专题09 二次函数中线段周长最值及定值问题 (八大题型)教师版-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题09 二次函数中线段周长最值及定值问题 (八大题型)教师版-2025年中考数学压轴训练，共188页。试卷主要包含了二次函数中的定值问题等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:
1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:
①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;
②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.
【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.

方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB
【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’
二、二次函数中的定值问题
一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:
1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
2.韦达定理法:当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。
题型 01 利用二次函数解决单线段的最值问题
1．（2024·河南·一模）如图，抛物线与x轴交于点，和点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点为抛物线位于第一象限上一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值；
(3)点，，，，将抛物线向上平移个单位，若平移后的抛物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最大值是
(3)或
【分析】
（1）将，，，分别代入抛物线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）由，当时，，则，，直线的解析式为．设，则，，求得，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）抛物线向上平移个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，②当抛物线经过点，时，分别代入即可求解．
【详解】（1）
解:将，，，分别代入抛物线得，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：如图所示:

由，当时，，则，，
，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
直线的解析式为．
设，则，，
∴，
当时，的最大值是．
（3）
解：抛物线向上平移个单位后解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，则，解得．
②当抛物线经过点，时，，解得；
当抛物线经过点，时，，解得，
∴时，满足题意．
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线和抛物线的交点问题，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2),当时，有最大值
(3)存在，或
【分析】
本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质；
（1）将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案；
（3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标．
【详解】（1）
由题意得，
∴
∴；
（2）
设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）
存在
∵，，的坐标为，，
∴①当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
②当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
综上，点坐标为或
3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式；
(2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值；
(3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，直线的表达式为；
(2)线段长的最大值为；
(3)点Q的坐标为或．
【分析】（1）令，求得的值，令，求得的值，可求得A，B，C三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）设，则，证明，利用正切函数的定义推出，求得，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用勾股定理求得，，作于点，用正切函数的定义推出，分和两种情况讨论，分别求得点的坐标，求得直线的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
令，则，
∴，，，
设直线的表达式为，
代入得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，，
∴，，，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，∴当时，线段长的最大值为；
（3）解：∵，，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，，，
∴，
作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以H，C，B为顶点的三角形与相似，则分和两种情况讨论，
①当时，
∵，
∴，
∴，
同理求得直线的表达式为，
联立得，
解得，（舍去），
，
∴点Q的坐标为；
①当时，设，
则，，
∴，
解得，
∴，
同理求得直线的表达式为，
联立得，
解得，（舍去），
，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．
4．（2024·湖北襄阳·一模）抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
①当时，求线段长度的最大值；
②记线段的长度为l，当时，求m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)①4；②
【分析】（1）当时，，解得当时，，即求出答案；
（2）过点P作轴于点H，连接，由题意可得，点P的坐标为，，由得到，则，求出m的值，即可得到答案；
（3）①求出点N的坐标是，再求出直线的解析式为，得到点M的坐标为，则，即可求出答案；②证明是等腰直角三角形，，得到点Q的坐标是，则，由得到，根据函数的图象和性质即可得到m的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，
解得
∵抛物线的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），
∴，
当时，，
∴
（2）过点P作轴于点H，连接，
由题意可得，点P的坐标为，
则，
∵，
∴，
∴，
解得，
经检验是增根，舍去，是分式方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴点P的坐标是；
（3）①由题意可得，点P的坐标为，
∵点N是经过点B的直线上一点，直线轴，交直线BC于点M，
∴点N的坐标是，
设直线的解析式为，把点B和点C的坐标代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
∴点M的坐标为，
∴
∴当时，线段长度的最大值为4；
②∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵直线轴，
∴
∵过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵点P的坐标为，过点P作直线轴，交直线BC于点Q．
∴点Q的纵坐标为，
由直线的解析式为，则，
∴，
∴点Q的坐标是，
∴
∵线段的长度为l，，
∴，
即，
∴，
设函数,
当时，，解得,,
即函数与x轴交点坐标为，
函数的图象如图所示，
由图象可知，当时，，
∴m的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质、图象法解不等式等知识，数形结合是解题的关键．
5．（2024·山西晋城·二模）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作轴于点D，交于点E，过点P作直线，交y轴于点F，交于点G，连接，过点C作于点H．
(1)求二次函数的表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)求线段的最大值．
(3)在点P运动的过程中，是否存在点F，使？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，则；解直角三角形得到，则，可证明，得到，证明，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为；
（3）如图所示，当点F在x轴下方时，过点F作交延长线于M，则四边形是矩形，则，由，得到，，则，根据，得到，解方程即可得到答案；同理求出当点F在x轴下上方时点F的坐标即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
在中，当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解；设，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：如图所示，当点F在x轴下方时，过点F作交延长线于M，则四边形是矩形，
∴，
由（2）得，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴；
如图所示，当点F在x轴下上方时，过点F作交于N，
同理可得，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式等等，解（2）的关键在于证明，进而把求的最大值转换成求的最大值，解（3）的关键在于分两种情况，通过全等三角形的性质把所需线段转换到一个直角三角形中进行求解．
6．（2024·天津南开·一模）抛物线与y轴交于点且过点，其中，连接．
(1)当时，求抛物线解析式和其顶点的坐标；
(2)当时，若点M为抛物线上位于直线上方的一点，过点M作直线的垂线，垂足为N．求的最大值和此时点M的坐标；
(3)已知点，点，若点P在线段上，且，连接，，当的最小值为时，直接写出此时b的值和点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)点M坐标为时，有最大值
(3)，点P的坐标为
【分析】（1）当时，求出点B坐标，将点A和B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式；
（2）当时，写出抛物线解析式，再将点代入解析式求出点B的坐标，根据点A和点B的坐标求出直线的解析式，设直线与x轴的交点为F，利用锐角三角函数可求出，过点M作轴与直线交于点E，利用铅锤法可求出的最大值，根据，求出的最大值，进而求出点M的坐标；
（3）根据题中点A，Q，B，D的坐标特点易知轴，，，作关于对称的线段，在上截取，根据对称性和平行的性质有，易证，从而，结合图形易知当点在同一直线上时，最小，即最小，此时根据两点距离公式写出，根据的最小值为，求出此时的m，进而求出点B和的坐标，将点B代入抛物线解析式，即可求出b的值，再利用点B和的坐标求出直线解析式，将点代入求出n，从而求出，作于H，易求点P的横坐标，将点P的横坐标代入直线的解析式，求出纵坐标，即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：当时，点B坐标为，
将点和代入得到：
，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
顶点的坐标为；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
将点代入得，
解得或，
，
，
，
设直线为，
将代入得，
解得，
直线解析式为，
如图，直线与x轴的交点为，
，
，
过点M作轴与直线交于点E，
，
设点，则点，
，
当时，，
，
此时点M的纵坐标=，
点M坐标为；
（3）解： 点和点，点和点，
轴，，，
如图，作关于对称的线段，在上截取，
由（2）得，
根据对称性和平行的性质有，
，
，
由图可知当点在同一直线上时，最小，即最小，
此时点，
，
解得（舍负），
此时点，点，即点和点，
将点B代入抛物线解析式，得到，
，
设直线解析式为，将点代入，得到，
解得，
直线解析式为，
将点代入得到，
，
，
作于H，则，
，
点P的横坐标为，
将代入直线解析式中，
得到，
点P的坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数的图象和性质，二次函数的线段问题，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式等，解题关键是作出相应的辅助线，数形结合进行分析．
7．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值为．此时
(3)为直角三角形时，点M的坐标为：或
【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线的解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）由题意得，解得：．
则抛物线的解析式为：；
（2）过点P作轴于点H，交于点G
当时，，解得或3，
∴
设直线的解析式为：，
则
解得：
∴
设点（），则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∴当时，取得最大值为．此时．
（3）在上存在点M，使为直角三角形．
抛物线顶点，设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴．
设，
①∵，∴，不可能为直角；
②当时，则 ∴轴，
则，∴，∴．
③当时，过点M作轴于点F．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∵，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．
8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与x轴交于另一点B．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)求点B坐标；
(3)设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M．交直线于点N．
①若点P在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当点P运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①线段的长度的最大值为；②点的坐标为，，的面积为；或点的坐标为，，的面积为．
【分析】（1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）令，得，解得：，即可求出点B的坐标；
（3）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题．
【详解】（1），，且点、在抛物线上，
∴，
解得，
该抛物线所对应的函数关系式为；
（2）令，得，
解得：，
；
（3）①如图2中，
已知，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
点在抛物线上，且轴，点N在直线的图象上，
设点的坐标为，则点的坐标为，
又点在第一象限，
∴，
，
，
当时，
线段的长度的最大值为．
②解：如图3中，
由题意知，点在线段的垂直平分线上，
又由①知，，
的中垂线同时也是的平分线，
设点的坐标为，
又点在抛物线上，于是有，
，
解得，，
点的坐标为：，或，，
若点的坐标为，，此时点在第一象限，
在和中，，
，
，
，
，
若点的坐标为，，此时点在第三象限，
则．
综上所述的面积为或．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
9．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在；点P的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
；
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
10．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接、，判断的形状并说明理由．
(3)连接，若点P在第一象限，过点P作于E，求线段长度的最大值；
(4)已知，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为等腰直角三角形；理由见解析
(3)
(4)的横坐标为或
【分析】（1）利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入点，求得抛物线解析式；
（2）先求出点，然后求出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点、、，则直角的各个内角三角函数值和边长均可求，且直线的解析式可求，因为，可以过作轴与，交于，则可以证得，利用相等的角的三角函数值相等这个结论，得到与的数量关系，设出点坐标，可以得到点坐标，表示出的长度，继而求得的长度，得到一个二次函数，根据的横坐标范围，讨论这个二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决．
（4）根据题意，可以画图，得到可以在轴上方和轴下方两种情况，先看在轴下方，利用、、三点坐标，可以证得，延长交于点，则是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得的解析式，从而联立与抛物线解析式，求出交点的横坐标，当在轴上方时，可以先求出关于轴对称点的坐标，先求出直线的解析式，再联立直线与抛物线解析式，求出交点的横坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，代入点，得，
，
抛物线解析式为：．
（2）解：为等腰直角三角形；理由如下：
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∵，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
（3）解：如图，过作轴于，交于，
，
，
，
，
，
令，则，
，
∵
，，
，
，
设直线为，代入点，得，
直线为，
∵点在抛物线的图像，点在直线的图像上，且点与点的横坐标相等，
∴设，则，
，
，
，
在第一象限，
，
时，最大值为．
（4）解：①如图，当在轴下方时，，延长交延长线于，过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点，过作于，
，，，
，
同理，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
设直线为，代入点，解得，
直线为，
联立，
，解得或，
的横坐标为；
②如图，当在轴上方时，
关于轴的对称点为，则，连接交抛物线于点，可设直线为，代入点，解得，
直线为
联立，
，
或，
的横坐标为，
综上，的横坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了线段最值问题，解决关键就是做横平竖直线，将“斜线段”转化成“垂线段”，利用函数思想解决最值问题，第三问考查了角的存在性问题，要注意画图，分类讨论，利用一线三直角模型来解决问题．
11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为D，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图2，过点作，垂足为，当为何值时，最大？最大值是多少？
(3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，的值最大，最大值为；
(3)或或．
【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先利用待定系数法求得直线的表达式为，根据题意设，，，则，证明，利用锐角三角函数和坐标与图形性质得，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，分三种情况：①点O的对称点恰好落在对角线上时；②点O的对称点恰好落在对角线上时，③点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，分别画出图形，利用对称性质、坐标与图形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等分析求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于A、B两点，与轴交于点C．点坐标为，点坐标为，
∴，解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线上的动点在第一象限，且横坐标为，轴，交直线于点，
∴，，
∴，
∵，轴，
∴，又，
∴，
∴，即，
∵点坐标为，点坐标为，
∴，，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为；
（3）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设抛物线对称轴交x轴于点H，交矩形边于G，则，，，
若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，连接，，
则垂直平分，
即，
∴，
∴,
∴，则，
∴，解得，则；
若点O的对称点恰好落在对角线上时，如图，设与相交于点K，
由对称性质得，，
∵，
∴，则，
∴，
∵在抛物线对称轴上，是矩形的对角线，
∴K为的中点，则，，
∴在中，，
∴，
∴，则；
若点O的对称点恰好落在对角线的延长线上时，如图，过作轴于K，连接交延长线于M，
由对称性质得，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，则，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，则，
综上，满足条件的点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
12．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点E、点F．求线段的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为
(2)线段EF的最大值为
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两点之间的距离公式．
（1）利用待定系数求函数解析式即可；
（2）先求出的解析式，设 ， 则 ，根据两点之间的距离公式得出关于的绝对值方程，根据m的取值范围分类讨论求出的最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴可设抛物线的函数解析式为．
∵抛物线经过点，则，
解得．
∴抛物线的函数解析式为
（2）当时，

设直线的解析式为，把代入，
得
解得：
∴直线的解析式为
设 ，
则
，
当时， ，
∴当时，有最大值2．
当时，，
当时， 有最大值
13．（2024·天津·一模）抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．
(1)若，．
①求点和点，的坐标；
②当点为直线与抛物线的交点时，求的最小值；
(2)若，，且的最小值等于时，求，的值．
【答案】(1)①，，；②的最小值
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短；
（1）①求得解析式为，再求顶点坐标及与x轴交点坐标即可；
②先求出点坐标，再根据垂线段最短求出的最小值即可；
（2）在上取一点D，使，作关于的对称点，交轴于，交于，连接，，可证明，得到，当在上时，最小，根据最小值得到，再求出，由对称求出，再在中根据求出的值，最后把代入上求出的值．
【详解】（1）①∵，，
∴抛物线解析式为，
∴顶点为，
令，解得，
∵抛物线与轴交于点，（点在点左侧），
∴，；
②令，得，
∴，
∴
当点为直线与抛物线的交点时，直线过点且平行于轴，
∴点纵坐标为，
令，解得，
∴，
∴
∵当时，值最小，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即的最小值；
（2）在上取一点D，使，
∵，，
∴，
∴
∵直线过点且平行于轴，
∴，
∵，
∴，
∴,
作关于的对称点，交轴于，交于，连接，,
∴,
∴当在上时，最小，
∵的最小值等于，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∴
∵作关于的对称点，
∴，
∴，
在中，
∴
解得或（舍去）；
∵在上，
∴，
∴，解得．
14．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线的顶点D的坐标为，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标；
(2)如图2，连接交y轴于点E，过点E作交x轴于点F，连接交抛物线于点G，试求点G的坐标；
(3)如图3，连接，，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作，交于点Q，当的长最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设出顶点式，将代入求出解析式即可；
（2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线，求出交点坐标即可；
（3）过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，设点坐标为，求出直线，的解析式，根据平移求出直线的解析式，进而求出点坐标，得到的长，三角函数，表示出的长，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把，代入，得：，
∴，
∴；
令，
解得：，
∴，
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
联立，解得：或，
∴；
（3）设直线的解析式为，把代入得：，
∴，
∴，
同法可得：直线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
联立，解得：，
∴，
如图，过点作轴的平行线，与过点平行于轴的直线交于点，
则：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，解直角三角形等知识点，属于中考压轴题，解题的关键的掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解．
15．（2024·广东惠州·一模）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．
①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的坐标为
(3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似
【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论．
（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论；
（3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论；②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
，
，
直线的表达式为；
当时，，
点的坐标为，
将点的坐标为，点的坐标为，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
的坐标为，
将点的坐标代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐标为；
（3）①由（1）可知，直线的解析式为：，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
设线段的长度为，
则
，
当时，线段有最大值为4；
②存在，理由如下：
由图形可知，
若与相似，则需要分两种情况，
当时，由（2）可知，，此时；
当时，过点作轴交抛物线于点，
令，
解得（舍或，
综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似．
16．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)取得最大值为，
(3)点的坐标为或或．
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点，．代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
（2）∵与轴交于点，，
当时，
解得：，
∴,
∵．
设直线的解析式为，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，，
∴；
（3）∵抛物线
将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，
点向右平移5个单位得到
∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则，
∴,
∴
∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．
则点的横坐标为，
设，
∴，，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①当时，有最大值，最大值为；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
18．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题
19．（2024·山东枣庄·一模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
(3)如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过作x轴的垂线，垂足为H，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答；
（3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解．
【详解】（1）解：将，代入的，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，

∵，，
∴，
由翻折可得，
∵
∴对称轴为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）设所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直线与x轴所成夹角为，
设，
设所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得，
∴
∴
∵点P在直线下方，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，解直角三角形，一次函数的性质等相关知识点，学会把函数问题转化为方程是解题的关键．
20．（2024·广东广州·一模）如图所示，抛物线与直线交于，两点，点为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点C运动到何处时，线段的长度有最大值；
(3)点E为直线上一动点，在（2）的条件下，当有最小值时，点E的坐标为______（直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)C的坐标为
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）作点关于直线（直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．
【详解】（1）解：把，分别代入得：
解之得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，分别代入
得：，解之得：，
直线的解析式为，
设点为，
轴，
，
，
，
当时，线段的长度有最大值，此时点的坐标为；
（3）解：过点作于点，如图所示．
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
作点关于直线（直线的对称点，
当、、三点共线时，取得最小值，
，
可设直线的解析式为：，
把代入可得：，
，令，则
，
故答案为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．考查了勾股定理，解直角三角函数，求一次函数的解析式，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
21．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，且点在轴上，是轴上一点，连接．
(1)求的值；
(2)当取得最小值时，求点的坐标；
(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，最小值为
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设关于轴的对称点为，的坐标为，连接，则与轴的交点即取得最小值时点的位置，求得直线的解析式为，进而即可求解；
（3）由（1）可得，依题意设，，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，代入直线，
∴
解得：，
∴直线的表达式为
对于，得，则
∴的坐标为
将点，分别代入
∴
解得：,
（2）设关于轴的对称点为，的坐标为，连接，则与轴的交点即取得最小值时点的位置，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为
当时，
∴
（3）由（1）可得
依题意设，
∴
如图所示，
∵点在线段上，不与端点重合
∴在点的上方，
∴，
∴
，
∴
∵
∴当时，取得最小值，最小值为
22．（2024·广东江门·一模）如图，已知抛物线，与轴交于两点，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)在以为直径的圆中，直线与相切于点，直线交轴于点，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)存在，最小值为
(3)
【分析】（1）将代入得，，可求的值，进而可求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，由对称的性质可知，，则，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求的长即可；
（3）如图2，连接，由题意知，的半径为3，，则，，证明，则，证明，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，则，待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，连接，

由对称的性质可知，，
∴，
∴当三点共线时，最小，为，
当时，，即，
由勾股定理得，，
∴存在一点，使的值最小，最小值为；
（3）解：如图2，连接，

由题意知，的半径为3，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键．
23．（2024·重庆·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于，， 交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2， 连接，点P是直线上方抛物线上的一动点， 过点 P作轴交于点E，过点P作 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标；
(3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作轴交新抛物线于点M，射线交新抛物线于点 N，如果请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)最大值，此时
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）延长交x轴于点Q，证明，进而可得，求出直线的解析式为，设，则，则，然后代入，得出关于m的解析式求解即可；
（3）分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况求解即可．
【详解】（1）∵抛物线 交x轴于，，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交x轴于点Q，
∵轴，
∴轴．
∵当时，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴．
设，则，
∴
，
∴
，
∵，，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）当点M在x轴的上方时，如图，
过点C作x轴的平行线交抛物线与点G，
∵，
∴对称轴为直线，
∴．
设，则，
∴平移后的解析式为，
∵，
∴，
把代入，得
，
∴，
∴；
当点M在x轴的下方时，如图，同理可求．
综上可知，点N的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的知识，二次函数与几何综合，二次函数的平移，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
24．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
图1 图2 图3
(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标；
(2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长；
(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)，对称轴为直线，顶点D的坐标为；
(2)的周长的最小值为；
(3)直线恒过定点，定点坐标为．
【分析】（1）求得点B的坐标为，点C的坐标为，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；
（2）先求得直线的解析式，再求直线与对称轴交点Q，将转化为，在中求，在中求即可求解；
（3）如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，设点M的坐标为，点N的坐标为，证明，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线，顶点D的坐标为；
（2）解：∵点A与点关于直线对称，
∴直线与对称轴的交点为Q，则Q为最小时位置，
设直线的解析式为，
代入点得，解得，
∴直线的解析式为，
当，，
∴，
∵点，
∵，
，
∴的周长的最小值为；
（3）解：如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，垂足分别为H，G，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵顶点D的坐标为，
∴，，
，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵点M的坐标为，点N的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
得，
∵，
∴，
将代入①得，
求得；
∴直线的解析式为，
∵，即，
∴，
∴当即时，，
∴无论为何值，直线总会经过定点，
∴直线恒过定点，定点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
25．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
26．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，
①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形；
②求出的最大面积及此时点P的坐标；
③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①是直角三角形；②；③
【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可；
（2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出；
②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可；
③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，，代入解析式得：
，解得：，
∵抛物线的解析式为；
（2）解：①配方得
∴点P的坐标为，
作轴于点H，则，
∴
又∵在中，，
∴，
∴
∴是直角三角形
②设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∴，
当时，的最大面积为，
，
∴
③设点（），过点P作轴于点N，交于点E，如图所示：
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，且，连接，．
(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，
∴
将，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线AC的解析式为
设点P的横坐标为
则，，
∴
∵，∴，解得，
∴；
（3），，
补充求解过程如下：
设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
显然点在直线上运用，
作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，
∴，
∴，
设直线的解析式是：
将点，代入得：
解得：
直线的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是
又∵，
∴平移前的抛物线的坐标是
∴新抛物线的顶点坐标为即
故答案是：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．
28．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点．点在轴正半轴上，且，分别是线段，上的动点（点不与点重合，点不与点重合）．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)连接．
①将沿轴翻折得到，点的对应点分别是点和点，当点在拋物线上时，求点的坐标；
②连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）抛物线与轴交于两点，点，用待定系数法即可求解；
（2）①如图，连接交于点，根据折叠的性质，设，用含的式子表示点， 根据点在抛物线上即可求解；②如下图，过点作轴，可证，、、三点共线时，取到最小值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，，
，解得，
，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：已知抛物线与轴交于两点，点，
∴令，则，解得，，，
∴，
①如图，连接交于点，
与关于轴对称，
，，
设，则，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
点在抛物线上，
，解得或（舍去），
；
②如下图，过点作轴，使得，作延长线于点，
，
又，，
，
，
、、三点共线时，取到最小值，
，，，
，，
在中，，，
．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键．
29．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
(1)填空：_________，点的坐标是 _________；
(2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
(3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点的坐标为 ，，，
【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题．
（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标；
（2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出；
（3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解．
【详解】（1）解：将点代入中得，，
解得，，即，
当时，，
解得，，，
∴点B的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴点，点，
设直线的表达式为，且经过点，点，
∴，
解得，，
∴，
∵点在直线的图象上，点在抛物线上，
∴设点，，
∵，轴，
∴，（对顶角相等），
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
，
∴当时，最大，此时，，
如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点，
在中，，
则
∴，
∵，即，
∴在中，，
，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∴点，，
∴，即，
∴，
∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即．
（3）解：存在，
由（2）可知，，即点，
将点向下平移个单位得到点，
∴点 ，
在 中, 则，
取的中点G，则有，
∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，
如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴，即点，
同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点，
当点在轴负半轴上时，点，
当点在轴负半轴上时，点，
综上，点的坐标为，，，．
30．（2024·天津滨海新·一模）已知抛物线（，为常数，且），与轴交于点，两点，与轴相交于点．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)点为抛物线对称轴上一点，点的纵坐标为，若，求抛物线的解析式：
(3)当时，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作直线垂直于轴，垂足为，为直线上一动点，为线段上一动点，当的最小值为时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入，可得，进而可得，即可求得顶点坐标；
（2）代入，得，可得抛物线的对称轴为直线，，，由对称性可知，点的坐标为，得，，即可求解；
（3）作点关于直线的对称点，则，．过作，垂足为，与直线相交于点，此时取得最小值，即，在解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于点，
，得．
抛物线的解析式为．
，
所以抛物线的顶点坐标为．
（2）抛物线与轴交于点，
，得．
抛物线的解析式为．
可得抛物线的对称轴为直线，，．
由对称性可知，点的坐标为．
，，
因为，有
解得，（舍）．
抛物线的解析式为．
（3）点，点，
得直线的解析式为．
设直线与抛物线的对称轴相交于点，则．
作点关于直线的对称点，则，
．
过作，垂足为，与直线相交于点，
此时取得最小值，即．
在中，，，
由，得．
在中，，有．
．
解得．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
31．（2024·山东临沂·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

(1)填空：a＝_____，点B的坐标是______；
(2)连接，点M是线段上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作轴，垂足为H，交于点F，点P是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连接，把绕点O顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为
【分析】（1）将点代入，求得a，再令，解方程即可得出答案；
（2）将（1）中所得的解析式写成顶点式，则可得点D的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，设点，利用等角的三角函数值相等得出，利用二次函数的性质求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接，设交y轴于点J，利用的面积计算出即可；
（3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得，分四种情况计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
∴点B的坐标是；
故答案为：，；
（2）解：∵ ，
∴点，点，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，，
∴，
设点，
由图形可知，，
∵，，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，，
在x轴上取点，则，过F作的垂线段交y轴于点P，此时，
∴，
∴当点F，P，G三点共线时，有最小值为，
而此时点P不在线段上，故不符合题意，
∴的最小值为的长度，
∵点，点，
∴，
∴当的周长取得最大值时，的最小值为；

（3）解：存在．
由（2）可知，点，
将点P向下平移个单位得到点Q，
∴点，
在中，，则，
取的中点G，则有，
∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可使得，
如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
设，则有： ，
∴，则点，
同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点；
当点G在y轴负半轴上时，点；
当点G在x轴负半轴上时，点．
综上，点的坐标为．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、直角三角形的性质与解直角三角形等知识点，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为M．
(1)直接写出b，c的值；
(2)若，求k的值；
(3)若D为上的点，F为上的点，，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接，，如图2，当取得最小值时，求点F的坐标．
【答案】(1)（1），；
(2)；
(3)当取得最小值时，F的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，求出点A的坐标，然后求出与y轴的交点Q的坐标，然后代入求出k的值即可；
（3）作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.则，得到，即， 当点在点的位置时， 取等号.可得的最少值等于.然后根据，再根据勾股定理即可解题．
【详解】（1）解：∵点C在x轴上，
∴令，则，解得，
∴点C的坐标为，
把和代入得：
，解得：，
∴函数解析式为，
（2）令，则，
解得：，，
∴点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为或，
把代入得，解得；
把代入得，解得；
∴；
（3）如图所示， 作，在上截取.连接. 与轴交于点，过点作轴，垂足为.
又∵，
∴，
∴，
∴， 当点在点的位置时， 取等号.
即的最少值等于.
过作轴的平行线交抛物线于点，
∴，
∴，即 .
∵，
，
，
设， 则，
在中， ，
解这个方程得，(负值不符合题意，舍去)，
∴点的坐标为 ，
∴直线 的函数表达式为：，
当时，，解得，
，
即当取得最小值时，的坐标为
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)满足条件的E、F两点存在，，，
(3)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题
34．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B．
(1)求m的值；
(2)求证：；
(3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)当时，值最大，为
【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得．
（2）由得，由，，得，故．
（3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）把代入与中，得
，，
得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图：

∵，
∴，
∴将抛物线L为，直线为，
∵抛物线L向左平移，
∴抛物线P为，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，
∴，
∵直线与抛物线L的对称轴交于点B，
∴，
∵点M在点B的下方，
∴．
∵抛物线L的对称轴为直线，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键．
35．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时；求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，求的坐标以及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记与对称轴的交点为，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接，延长交抛物线于，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线经过点，
设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记与对称轴的交点为，
设直线为：
解得：
直线为：



解得：或
∵ 则
（3）如图，连接，延长交抛物线于，则此时最大，


设为： 代入、两点坐标，

解得：
∴为：

解得：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题
36．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为．
【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴OB=1，
∴，
把点B、D坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴由两点距离公式可得，
设点，当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
②当时，如图所示：
∴由两点距离公式可得，即，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，，
∴，DM=EM，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
∴，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴，
若使的值为最小，即为最小，
∴当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为，
设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，
∴线段OD的解析式为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
37．（2024·天津河北·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，若C点坐标为，对称轴为
(1)求抛物线顶点P和点A的坐标；
(2)点D为y轴上一点，连接，，若将沿所在直线翻折，点B的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求D点坐标；
(3)抛物线上点M在直线上方，过M作的垂线交线段于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为Q，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
(3)的最小值为
【分析】（1）把点的坐标代入，结果对称轴公式建立方程组求出二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式求顶点坐标，令，解一元二次方程求与轴交点的坐标；
（2）分两种情况：点在轴正半轴上或点在轴负半轴上，利用直角三角形的性质求解即可；
（3）先求直线、和的解析式，联立求出点的坐标，再求的最大值，最后求的最小值．
【详解】（1）将，对称轴代入，
得
解得，
∴，
顶点，即，
令，得，解得，，
∴，；
（2）如图，当点在轴正半轴上时，连接，
沿所在直线翻折得到，
，对称抽与轴交于点，有，
在中，，
有，则，
在中，，
∴点的坐标为；
同理，当点在轴负半轴上时，点的坐标为；
点的坐标为或
（3）由，，得：，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
即的解析式为：，同理的解析式为：，
点在抛物线上且在直线(即)上方，设横坐标为，
有，,
，得直线的解析式为：，
交于，联立，
得，则，有
即当时，有最大值，
即当时，有最小值．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，二次函数的解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，二次函数的最值，属于常见的中考试题，解题的关键是构建二次函数求最值．
38．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C4,−5两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式：
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)41+1
(3)存在，1,−3，1,22，1,−22，1,−5+17，1,−5−17
【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可；
（2）连接OC，交对称x=1于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的EQ+PQ+AP值为最小，其EQ+OQ为量小，最小值为线段OC长；
（3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，C4,−5，
∴AD=AB=5，B4,0，
∴OA=1，
∴A−1,0，
将点A，C坐标代入y=−x2+bx+c得：−16+4b+c=−5−1−b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
（2）连接OC，交对称x=1于点Q
∵PQ⊥y轴，
∴AO∥PQ，
∵AO=PQ=1，
∴四边形AOQP是平行四边形，
∴AP=OQ，
∴EQ+PQ+AP=EQ+1+OQ
若使的EQ+PQ+AP值为最小，其EQ+OQ为量小．
∵E，C关于对称轴x=1对称，
∴EQ=CQ，
∴EQ+OQ=CQ+OQ，
此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长．
∵C4,−5，
∴OC=42+52=41，
∴EQ+PQ+AP的最小值为41+1，
即EQ+PQ+AP的最小值为41+1．
（3）设M(1,m)
∵E，C关于对称轴x=1对称，C4,−5，
∴E−2,−5，
∵A−1,0
∴AE2=(−1+2)2+(−5−0)2=26
AM2=(−1−1)2+(0−m)2=m2+4
EM2=(−2−1)2+(−5−m)2=m2+10m+34
∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
∴△AME是等腰三角形
当AE=AM时，AM2=AE2=m2+4=26，
解得m=±22，
此时M点坐标为1,22，1,−22
当AE=EM时，EM2=AE2=m2+10m+34=26，
解得m=−5±17，
此时M点坐标为1,−5+17，1,−5−17
当AM=EM时，EM2=AM2=m2+10m+34=m2+4，
解得m=−3，
此时M点坐标为1,−3
综上所述，存在点M1,−3，1,22，1,−22，1,−5+17，1,−5−17
，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、线段和最值问题、二次函数的性质、菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中第（3）问把菱形转换成等腰三角形是解题的关键，需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解．
题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题
39．（2024·江西·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作二次函数图象上的点；
(2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键．
（）先求出函数解析式，再得出点的具体位置；
（）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点．
【详解】（1）
根据题意可得：解得：，
即二次函数，
在图上找到点关于对称轴对称的点即是点；
（2）
由（）得：，，
令的解析式为，
将点点代入解析式得：，解得：，
的解析式为，
因为点在对称轴上，时，，故点
40．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点是直线上方抛物线上的一个动点，连接交拋物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)过点作轴于点，交直线于点，连接．在点运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数综合－周长问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，把代入求解即可；
（2）当点与点C关于直线对称时，的周长取得最小值，据此即可求解；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式，设点，分或或时，三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）解：抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
当点与点C关于直线对称时，的周长取得最小值，
∵，∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，，
设点，
当时，即，
∴，
解得（负值舍去），
∴点的坐标为；
当时，即，
∴，
解得（舍去），或，
∴点的坐标为；
当时，即，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
41．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
42．（2023·山东济宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；
(3)点为抛物线上的一动点，是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）设直线解析式为，用待定系数法得直线解析式为，设，则，即得，可证，可得，，构建二次函数，利用二次函数的性质求解；
（3）在轴负半轴上取，使，连接交抛物线于，此时，是满足条件的点，由，，得直线解析式为，即可解得，作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，由对称性知，是满足条件的点，设，构建方程组求出点的坐标，可得结论．
【详解】（1）解：把和的坐标代入，得到，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由可得，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设，则，
，
轴，轴，
，，
，
，即，
，，
周长为
，
，
当时，周长最大值为；
（3）解：在轴负半轴上取，使，连接交抛物线于，如图：
，，此时，是满足条件的点，
，，
直线解析式为，
由得或，
，
作关于直线的对称点，连接并延长交抛物线于，由对称性知，是满足条件的点，
设，根据，可得：
，
解得或，
，
由，可得直线解析式为：，
解得或，
，
综上所述，的坐标为或．
43．（2024·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值
(3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)最大值为1．
【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答；
（2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答；
（3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案．
【详解】（1）解：直线中，当时，，
，
当时，，
，
，
将，代入抛物线中，得：
，
，；
（2）解：如图1，当时，，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
如图1，连接交直线于点，
因为点与点关于直线对称，由对称性可知：，
此时的周长最小，所以的周长为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
（3）解：当时，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
当时，有最大值是，
当时，，
点的坐标为时，有最大值是，此时的面积最大；
．
当时，的面积最大；面积的最大值为1．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．
44．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标．
(3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解；
（3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点，分别代入，
得解得
∴抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴对称轴为直线
点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，
当时，，
∴点．
设直线的解析式为，代入得
∴
∴直线的解析式为
当时，，
∴点．
（3）存在．
∵，是的中点，
．
又，
∴直线的解析式为，．
联立得．
解得，（舍）．
当时，．
∴．
设，则．
∴．
分以下两种情况：
①如图2，若，则，．
∴轴．
∴．
∴．
解得或（舍）．
∴．
②如图3，若，则，．
过点作于点，则，
即．
解得或（舍）．
∴．
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式．
45．（2024·山西晋中·一模）综合与探究
如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将 沿轴向右平移 个单位长度，得到 ．
(1)求抛物线的函数表达式与顶点的坐标．
(2)如图，连接，当 周长最短时，求的值．
(3)如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与 的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点的坐标为；
(2)；
(3)或．
【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再把抛物线的函数表达式转化为顶点式即可得到顶点的坐标；
（）设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短，由对称得到点的坐标为，设直线的函数表达式为，可得直线的函数表达式为，求得点的坐标为，即可求出的值；
（）如图，过点作轴于点，由，，可得，，，，进而得到，，，即可得，，，分三种情况：，，，利用解直角三角形和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：将点代入中得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：如图，设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短，
∵点的坐标为，
∴.点的坐标为，
设直线的函数表达式为， 将点、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：存在，或．
如图，过点作轴于点，
∵，，
∴，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，，
分三种情况讨论：
当时，在中，
∵ ，
∴，
∴该情况不存在；
当时，
∵，轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
当时，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
在中 ，，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，轴对称最短线段问题，二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握分类讨论思想解答是解题的关键．
46．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，连结，求周长的最小值；
(3)已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边直于坐标轴．
①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值；
②连结，设的中点为，当以为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①的值为或或3；②或
【分析】
（1）将、代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意知抛物线的对称轴为，作点关于抛物线的对称轴为的对称点，则，可知的周长，要使的周长最小，只需使最小，由三角形三边关系可知（当点在上时取等号），即的最小值为，由此可求解；
（3）①由题意可知，，，当时，，当时，，分6种情况：当或时，当时，当时，当时，当时，当时，分别讨论即可；
②先证明在锐角三角形中，两边的平方和大于第三边的平方，两边的平方差小于第三边的平方，再根据坐标距离公式表示出，，，再根据，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得：
，解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为，

∵，则
作点关于抛物线的对称轴为的对称点，则，
∴的周长，
要使的周长最小，只需使最小，
由三角形三边关系可知（当点在上时取等号），即的最小值为，
∴的周长的最小值为；
（3）①由题意可知，，，
当时，，当时，，
即：当或，平行于坐标轴，此时不存在满足题意的矩形，
当时，如图，此时，矩形内部没有随增大而减小的函数图象，故不符合题意；

当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象，
最高点在上，纵坐标为，最低点为点，纵坐标为，
∴，解得：，（舍去）；

当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象，
最高点为点，纵坐标为，最低点在上，纵坐标为，
∴，解得：；

当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象，
最高点为点，纵坐标为，最低点在上，纵坐标为，
∴，解得：，（舍去）；

当时，如图，此时，矩形内部有随增大而减小的函数图象也有随增大而增大的函数图象，故不符合题意；

综上，的值为或或3；
②如图，是锐角三角形，，，，

过点作，则，
∵，，在，，
∴，
即：，同理，，，
∴，
即：在锐角三角形中，两边的平方和大于第三边的平方，两边的平方差小于第三边的平方；
∵，，
则
∵点为的中点，
∴，
则，
，
当时，，，此时不存在，
当时，，，，三个点均在直线上，此时不存在，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，
先求，
即：，
整理得：，即，
，
当时，，则，即：，
可得，此时无解，或，解得；
∴，
当时，，则，即：，
可得，解得，或，解得（舍去）；
∴，
即：当时，或；
再求，
即：，
整理得：，即，
，
，
当时，，则，即：，
可得，解得：（舍去），或，解得：，
∴，
当时，，则，即：，
可得，此时无解，或，解得：，
∴，
即：当时，或；
∴当时，或，
综上，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，或．
47．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)分别求出，的值和直线的解析式；
(2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
(3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键．
（1）先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式；
（2）求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可；
（3）当时，如果 或时，则∽，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）点的坐标为，
．
令，则，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
，；
抛物线的对称轴为，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
；
设直线的解析式为．
将、代入得：
，
解得，，
直线的解析式；
（2）直线的解析式，
直线的一次项系数，
．
平行于轴，
，
．
的周长．
设，则，
则．
当时，有最大值，最大值为．
的周长的最大值；
（3）在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
设点的坐标为，则
如图，

若 时，∽．
则 ，整理得：．
得：负值舍去，
点为；
如图，

若时，∽，
则，整理得：，
得：负值舍去，
点为，
综上所述，点的坐标为或．
48．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)周长的最大值，此时点
(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或
【分析】（1）把、代入计算即可；
（2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
【详解】（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，

∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题
49．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)点是抛物线上、之间的一点，过点作轴于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．设点的横坐标为点，请用含的代数式表示矩形的周长，并求矩形周长的最大值．
【答案】(1)，顶点D的坐标为
(2)
(3)矩形的周长为，矩形的周长最大值为
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段周长问题；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解；
（3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线经过点、，
所以有，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）将代入，解得，，
∴
∵，
∴E点的横坐标为，
把代入
∴，
（3）由抛物线可知，对称轴为直线，
∵P点的横坐标为m，轴，
则，
，
∴矩形的周长，
∴当时矩形的周长最大值为．
50．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)b=4，c=5， m=5
(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）
(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG是矩形，而 可得四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直线的解析式为： 可得 设P（2，p），再利用勾股定理表示 BP2＝， 再分两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；
（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴ 解得：
∴直线的解析式为：
∴
设P（2，p），
∴
BP2＝，

分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴
解得：
∴
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴
解得：
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
51．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点F3,a是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x+5
(2)1258
(3)D的坐标为0,−1或0,−103
(4)M1117,0，N0,115
【分析】（1）把A−1,0，B5,0分别代入y=ax2+bx+5，利用待定系数法求解；
（2）过点P作PH⊥OB交BC于点H，根据S△PBC=12OB⋅PH得到S△PBC关于点P的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；
（3）由∠OBC=∠OCB=45°可知：要使△BCD与△ABC相似，则有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，分别求解即可；
（4）作点E关于y轴的对称点E'，作点F3,a关于x轴的对称点F'，由轴对称的性质可得四边形EFMN的周长=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，可知当E'，F'，M，N在一条直线上时，四边形EFMN的周长取最小值，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N，由此可解．
【详解】（1）解：把A−1,0，B5,0分别代入y=ax2+bx+5得：
0=a−b+50=25a+5b+5 ，
解得a=−1b=4，
∴抛物线的表达式为y=−x2+4x+5．
（2）解：如图，过点P作PH⊥OB交BC于点H，

令x=0，得y=5，
∴C0,5，
∴设直线BC的表达式为：y=kx+b，
将C0,5，B5,0代入y=kx+b，
得5=b0=5k+b，
解得k=−1b=5，
∴直线BC的表达式为y=−x+5，
设Pm,−m2+4m+5，则Hm,−m+5，
∴PH=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，
∴S△PBC=12OB⋅PH=12×5×−m2+5m=−52m−522+1258，
∴当m=52时，S△PBC取最大值，最大值为1258，
即△BPC面积的最大值为1258；
（3）解：如图，

∵C0,5，B5,0，A−1,0，
∴OC=OB=5，AB=5−−1=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=OC2+OB2=52，
要使△BCD与△ABC相似，
则有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，
①当ABBC=BCCD时，652=52CD，
解得CD=253，
则OD=CD−OC=103，
∴D0,−103；
② 当ABBC=CDBC时，CD=AB=6，
则OD=CD−OC=6−5=1，
∴D0,−1，
即D的坐标为0,−1或0,−103；
（4）解：y=−x2+4x+5=−x−22+9，
∵E为抛物线的顶点，
∴E2，9，
∵F3,a在抛物线上，
∴a=−32+4×3+5=8，
∴F3,8，
如图，作点E关于y轴的对称点E'−2，9，作点F关于x轴的对称点F'3,−8，

由轴对称的性质可知E'N=EN，F'M=FM，
∴四边形EFMN的周长=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，
∴当E'，F'，M，N在一条直线上时，四边形EFMN的周长取最小值，
因此，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N，
设直线E'F'的解析式为：y=mx+n，将E'−2，9，F'3,−8代入，
得9=−2m+n−8=3m+n，
∴m=−175n=115，
∴直线E'F'的解析式为：y=−175x+115，
当x=0时，y=115；
当y=−175x+115=0时，x=1117，
∴M1117,0，N0,115．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M和点N的位置．
52．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数y=ax2+bx+3a≠0的图像与y轴交于点C，与x轴交于点A1,0、B92,0．
(1)求a、b的值；
(2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠PAB=∠OCA，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿x轴正方向以每秒613个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值．
【答案】(1)a=23,b=−113
(2)P5,43
(3)6
【分析】（1）把A1,0、B92,0代入数y=ax2+bx+3即可得出结果；
（2）先得出tan∠PAB=13，设Px,23x2−113x+3(0