专题18 新定义问题在五种题型中的应用 (学生版)-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题18 新定义问题在五种题型中的应用 (学生版)-2025年中考数学压轴训练，共66页。试卷主要包含了给出如下定义，阅读下列材料，并解决相关的问题，材料1，材料一等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
新定义类坐标系内代数综合问题，是在已有的数学知识基础上，从坐标、代数式、或者函数图象以及几何图象出发，给出一个新定义，要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习能力、数学阅读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。
解答此类问题，首先，认真阅读题目，结合简单示例，理解题干新定义的核心特征，如位置关系、数量关系、变化运动特征等;其次，要根据题意，画出辅助图形，完成文字语言、符号语言和图象语言的互化，让语言互化走在思维的最前端;最后，注意归纳结论，为后续问题做好指向。
此类新定义，名字新，但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合，这就需要在分析的基础上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法，才能有效地解决问题。
题型一：数与式中的新定义问题
1．（2024•宣化区一模）对于三个实数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，2，，，2，，，1，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1），，；
（2）若，，，求的值．
2．（2023•章贡区校级模拟）给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式．
（1）关于的二次多项式的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对，4，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对，，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，直接写出的值为 ．
3．（2022•湘潭县校级模拟）阅读下列材料，并解决相关的问题．
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．
（1）填空： ， ；
（2）计算：
①；
②．
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
4．（2022•沙坪坝区模拟）如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，，是“沙磁数”．
又如：，，不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”？并说明理由；
（2）若是一个“沙磁数”，将的十位数字放在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数字，若能被11整除，求出所有满足条件的．
5．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数可以被9整除，且的百位上的数字比十位上的数字大2，则称为“够二数”；将的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为，，例如：，，，是“够二数”， ．
（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算的值；
（2）若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数” 的值．
6．（2024•兴宁区校级模拟）广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择．小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位
数据统计表
根据题目信息，回答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）由折线图可知， ；（填“”“ ”或“”
（3）爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据．
7．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为，十位数字为，且、都是自然数），请用含，的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
8．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”、例如：
，，是倍和数”；
，，不是“倍和数”；
（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
（2）当一个“倍和数” 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数” 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为，令，当能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数” ．
9．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．
材料二：一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若，，则记．
（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；
（2）若，都是“双巧数”，其中，，，，，，，，且，，，，，均为整数），规定，，当时，求的最大值．
10．（2022•江津区一模）一个三位数，将的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在之后，得到的四位数称为的“如虎添翼数”，将的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为．例如：，，的“如虎添翼数” 是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则．
（1）258的“如虎添翼数”是 ， ；
（2）证明任意一个十位数字为0的三位数，它的“如虎添翼数”与的个位数字之和能被11整除；
（3）一个三位数且，它的“如虎添翼数” 能被17整除，求的最大值．
11．（2022•开州区模拟）一个自然数能分解成，其中，均为两位数，的十位数字比的十位数字少1，且，的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：，6比7小1，，是“双十数”；
又如：，3比4小1，，不是“双十数”．
（1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数为“双十数”，将两位数放在两位数的左边，构成一个新的四位数．例如：，，若与的十位数字之和能被5整除，且能被7整除，求所有满足条件的自然数．
12．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”．
例如：，是13的“和倍数”．
又如：，不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数．
13．（2022•铜梁区模拟）对于任意一个四位数，如果满足各个数位上的数字互不相同．且个位数字不为0，的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”，对于一个“双减数” ，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．
例如：．因为，所以7028是一个“双减数”则．
（1）判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出的值；
（2）若“双减数” 的各个数位上的数字之和能被11整除，且是3的倍数，求的值．
14．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数，如果的百位数字等于个位数字与十位数字之和，的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“和谐数”．例如：，满足，，所以7431是“和谐数”．例如：，满足，但，所以6413不是“和谐数”．
（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；
（2）若是“和谐数”，且与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数” ．
15．（2022•南川区模拟）对于一个三位数的正整数，满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数为“平衡数”，对于任意一个“平衡数”，将它的前两位数加上后两位数所得的和记为；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两位数所得到的新两位数的和记为；把与的差除以9所得结果记为：．例如，因为，所以246是一个“平衡数”，所以，，则．
（1）计算：，；
（2）若、都是“平衡数”其中，，，，，，、、、都是整数），规定，当时，求的最小值．
16．（2024•唐山一模）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：；；．
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”．
（1）验证：是“佳偶和谐式”；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．
题型二：函数中的新定义问题
1．（2023•益阳）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于，两点在的左边）．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点关于轴的对称点为点，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，求实数的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线与抛物线所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求的取值范围．
2．（2023•义乌市模拟）【概念发现】
对于平面上的图形，先将其向上平移个单位，再将平移后的图形沿着直线翻折得到图象，记此变换过程为图形的滑动对称变换，若在另一图形上存在一动点，图形上存在一动点，记长度的最大值为，长度的最小值为．
【理解应用】
（1）如图1，平面直角坐标系中，，，记线段为图形，先将线段向上平移1个单位，再沿着直线翻折得到线段，记线段’，记线段为图形，则图形的 ， 滑动对称变换得到图形．记原点为图形，则 ， ．
【思维提升】
（2）如图2，在坐标平面内，半径为2，圆心，，，记为图形，线段记为图形，图形的滑动对称变换得到图形，求与的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，记直线的图象为图形，反比例的图象为图形，图形的滑动对称变换得到图形，则 ．
3．（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于、两点（点在点的左侧）．
（1）若函数的图象过点、，其衍生点，求函数的解析式；
（2）①若函数的衍生函数为，求、两点的坐标；
②函数的图象如图所示，请在图中标出点、两点的位置；
（3）是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
5．（2022•湘西州）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标．
（2）点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值．
（3）如图②，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如，点，是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求的值；
（3）若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．
7．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如：点，，，，，都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数的取值范围．
8．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、为正方形外两点，．给出如下定义：如果线段平移个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为．
（1）如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是 ；在点，，，中，连接点与点 的线段的长度等于；
（2）若点，都在直线上，求的值；
（3）若点的坐标为，直接写出的取值范围．
9．（2024•乌鲁木齐一模）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点．
（1）求一次函数的零点；
（2）若二次函数的零点为，，，两点的坐标依次，，，，如果，求的值；
（3）直线的零点为1，且与抛物线交于、两点，若时，线段有最小值，求．
10．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“—函数”．这组点称为“点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“—函数”，点与点则为一组“点”．
（1）已知函数和互为“—函数”，请求出它们的“点”；
（2）已知函数和互为“—函数”，求的最大值并写出“点”；
（3）已知二次函数与互为“—函数”有且仅存在一组“点”，如图，若二次函数的顶点为，与轴交于，，，其中，，过顶点作轴的平行线，点在直线上，记的横坐标为，连接，，．若，求的最小值．
11．（2023•长安区校级二模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如：点，，，，都是和谐点．
（1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求这个二次函数的表达式；
②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数的取值范围．（可通过画出函数图象草图来求解）
12．（2023•海州区校级一模）在平面直角坐标系中，对于两点，和，，它们横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值之和称为这两个点之间的曼哈顿距离，表示为：．
（1）如果点，则原点与点的曼哈顿距离 ；
（2）函数的图象如图1所示，是图象上一点，原点与点的曼哈顿距离，则点的坐标为 ；
（3）点，分别在轴和轴的正半轴上，对于线段上任意一点，都满足，则直线的函数表达式为 ；
（4）如图2，点，的半径为2，点在上，则的最小值为 ．
13．（2023•黄石模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）试判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数的图象的“等值点”为点和点．
①已知实数、满足，，且，求的值；
②已知实数、满足，，且，求的值；
③若函数的图象记为将其沿直线翻折后的图象记为，由，两部分组成的图象记为，试求图象上的“等值点”．
14．（2022•长沙）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．
（1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数” 的值；
②若函数，，为常数），求函数的“共同体函数” 的解析式；
（2）若函数，求函数的“共同体函数” 的最大值；
（3）若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数“的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
15．（2024•长沙三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，，为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
（1）反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
16．（2023•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
17．（2023•宛城区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．
（1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．
（2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．
（3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，，，当，时，均满足，直接写出的取值范围 ．
18．（2024•昆山市模拟）定义：若存在实数对坐标同时满足一次函数和反比例函数，则二次函数为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“生成”函数，求的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标，和，使一次函数和反比例函数为“生成”函数，其中，实数，，设，求的取值范围．（注：一元二次方程的求根公式为
19．（2023•婺城区一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中，点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数“．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数“的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数“的解析式为．
（1）写出函数关于直线的“迭代函数“的解析式为 ．
（2）若函数关于直线的“迭代函数“图象经过，则 ．
（3）已知正方形的顶点分别为：
，，，，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有3个公共点，则 ；
②若，函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有4个公共点，则的取值范围为 ．
20．（2023•开福区校级一模）对某一个函数给出如下定义，当自变量满足，为实数，时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数．
（1）当，时，在①；②中， 是理想函数；
（2）当时，反比例函数是理想函数，求实数的值；
（3）已知二次函数是理想函数，且最大值为．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为，若图象的顶点为，与轴交于，在的左侧），与轴交于点，点，分别为的外心和内心，求以为边长的正方形面积．
21．（2023•门头沟区一模）在平面直角坐标系中，已知图形上的两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果，则称点为点，的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段上的两点，．
①点，，中，点，的“条件拐点”是 ；
②如果过点且平行于轴的直线上存在点，的“条件拐点”，求的取值范围；
（2）如图2，已知点，，过点作直线轴，点，在直线上，且．如果直线上存在点，的“条件拐点”，直接写出的取值范围．
22．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形，我们称图形为图形关于点的二次关联图形．已知点．
（1）若点的坐标是，直接写出点关于点的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点关于点的二次关联图形与点重合，求点的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知的半径为1，点关于点的二次关联图形在上且不与点重合．若线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时点坐标及点的纵坐标的取值范围．
题型三：三角形中的新定义问题
1．（2023•晋中模拟）阅读下列材料并完成任务．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（3）如图3，在中，，点是的一个旁心且在边的下方．
①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法）
②若，外接圆的半径为2，则 ．
2．（2024•道里区校级一模）①请阅读下面材料，并完成相应的任务：
定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”．
例：如图 ①，点在的内部，，，则，故点为的“相似点“．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，，平分，求证：点为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，是上一点，是内一点，且，连接与交于点，连接，，若点是的“相似点”，且，求证：．
3．（2023•平谷区二模）在平面直角坐标系中，对于，其中，，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，与的过点的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点．
（1）若，，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；
（2）已知，，若线段上存在的留缘点，求的取值范围．
4．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）的值为 ．
． ．1 ．．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 ．
（3）已知，其中为锐角，试求的值．
5．（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”．
（1）如图2，．
①求证：点是点的“和谐点”；
②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”．
①若，求出点的坐标；
②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 ．
6．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在，于点，，则为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“”，错的打“”．
（1）等腰直角三角形是标准三角形．
（2）顶角为的等腰三角形是标准三角形．
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ．
【概念应用】
（1）如图，若为标准三角形，于点，，求的最小值．
（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．
7．（2023•广陵区校级四模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”．
（1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为 ；
（2）如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求；
（3）如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．
8．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） ．
（2） ．
（3）如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
题型四：四边形中的新定义问题
1．（2024•河北区一模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，，等边的顶点，点是的中点．
（Ⅰ）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（Ⅱ）将等边沿水平方向向右平移，得到等边△，点，，的对应点分别为，，，设，等边△与矩形重叠部分面积记为．
①如图②，当边与相交于点，边与相交于点，点在点的左侧且矩形与△重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
2．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度 ．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
3．（2023•射阳县一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．
（1）判断：一个内角为的菱形 等距四边形；（填“是”或“不是”
（2）如图2，在的网格图中有、两点，请在给出的两个网格图上各找出、两个格点，使得以、、、为顶点的四边形以为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为 ；
（3）如图，在海上，两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令，两艇同时出发，艇直接回到驻地，艇到岛执行某项任务后回到驻地（在岛执行任务的时间忽略不计），已知，，三点到点的距离相等，，，，若艇速度为，试问艇的速度是多少时，才可以和艇同时回到驻地？
4．（2023•蒲城县一模）【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形中，，，，，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，已知，，是的中点．在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023•涪城区模拟）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，，，点是边上一点，连结，四边形恰为等腰梯形．求的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形是矩形，以为一边作等腰梯形，，连结、．求证：；
【拓展应用】如图3，的对角线、交于点，，，过点作的垂线交的延长线于点，连结．若，求的长．
6．（2023•常州模拟）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形“中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是等角线四边形；
（3）如图2，中，，，，为线段的垂直平分线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．
7．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点，请你在图1中找出满足条件的点，保留画图痕迹（找出2个即可）
（2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若，求的值．
（3）如图3，在（2）的条件下，若时，将以为位似中心，位似比为缩小得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
8．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
（1）阅读与理解：
如图1，四边形内接于，点为弧的中点．四边形 （填“是”或“不是” 等补四边形．
（2）探究与运用：
①如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由；
②如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长．
（3）思考与延伸：
在等补四边形中，，，当对角线长度最大时，以为斜边作等腰直角三角形，直接写出线段的长度．
9．（2023•澧县三模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 （填“是”或“不是” “直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
①过作于点，试证明：，并求的长；
②若是边上的动点，求周长的最小值．
10．（2023•平远县一模）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
11．（2023•五华县一模）【定义】：
对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．
如图1，四边形为“等角线四边形”，即，．
【定义探究】：
（1）判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”．
①对角线所夹锐角为的平行四边形．
②对角线所夹锐角为的矩形．
③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．
【性质探究】：
（2）如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系；
（3）请判断与的大小关系，并说明理由；
【应用提升】：
（4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 ．
12．（2023•任城区校级三模）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点，点分别落在边，上，折痕为．
则四边形为矩形．
证明：设正方形的边长为1，则．
由折叠性质可知，，则四边形为矩形．
．
．
，即．
．
．
四边形为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与相等的线段是 ，的值是 ；
（2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形；
（3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则的值是 ．
题型五：圆中的新定义问题
1．（2024•大连模拟）【发现问题】
如图，某公园在一个扇形草坪上的圆心处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度米与喷出的水与池中心的水平距离米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小腾以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与函数关系式．
【解决问题】
（1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点的坐标为，水流的最高点的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式；
（2）当喷头旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）；
（3）在扇形的一块三角形区域地块中，现要建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使、分别在、上，在上．设米，当为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
2．（2023•湖南模拟）定义：如图1，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．
（1）如图1，弦是的纬线，求证：；
（2）弦和弦都是半径为5的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；
（3）如图2，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值（用含的式子表示）．
①；
②其中的一条纬线长不超过半径．
3．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度 ．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
4．（2023•海淀区校级一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外．给出如下定义：平移线段，得到线段，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为 ，点，的坐标分别为，，，，线段到的“平移距离”为 ；
（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）如图2，若点坐标为，线段到的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点形成的图形（不需证明）．
5．（2023•青山区模拟）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦．
（1）如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接，求证：、是的等垂弦；
（2）在图①中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，，求的长度．
6．（2023•天宁区校级一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为任意一点，为上任意一点．给出如下定义：记，两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，，最大值为，那么把的值称为点与的“关联距离”，记作．
（1）如图，点，，的横、纵坐标都是整数．
① ；
②若点在线段上，求的取值范围；
（2）若点在直线上，直接写出的取值范围；
（3）正方形的边长为，若点在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出的最小值和最大值．
7．（2024•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角，将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
（1）点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是 ；
（2）轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时， ；
②当时，若轴，求点的坐标；
（3）以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
8．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若的一个顶点在上，除这个顶点外与存在且仅存在一个公共点，则称为的“相关三角形”．
（1）如图1，的半径为1，点，为的“相关三角形”．
在点，，，这三个点中，点可以与 点重合；
（2）如图2，的半径为1，点，点是轴上的一动点，且点的横坐标的取值范围是，点在第一象限，若为直角三角形，且为的“相关三角形”．求点的横坐标的取值范围；
（3）的半径为，直线与在第一象限的交点为，点，若平面直角坐标系中存在点（点在轴下方），使得为等腰直角三角形，且为的“相关三角形”．直接写出的取值范围．
9．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当，时，直接写出直线关于的“圆截距”；
（2）点的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值2，直接写出的值．
10．（2024•天宁区校级模拟）对于与上一点，若平面内的点满足：射线与交于点，且，则称点为点关于的“倍距点”．已知平面直角坐标系中，点的坐标是，．
（1）如图1，点为坐标原点，的半径是，点是点关于的“倍距点”．
①若点在轴正半轴上，直接写出点的坐标是 ；
②若点在第一象限，且，求点的坐标；
（2）设点，以点为圆心，长为半径作，一次函数的图象分别与轴、轴交于、，若一次函数的图象上存在唯一一点，使点是点关于的“倍距点”，求的值．
11．（2023•石景山区一模）对于平面直角坐标系中的点和图形、给出如下定义：若图形上存在点，使得点绕着点旋转得到的对应点在图形上，则称点为图形的“关联点”．
（1）图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，
①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 ；
②如图2，若直线上存在点，使点为线段的“关联点”，求的取值范围；
（2）图形是以为圆心，1为半径的．已知点，，．若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围．
12．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
13．（2023•房山区二模）在平面直角坐标系中，有图形和点，我们规定：若图形上存在点、（点和可以重合），满足，其中点是点关于轴的对称点，则称点是图形的“对称平衡点”．
（1）如图1所示，已知，点，点．
①在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是 ；
②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点满足，再以点为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出点纵坐标的取值范围．
14．（2023•广陵区校级一模）【概念学习】
在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）对点的“最近覆盖距离”为 ．
（2）如图②，点是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为3，则点的坐标为 ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，求的取值范围．
（4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
15．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
16．（2024•北京一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 ．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
（3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
17．（2023•清江浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是 ；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
18．（2023•西城区校级模拟）在平面内，为线段外的一点，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在点，，，中，线段的直角点是 ；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
①若，如图2所示，若是线段的直角点，且点在直线上，求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，的半径为1，若上存在线段的等腰直角点，求出的取值范围．
19．（2023•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是 ．（填序号）
①矩形②菱形③正方形
（2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
（3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，
①求证：四边形是“婆氏四边形”；
②当时，求半径的最小值．
20．（2023•西城区校级模拟），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于的最佳内直角．如图1，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
（1）如图2，的半径为5，，是上两点．
①已知，，，在，，中，是关于的内直角的是 ；
②若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．
（2）点是以为圆心，4为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．
抽取序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
箱沙糖桔直径
4.5
4.4
4.6
4.5
4.4
4.5
4.6
4.6
4.5
4.4
箱沙糖桔直径
4.4
4.3
4.4
4.7
4.4
4.8
4.5
4.2
4.8
4.5
统计量
平均数
众数
中位数
4.5
4.5
4.4
三角形的旁心
三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点，则点是的一个旁心．
旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心分别作于点，交的延长线于点，交的延长线于点，则．
下面是部分证明过程：
平分，，，
．（依据）
同理可得，．