当时，
若，则，故
若时，则存在使得
故1，因此
综上所述，对任意都有.
（事实上，对任意都有，此处不再赘述）
【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切．
(1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值；
(2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值；
(3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论．
【解析】（1）设点，由，求导得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值为9.
（2）设切点，由求导得，则切线的斜率为，
又圆M：的圆心，直线的斜率为，
则由，得，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
因此当时，，
所以当时，.
（3）假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，则有，
从而，显然，于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件.
【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有，则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为，导函数分别为与，与的图象在上有且仅有一个交点，与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若，，试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：（为奇数）.
【解析】（1）设，
则，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当且仅当时取等号.
又与的图象在上有且仅有一个交点，
函数与关于点互回.
（2）设，，则，（互回的定义的应用）
设，则，故.
①若均大于零，因为，（提示：与的图象交于点.
所以，所以单调递增，
又，（提示：与的图象交于点）
所以，，
所以，，
所以与关于点互穿且在上恒成立.
②若均小于零，因为，
所以，所以单调递减，
又，
所以，，
所以，，
所以与关于点互穿且在上恒成立.
综上，与关于点互穿且在上恒成立.
（3）设，（）
则（），（）
（关键：寻找与，与，之间的关系）
易知，，
由（1）可知与关于点互回.
因为，
所以，与的图象交于点.
由（2）得与关于点互穿，（提示：，）
由（3）得与关于点互回，
易得当为奇数时，与关于点互回，
所以，，有（为奇数）.（提示：互回的定义的应用）
由题意得对任意正整数恒成立，（提示：由本问信息可得）
所以
，，
累乘得
所以
易知，（点拨：，当且仅当时等号成立，又，所以.所以.
因为，（为奇数），
所以（为奇数），
因为，所以（为奇数），
即（为奇数），得证.
【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间上连续的可导函数，在上任取两点，，如果对于任意的与的算术平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的算术平均值，则称该函数在上具有“M性质”.如果对于任意的与的几何平均值的函数值大于等于对于任意的与的函数值的几何平均值，则称在上具有“L性质”.
(1)如果函数在定义域内具有“M性质”，求的取值范围.
(2)对于函数，若该函数的一个驻点是，求，并且证明该函数在上具有“L性质”.
(3)设存在，使得.
①证明:取，则有
②若，设命题:函数具有“性质”，命題为严格减函数，试证明是的必要条件.
(可用结论:若函数在区间上可导，且在区间上连续，若有，且，则在区间上存在驻点)
【解析】（1）由函数在上具有“性质”，
可得对任意.
又，所以；
（2）令由，得
则，在上严格减:在上严格增.
要证在上具有“性质”.
需证，
即证，
而，
则
，
需证，
由，
故只需证，
下面给出证明：设，则，
即在上递减，
所以，
即.
综上，成立，
故，得证.
（3）①令，，
由可用结论，令为该函数的驻点，则，
即取，则有，得证.
②取，设，
记，则，由①中的结论，则有:
（1）
（2）
由(1)(2)，得对在区间使用①中的结论，则：
，
其中，.
由于是严格减函数，则，
即，
即.
所以是的必要条件.
【例3】已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，求证：.
【解析】设函数，因为，，
所以，则，
所以在上单调递减，
从而,即，所以.
【例4】已知函数满足，且，判断函数零点的个数.
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如图所示，
函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.
【例5】已知定义在R上的函数的导数为,且满足,当时 ,求不等式的解集.
【解析】设,则,所以
=,所以是偶函数,设,则,所以,即,所以时 , 所以时,在上是增函数,所以
,故选C.
【例6】已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.
【解析】（1）若，则，
由题意，对任意的都有，
则，即，
所以，
由于的最小值为，的最大值为，
所以，即实数a的取值范围为；
（2）依题意，，
所以，在上为减函数，所以至多一个零点；
，，
当时，，
当时，，
所以存在零点，综上存在1个零点；
（3）因为，由导数的定义得 ，
即，
不妨设
若，则
若，
则
.
1.若定义域为D的函数使得是定义域为D的严格增函数，则称是一个“T函数”．
(1)分别判断，是否为T函数，并说明理由；
(2)已知常数，若定义在上的函数是T函数，证明：；
(3)已知T函数的定义域为，不等式的解集为．证明：在上严格增．
【解析】（1），定义域为，则是在上严格单调递增函数，则是“T函数”；
，定义域为，则不是在上严格单调递增函数，则不是“T函数”；
（2）定义在上的函数是T函数，则在上严格单调递增，
设，则，
故在上单调递增，故，
即，
（3）T函数的定义域为，故在上严格单调递增，
，设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，故，
即，
当时，恒成立，则恒成立，
故，
若存在，使，则当时，，
这与，矛盾，故不存在使，故恒成立，
故在上严格增.
2．对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
【解析】（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为.
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域R上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.
3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
【解析】（1）函数，对变量求导得：，
当时，.
（2）令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于x的方程：，则，解得，
视为关于y的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为.
（3）①由，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以.
②当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值4.
4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
【解析】（1），
则，
所以，又因为，所以切线方程为.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上单调递增.
所以在上单调递增，
当时，，即.
当时，
5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
【解析】（1）令，则，，
，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故．
（2）结论：，证明如下：
令，，则
令，则，
故在上单调递增，，则
故在上单调递增，，
即证得，故．
（3）由（2）可得当时，，
且由得，当且仅当时取等号，
故当时，，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得．
6. 函数满足（为自然数的底数），且当时，都有（为的导数），比较的大小 .
【解析】由可得，
故设 ，则 ，
故函数关于直线对称，
由于当时，，递增，
故当时，递减，
由于，故.
7.设函数在R上可导，其导函数为，且．求证： .
【解析】依题意，令函数，则，
因，于是得时，时，
从而有在上单调递减，在上单调递增，
因此得：，而，即f(x)不恒为0，
所以恒成立.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值.
【解析】因为是偶函数，所以是奇函数，即，
所以，所以，令可得，即，
因为为偶函数，所以，即，
所以，即，得，
所以4是函数的一个周期，所以．
9. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，求证：.
【解析】，即，因为定义在上，
，令则，，
则函数在上单调递增.
由得，即，；
同理令，，
则函数在上单调递减.
由得，，即.
综上，.
10．已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，求不等式的解集
【解析】由，整理可得，则函数关于成中心对称，
所以关于直线成轴对称，
当时，，由，则，
由函数的导数为，
则函数在上单调递增，易知在上单调递减，
当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
11.定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），求的取值范围.
【答案】
【解析】令，
则，
因为，即，
所以在恒成立，
即在上单调递减，
可得，即，
由，可得，则；
令，，
因为，即，
所以在上单调递增，可得，
即，则，
即有.
12.设是定义在上的奇函数.若是严格减函数，则称为“函数”.
(1)分别判断和是否为函数，并说明理由；
(2)若是函数，求正数的取值范围；
(3)已知奇函数及其导函数定义域均为.判断“在上严格减”是“为函数”的什么条件，并说明理由.
【解析】（1）设，
所以，
所以和均为定义在上的奇函数.
当时，函数严格减，故是函数.
而当和时，，故不是函数.
（2），
设，定义域为，
，
所以是定义在上的奇函数.
当时，不是函数，下设.
当时，令，
则.
再设，则.
设，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即恒成立，
所以当时，，
所以当时，；当时，.
因为，所以当时，
当时，，即恒成立，则函数严格单调递增，
当时，，即恒成立，则函数严格单调递减，
所以正数的取值范围是.
（3）证：函数是定义在上的奇函数，
且在上严格减，故为函数.
但当或时取值相等，
从而不是上严格减的函数.
故“在上严格减”不是“为函数”的必要条件.
下证“在上严格减”是“为函数”的充分条件.
对任意，定义.
则由得，且由严格减得,
当时，，
故当时，，即.
现任取，考虑.
则，且当时，.
由关于函数的讨论知，此时.
故当时，，
即：对任意，.
移项得，故在上严格减，
即为函数.
综上，“在上严格减”是“为函数”的充分非必要条件.
13.设是定义在上且满足下列条件的函数构成的集合：
①方程有实数解；
②函数的导数满足．
（1）试判断函数是否集合的元素，并说明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性质：对于任意的区间，都存在，使得等式成立，证明：方程有唯一实数解．
（3）设是方程的实数解，求证：对于函数任意的，当，时，有．
【解析】（1）函数是集合中的元素．理由如下：
①方程，即．
显然是方程的实数解，因此，方程有实数解.
②由于，又，即，所以.
综上，函数是集合中的元素.
（2）（反证法）由条件①知方程有实数解.
假设方程有两个不相等的实数解，，不妨设，则，.
由函数的性质知，存在，使得，
即．
又由条件②知，所以，即，这与矛盾．
因此，方程有唯一实数解.
（3）对任意的，当且时，
不妨设，则．
因为，所以在上是增函数，所以.
令，则，所以是上的减函数，
所以，即，
所以.
因此，对任意的，当，且时，有．
14.设定义在上的函数的导函数为，若，，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集
【解析】设，则,
∵，∴,
而,故,
∴在R上单调递增，
又，故，
∴的解集为，
即不等式的解集为.