06（广东专用）-2025年高考数学模拟卷

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第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，为边的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（ ）
A．29B．30C．30.5D．31
4．已知，是一元二次方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
5．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知是24位数，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
6．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．9B．15C．21D．24
8．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在某节体育课上，体育老师对某班学生进行了立定跳远测试，其中有一组学生的成绩数据如下（单位：m）：1.74，1.87，1.81，1.81，1.88，1.99，那么（ ）
A．这组学生成绩的平均数是1.85
B．这组学生成绩的中位数是1.84
C．这组学生成绩的众数是1.87
D．这组学生成绩的方差是0.036 2
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．3
11．已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数满足，则 .
13．点在椭圆上，则点到直线的距离的最大值为 ．
14．定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本题满分13分）已知数列的前n项积．
(1)求；
(2)设，求证：．
16．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于Mx1,y1，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于Nx2,y2，记．
(1)求函数的值域；
(2)在中，若，，，求的面积．
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，点在平面内的射影恰为点，直线，交于点.
(1)求证：；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本题满分17分）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分17分）给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的泰勒展开式；
(2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知，试求的值.3
4
5
6
7
8
9
0.4771
0.6021
0.6990
0.7782
0.8451
0.9031
0.9542