山东省聊城市2023届高三二模数学试题-附答案

这是一份山东省聊城市2023届高三二模数学试题-附答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．若复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．iB．C．1D．
3．设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
4．在梯形中，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数（且）有一个极大值点和一个极小值点，且，则a的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
10．已知函数，则（ ）
A．函数是增函数B．曲线关于对称
C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
11．已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角的余弦值为
D．过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为
12．设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为的中点．（ ）
A．当时，的斜率为2B．当时，
C．当时，符合条件的直线l有两条D．当时，符合条件的直线l有四条
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．（用数字作答）
14．健走是介于散步和竞走之间的一种运动方式，它是一项简单安全，能增强肺活量且有益心脏健康的有氧运动，某运动生理学家对健走活动人群的体脂率（体脂率是指人体内脂肪含量与总体重的比值）做了大量的调查，发现调查者的体脂率X服从正态分布，规定体脂率小于或等于0.17的人的身材为良好身材，若参加健走的人群中有16%的人具有良好身材，则的值约为________．
参考数据：则．
15．若互不相等的实数m，n，s，t满足，则称m，n，s，t具有“准等比”性质．现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________．
16．已知曲线，过点的直线交曲线C于M，N两点，O为坐标原点，则的面积的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
18．（12分）
随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
（1）经计算相关系数，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为．
19．（12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）若，求面积的最大值．
20．（12分）
如图，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，点G在线段上．
（1）若点G为线段的中点，求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长．
21．（12分）
已知点M为双曲线右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线互相垂直．
（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线与直线相交于点N．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知函数，设m，n为两个不相等的正数，且．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：．
2023年聊城市高考模拟
数学（二）参考答案及评分标准
一、单项选择题
1-4 BCAD 5-8 ADDB
二、多项选择题
9．AC 10．AB 11．ACD 12．ABD
三、填空题
13．60 14．0.03 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）因为数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
则，从而，
两式作差得：，
即，
所以，
则数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为．
（2），
．
，
因为，所以．
18．解：（1）由已知得，，，
，，
贝，
．
所以“湖南沃柑”销量y（件）关于试销单件x（元）的线性回归方程．
（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，所以“次数据”有2个．“次数据”个数X可取0，1，2．
．
所以X的分布列为：
则数学期望．
19．解：（1）由正弦定理及得，
，
即．
再由正弦定理可得．
由余弦定理得，
所以
即，
故．
（2）由及，可得．
由得，所以．
在中，
所以．
所以面积
．
当且仅当，即时等号成立．
故面积的最大值为．
20．解：（1）连接，交于H，连接．
因为G，H分别为的中点，
所以且．
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，从而，
又平面平面，
所以平面，
（2）因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，所以．
以点D为坐标原点，分别以，所在直线为x轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系．
则，
．
设，则．
设平面的法向量，
由得
令，则．
设平面的法向量，
由得
令，得．
设平面与平面的夹角为，则
，解得．
从而．
故的长度为．
21．解：（1）因为双曲线C的一条渐近线与直线互相垂直，
所以其中一条渐近线的斜率为，则，则．
所以双曲线C的方程为．
设点M的坐标为，则，即．
双曲线的两条渐近线，的方程分别为，
则点M到两条渐近线的距离分别为，
则．
所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值．
（2）存在．
①当时，，又N是的中点，
所以，所以，此时．
②当时．
ⅰ）当M在x轴上方时，由，可得，
所以直线的直线方程为，
把代入得．
所以，则．
由二倍角公式可得．
因为直线的斜率及，
所以，则．
因为，
所以．
ⅱ）当M在x轴下方时，同理可得．
故存在，使得．
22．解：（1）函数定义域为．
①当时，在上单调递增，不符合题意．
②当时，若在上单调递减；
若在上单调递增，
所以的最小值为．
由，可得．
故实数a的取值范围．
（2）不妨设．先证明．要证，即证．
因为，且在上单调递增，
故只需证明．
令，
则，所以在上单调递增，
所以当时，，则有．
因为，所以，则，故．
再证，即证．
因为，且在上单调递增，
只需证明，即证．
因为，所以．
所以只需证明．
令，
则．令，
当时，，所以在上单调递增．
当时，，于是．
从而可得在上单调递减，故．
所以成立，故．
综上，．试销单价x（元）
3
4
5
6
7
产品销量y件
20
16
15
12
6
X
0
1
2
P