2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知Cn2=6，则n的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.甲、乙、丙、丁四名学生代表高二(1)班参加校运动会4×100米接力比赛，则他们的出场顺序的方案数可以表示为( )
A. A44B. C44C. 44D. 4×4
3.若X～B(n,0.4)，且E(X)=4，则D(X)等于( )
A. 4B. 2.4C. 0.96D. 0.24
4.(x2+ax)5展开式中第四项的系数为80，则a等于( )
A. 8B. 4C. 2D. ±2
5.对于( 2+x)6的展开式，下列说法正确的是( )
A. ( 2+x)6的展开式中共有6项．
B. ( 2+x)6展开式中的第四项与(x+ 2)6的展开式中的第四项不同．
C. ( 2+x)6的展开式中奇数项与偶数项的系数相等．
D. ( 2+x)6的展开式中系数为有理数的项共有四项．
6.一场元旦联欢晚会上共有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目，则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为( )
A. A73A66B. A33A66C. A73A44A22D. A99
7.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为( )
A. 120B. 36C. 24D. 6
8.盒子中共有3个红球和5个黄球，从中随机取出3个球，则取出的红球多于黄球的概率为( )
A. 1156B. 38C. 928D. 27
9.北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数
为( )
A. 60B. 90C. 150D. 240
10.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,3)，动点P满足OP=λOA+μOB，且|λ|+|μ|=1，则下列说法正确的是( )
A. 点P的轨迹为圆．B. 点P到原点的最短距离为1．
C. 点P的轨迹所围成的图形的面积为6．D. 点P的轨迹是一个正方形．
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知离散型随机变量X的分布列如下表，则m= ______．
12.若事件A，B相互独立，其中P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P(B|A−)= ______．
13.二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为______；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为______.(“立春”是春季的六个节气之一.)
14.(a+b+c)4的展开式中含a2bc项的系数为______；展开式中各项的系数和为______．
15.若曲线f(x,y)=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，下列方程的曲线有“自公切线”的是______．
①|x|− 4−y2+1=0；
②y=2sin(3x+π6)；
③x2−xy+1=0；
④x2+y2−2|x|−3=0．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知二项式(2x−1 x)n的展开式中，各项二项式系数之和为64．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题13分)
“猜灯谜”是我国传统节日元宵节的特色活动.某公司组织猜灯谜比赛，根据谜底不同分为“字谜”、“事谜”、“物谜”三种类型，每个人每类灯谜只能猜一个.小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜”的概率分别为p1、p2、p3，假设每类灯谜猜对与否互不影响．
(1)求小张恰好猜对一类灯谜的概率；(只列式不化简)
(2)求小张至少猜对一个灯谜的概率.(只列式不化简)
18.(本小题14分)
某高中为了解学生日常运动情况，从该校学生中随机抽取100名学生作为样本，统计他们一周之内总运动时间，将结果按如图所示分组，得到样本学生一周内总运动时间的频率分布直方图．

假设以频率估计概率．
(1)求a的值，并计算样本中学生一周内总运动时间在[4,6)小时的人数；
(2)从该校学生中随机抽取5人，其中一周内运动总时间在[4,6)小时的人数记为X，求P(X≤2)；(只列式不化简)
(3)记y−为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，从样本中随机挑选一名学生，记Y为该名学生一周内总运动时间，比较E(Y)与y−的大小.(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
小型热带鱼具有颜色好看，小巧耐活，繁殖能力强等特点，深受大众喜爱.张先生在家里的鱼缸中养殖了3条孔雀鱼、5条虎皮鱼和7条斑马鱼．
(1)从鱼缸中随机捞出2条鱼，求两条鱼种类不同的概率；
(2)从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量为x1，虎皮鱼数量为x2，设Y=x1−x2，求Y的分布列及其期望；
(3)若张先生又从市场购买了孔雀鱼、虎皮鱼和斑马鱼各3条并投入鱼缸，此时从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量减去虎皮鱼数量之差为Y′，比较(2)中E(Y)与E(Y′)的大小k结论不要求证明)．
20.(本小题15分)
已知椭圆C：x24+y22=1，点P(0,1)．
(1)求椭圆的离心率和短轴长；
(2)设直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆有两个不同的交点E，F，且|PE|=|PF|，求实数m的取值范围．
21.(本小题15分)
如图，设A是由2n个实数组成的2行n列数表(n≥3)，其中aij表示数表中第i行第j列的实数，满足：aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；j=1，2，…，n)
记Pn为所有这样的数表组成的集合.对于任意A∈Pn，记S(A)=j=1na1j，T(A)=j=1na2j；记Ω为{1,2,3,…,n}的一个子集，定义“Ω变换”为：对于任意k∈{1,2,3,…,n}，若k∈Ω，则令a1k=0，a2k不变；若k∉Ω，则令a2k=0，a1k不变.数表A经过“Ω变换”所得新数表记为Ω(A)．
(1)对如数表A，直接写出一个集合Ω，使其满足S(Ω(A))+T(Ω(A))=6；
(2)证明：对于任意A∈P3，存在集合Ω满足S(Ω(A))+T(Ω(A))≤6；
(3)证明：对于任意A∈Pn，存在集合Ω满足S(Ω(A))≤n+1且T(Ω(A))≤n+1，
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.A
7.B
8.D
9.C
10.C
11.512
12.0.7
13.523 13
14.12 81
15.②④
16.解：(1)二项式(2x−1 x)n的展开式中，各项二项式系数之和为64．
则2n=64，解得n=6，
所以该二项式为(2x−1 x)6，
则通项公式为：Tk+1=C6k(2x)6−k(−1 x)k=(−1)kC6k26−kx6−3k2,k=0,1,2,⋅⋅⋅,6．
令6−3k2=0，解得k=4，
所以该二项式的展开式中的常数项为T4+1=(−1)4C6422=60．
(2)取x=1，故展开式中所有项的系数和(2−1 1)6=1，
(3)由于n=6，故展开式中二项式系数最大为C63，故二项式系数最大的项为
T4=(−1)3C6323x6−3×32=−160x32．
17.解(1)：根据题意，设小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜“分别为事件A，B，C，
则P(A)=p1，P(B)=p2，P(C)=p3，且事件A，B，C相互独立．
设小张恰好猜对一类灯谜为事件D，
则P(D)=P(AB−C−)+P(A−BC−)+P(A−B−C)
=p1(1−p2)(1−p3)+(1−p1)p2(1−p3)+(1−p1)(1−p2)p3．
(2)根据题意，设小张至少猜对一个灯谜为事件E，
则事件E的对立事件为小张没有猜对一个灯谜，即A−B−C−，
故P(E)=1−P(A−B−C−)=1−(1−p1)(1−p2)(1−p3)．
18.解：(1)根据题意可得(0.01+0.02+a+0.08+0.15+0.2)×2=1，解得a=0.04；
因为在[4,6)小时的频率为0.2×2=0.4，
所以所求人数为100×0.4=40；
(2)因为学生一周内总运动时间落在区间[4.6)的概率p=0.4，
今从该校学生中随机抽取5人，记其中一周总运动时间在[4,6)的人数为X
则X～B(5,0.4)，
所以P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=C50×0．40×0．65+C51×0.4×0．64+C52×0．42×0．63．
(3)因为y−为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，
若从这100人当中再随机抽取1人，记其一周运动时间为Y，
则由于是从同一个样本中取值，所以E(Y)=y−．
19.解：(1)鱼缸中一共有15条鱼，从中任选两条，总情况有C152=105，
设事件A表示“两条鱼种类不同”，则A−表示“两条鱼种类相同”，
所以P(A−)C32+C52+C72C152=3+10+21105=34105，
所以P(A)=1−P(A−)=1−34105=71105；
(2)其中孔雀鱼数量为x1，虎皮鱼数量为x2，
当Y=x1−x2=0时，则x1=0，x2=0或x1=1，x2=1，此时概率C72+C31C51C152=36105，
当Y=x1−x2=1时，则x1=1，x2=0，此时概率C31C71C152=21105，
当Y=x1−x2=2时，则x1=2，x2=0，此时概率C32C152=3105，
当Y=x1−x2=−1时，则x1=0，x2=1，此时概率C71C51C152=35105，
当Y=x1−x2=−2时，则x1=0，x2=2，此时概率C52C152=10105，
故Y的分布列为：
E(Y)=−2×10105+(−1)×35105+0+1×21105+2×3105=−20−35+27105=−28105；
(3)记其中孔雀鱼数量为x3，虎皮鱼数量为x4，设Y′=x3−x4，
则当Y′=x3−x4=0时，则x3=0，x4=0或x3=1，x4=1，此时概率C102+C61C81C242=93276，
当Y′=x3−x4=1时，则x3=1，x4=0，此时概率C61C101C242=60276，
当Y′=x3−x4=2时，则x3=2，x4=0，此时概率C62C242=15276，
当Y′=x3−x4=−1时，则x3=0，x4=1，此时概率C101C81C242=80276，
当Y′=x3−x4=−2时，则x3=0，x4=2，此时概率C82C242=28276，
故Y′的分布列为：
E(Y′)=−2×28276+(−1)×80276+0+1×60276+2×15276=−23138，
故−23138>−28105，
故E(Y′)>E(Y)．
20.解：(1)因为椭圆C：x24+y22=1，
所以b2=2，a2=4，
故a=2,b= 2，所以c= a2−b2= 2
故离心率为e=ca= 22，短轴长为2b=2 2；
(2)由y=kx+mx2+2y2−4=0，
得(2k2+1)x2+4mkx+2m2−4=0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，
所以Δ=16m2k2−8(2k2+1)(m2−2)>0，
即4k2+2−m2>0(∗)，
设E(x1,y1)，F(x2,y2)，
则x1+x2=−4mk2k2+1，
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2k2+1，
所以线段EF的中点M(−2mk2k2+1,m2k2+1)，易知m≠0，
直线MP的斜率kMP=m2k2+1−1−2mk2k2+1=m−2k2−1−2mk，
由|PE|=|PF|，得MP⊥EF，
所以kMP⋅kEF=m−2k2−1−2mk⋅k=−1，
解得2k2=−m−1
将2k2=−m−1代入到(∗)中，
得−2−2m+2−m2>0，即m2+2m0
解得−2