2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列an为等差数列，a4=5,a8=29，则an的公差为( )
A. 2B. 6C. 1D. 14
2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若limℎ→0f(2+ℎ)−f(2)2ℎ=12，则f′(2)=( )
A. −1B. −14C. 1D. 14
3.已知等比数列an的前n项和为Sn，若公比q=2，S3=7，则a4+a5+a6=( )
A. 49B. 56C. 63D. 112
4.若fx=2xf′1+x2，则f′0等于( )
A. 2B. 0C. −2D. −4
5.已知数列an满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an=nn∈N∗，若bn=an⋅an+1，则bn的前2024项和为( )
A. 20234047B. 20244049C. 40464047D. 40484049
6.曲线y=x3−ax2−1在x=1处的切线与直线y=−x垂直，则a的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. 4
7.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn=n+23n+4，则a3+a9b4+b6+b8=( )．
A. 13111B. 2637C. 26111D. 1337
8.已知数列an的首项a1=3，且满足an+1=2n−12n−3an+2n−1n∈N∗，则an中最小的一项是( )
A. a2B. a3C. a4D. a5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若a1+a3=5,a4+a6=135，则( )
A. a1=14B. q=3C. an=14×3n−1D. Sn=143n−1
10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得fx0=f′x0，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=e−xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列an，正方形数为数列bn，则( )
A. a5=15B. b5=20C. b10=a10+45D. an=nn+12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列an中，a1+a3+a5=9，则a2+a4= ．
13.已知点P在函数fx=e2x+x+9的图象上，则P到直线l:3x−y−10=0的距离的最小值为 ．
14.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为an，在数列an的任意相邻两项ak与ak+1k=1,2,⋯之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn.按新数列bn的各项依次派遣支教学生.记S70为派遣70批学生后支教学生的总数，则S71的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=x3+x−16．
(1)求曲线y=fx在点2,−6处的切线方程；
(2)直线l为曲线y=fx的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
16.(本小题15分)
已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−2n∈N∗
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1+lg2anan，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图所示，在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=3，AC⊥BC，CE=2EB=2，AC=32，CD=ED．
(1)求证：DE⊥平面SCD；
(2)求二面角A−SD−C的余弦值；
(3)求点A到平面SCD的距离．
18.(本小题17分)
已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1,a2,a5成等比数列，a2a3=a8数列bn满足bn=4an+1an+1+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn的前n项和为Tn，若m−520的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e= 55，短轴长为4．
(1)求E的标准方程；
(2)过点T2,0的直线交E于P，Q两点，若以PQ为直径的圆过E的右焦点F2，求直线PQ的方程；
(3)两条不同的直线l1，l2的交点为E的左焦点F1，直线l1，l2分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段AB和CD的中点，l1，l2的斜率分别为k1，k2，且5k1k2+4=0，求▵OGH面积的最大值(O为坐标原点)．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.D
5.B
6.B
7.C
8.B
9.BD
10.AC
11.ACD
12.6
13.2 10
14.390
15.解：(1)由fx=x3+x−16，得f′x=3x2+1，
所以f′2=3×22+1=13，
所以曲线y=fx在点2,−6处的切线方程为y+6=13x−2，即13x−y−32=0．
(2)设切点为x0,x03+x0−16，由(1)得f′x0=3x02+1，
所以切线方程为y−x03+x0−16=3x02+1x−x0，
因为切线经过原点，
所以−x03+x0−16=−x03x02+1，
所以2x03=−16，x0=−2．
则f′−2=3×−22+1=13，
所以所求的切线方程为y=13x，切点为−2,−26．

16.(1)解：因为Sn=2an−2，当n=1时，S1=2a1−2，解得a1=2
当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，
所以an=Sn−Sn−1=2an−2−2an−1−2=2an−2an−1，
即an=2an−1(n≥2)．
所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列．
故an=2×2n−1=2n．
(2)解：由(1)知an=2n，则bn=1+lg2anan=1+lg22n2n=n+12n，
所以Tn=22+322+423+⋯+n+12n①
12Tn=222+323+⋯+n2n+n+12n+1②，
①−②得12Tn=1+122+123+⋯+12n−n+12n+1
=1+1221−12n−11−12−n+12n+1
=1+12−12n−n+12n+1=32−n+32n+1．
所以数列bn的前n项和Tn=3−n+32n

17.(1)解：如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系，
因为CD=ED，所以点D在线段CE的中垂线上，
则A32,0,0,C(0,0,0),D(1,1,0),E(0,2,0),S(0,0,3)，
则DE=(−1,1,0),CD=(1,1,0),CS=(0,0,3)，
所以DE⋅CD=−1+1+0=0，DE⋅CS=0+0+0=0，
即DE⊥CD，DE⊥CS，
又CD∩CS=C,CD,CS⊂平面SCD，
所以DE⊥平面SCD；
(2)由(1)可得DE=(−1,1,0)即为平面SCD的一个法向量，
AS=−32,0,3,DS=−1,−1,3，
设平面SAD的法向量n=x,y,z，
则有n⋅AS=−32x+3z=0n⋅DS=−x−y+3z=0，令x=2，则z=1,y=1，所以n=2,1,1，
则二面角A−SD−C为锐二面角，
则csn,DE=n⋅DEnDE=−2+1+0 6× 2=− 36，
所以二面角A−SD−C的余弦值为 36；
(3)由(2)得AS=−32,0,3，DE=(−1,1,0)为平面SCD的一个法向量，
则点A到平面SCD的距离为AS⋅DEDE=32 2=3 24．

18.解：(1)设等差数列{an}的公差为dd≠0，
由题意知：a22=a1a5a2a3=a8⇒a1+d2=a1a1+4da1+da1+2d=a1+7d
解方程组得a22=a1a5a2a3=a8⇒a1=1d=2，所以an=a1+n−1d=2n−1，
即an=2n−1
(2)bn=4an+1an+1+1=42n2n+2=1nn+1=1n−1n+1，
Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1，
∵Tn+1−Tn=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0,∴Tn单调递增，∴Tn≥T1=12，
又∵Tn=nn+1