专题07 二次函数中特殊四边形存在性 (五大题型)90题专练 (教师版)-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题07 二次函数中特殊四边形存在性 (五大题型)90题专练 (教师版)-2025年中考数学压轴训练，共253页。试卷主要包含了平移坐标法，5个单位长度得到，等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
题型一：平行四边形的存在性
解题策略：
1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算
（适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴）
2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等
（适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图）
3.平移坐标法
利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。
（适用于：直接写出答案的题）
题型二：菱形存在性
由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。
题型三：矩形存在性
由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。
题型四：正方形存在性
由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。
题型五：梯形存在性
解梯形的存在性问题一般分三步：
第一步分类，第二步画图，第三步计算．
一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．
因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．
题型一：平行四边形的存在性
1．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；
(3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)则点P的坐标为：）或
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解；
（3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，，
∴，
∴，
∴，，，
设抛物线的表达式为：，
∴，
∴，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，
∴对称轴为，
∴点关于抛物线对称轴得对称点为点，
∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小，
已知，，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
则点；
（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，
∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∴当时，，即；
当时，，即
∴点的坐标为：）或．
2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)存在．的最大值为；
(3)点坐标为或或，．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
当，，解得，则，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值为；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
，
当时，则，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点坐标为或；
当时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，
设，则，
把代入得，解得，，
此时点坐标为，，
综上所述，点坐标为或或，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．
3．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；
（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
；
（2）解：由，可得直线解析式为，
设，则，
，
，要使四边形恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
；
（3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：
是的中点，点，
点，
由（2）知，
直线的表达式为，
，
在直线上，，，
过点作轴于点，过作轴于，如图：
，故，
，
，
直线和直线关于直线对称，
，，
，
由点，可得直线的表达式为，
联立，
解得或，
点的坐标为，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
与相似，点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
当时，有，
，
解得或（在右侧，舍去），
；
当时，，
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；
(2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点坐标为，，，
【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵过点，
∴，解得，
∴一次函数表达式为：；
∵点在上，
∴，即，
∵点在上，
∴，解得，
∴二次函数表达式为：；
（2）解：∵点在轴上，且在上，
∴，即，
如图所示：
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设，，则有，
或，解得或，
是直线上的点，
∴点坐标为，，，．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．
5．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若直线与抛物线的对称轴交于点，点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点的坐标为：，或，或．
【分析】本题考查了二次函数综合运用，平行四边形的性质、中点坐标公式等；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：（1）的坐标为，，则点，
，则点，
设抛物线的表达式为：，
则，
∵，
∴，
∴，
则；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
由点、的坐标得，
设直线的表达式为，
∴
解得：
∴直线的表达式为：，
设点，点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
则点，或，；
当为对角线时，同理可得：
，解得：（舍去）或2，
则点，
综上，点的坐标为：，或，或．
6．（2024·甘肃武威·一模）如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的坐标为时，求的面积；
(3)过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】（1）把和代入抛物线，求出和的值即可解决问题；
（2）连接, 把 代入得到点的坐标，根据即可求出结果；
（3）求出直线的表达式，作轴, 交于点, 设 ，得到的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求出点的坐标;
【详解】（1）解：∵抛物线 交轴于点和点, 交轴于点,
，解得 ，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）连接,
由抛物线的解析式为，
代入，得 ，解得 ，
∴点的坐标为,
，
，
，
得，，
得 ；
（3）设直线的表达式为，代入，
，解得 ，
，
作轴, 交于点,
设
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
，
解得 ，
，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，平行四边形的存在性问题，本题的关键是理解平行四边形的性质.
7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)满足条件的点的坐标为或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质；
（1）将点，代入抛物线表达式，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据二次函数平移的规律得出，进而求得点，设，，根据题意得出，即可求解．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线表达式，
得解得
该抛物线的表达式为．
（2），
抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入：得，
解得，
．
是原抛物线对称轴上一动点，点在新抛物线上，
设，．
当为平行四边形的一边时，
且．
由题可知．
．
即，解得或．
点的坐标为或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
8．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线与直线交于点E，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或．
(3)最大值，D的坐标为
【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解；
（3）过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，证明，得到，即，即可求解．
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
把，代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
设，，
分三种情况考虑：
①当与为对角线时，由，，
得：，
解得：（舍去），
∴；
②当与为对角线时，
得：，
解得：（舍去），
∴；
③当与为对角线时，
得：，
解得：，，
∴或；
综上，存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或．
（3）∵抛物线对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，
此时点D的坐标为．
9．（2024·山西大同·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．作直线，是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式．
(2)当点P在直线下方时，连接，，．当时，求点P的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；直线的函数表达式为，
(2)
(3)存在，点的坐标为()，()，
【分析】本题考查了二次函数综合运用；待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形问题；
（1）待定系数法求得抛物线解析式，进而得出的坐标，待定系数法求直线的解析式，即可求解；
（2）过点作于点，则四边形为矩形，根据得出，进而表示出，解方程，即可求解．
（3）先求得抛物线对称轴，设)，当为对角线时，当为对角线时, 当为对角线时,根据中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）解：把，分别代入得
解得
抛物线的函数表达式为
当时，，则
设直线的解析式为，将点代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为，
（2）如图过点作轴于点，交于，过点作于点，则四边形为矩形
设则 ，
解得(舍弃)，
（3）存在，点的坐标为()或()或()
由题知，抛物线抛物线的对称轴，
把代入，的
)
设)
分以下三种情况讨论：
当为对角线时，， ，解得
)
当为对角线时，，，解得
)
当为对角线时，，，解得
综上所述，点的坐标为()，()，．
10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）对称轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：
∴顶点，
设直线的解析式为，
则：
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵点是抛物线上一动点，
∴设，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
当为对角线时，的中点重合，
解得：，
∴；
综上所述，对称轴上存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
11．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）先求，结合求出的点P、E、F坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m的方程，解方程即可解决．
【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，
当，代入，得，
，
抛物线表达式为，
抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；
（2）解：抛物线：，
当时，，即与y轴交点为，
抛物线：的“轮换抛物线”为，
抛物线表达式为，
同理抛物线与y轴交点为，
抛物线对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的对称轴与直线交点，
点在点的上方，
，
解得：，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得：，
；
（3）解：点在抛物线上，
当时，，即，
点坐标为，，，，
，，
，
，
，
，
解得：．
12．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为
(3)能，
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值；
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2）在抛物线上
∴设
在第一象限

∴当时，有最大值为
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为
由（2）知
设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．

①当以为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线上
的坐标为
②当以为对角线时
同理可得，即
则
的坐标为
③当以为对角线时
，即
则
的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；
（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
设直线，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴；
作点关于轴的对称点，连接，
则：，，
∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，
∴，
即：的最小值为：；
（3）解：存在；
∵，
∴对称轴为直线，
设，，
当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：
①为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
②当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
③当为对角线时：，

∴，
当时，，
∴，
∴；
综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
15．（2024·山西晋城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)的面积最大值为9，此时点P的坐标为
(3)或或
【分析】
（1）根据二次函数解析式分别求出自变量和函数值为0时自变量或函数值即可求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）过点P作轴交于D，设，则，则，根据，可得，则当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为
（3）设，，再分当为对角线时， 当为对角线时， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可。
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴；
在中，当时，解得或，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于D，
设，则，
∴，
∵
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
设，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得，
∴点Q的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得，
∴点Q的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，
解得，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或．
16．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
17．（2024·山西晋城·一模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且.
(1)求，，三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或
【分析】（1）由，得，解得，.可得点，的坐标，由，得.可得点的坐标；
（2）过点作轴交于，由平行线分线段成比例性质得，再求得直线的解析式为，再设直线的解析式为，用待定系数法求解即可；
（3）分为为对角线时；为对角线时；为对角线时三种情况分类讨论，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）由，得，
解得，
点，的坐标分别为，
由，得
∴点的坐标为；
（2）过点作轴交于
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得
∴直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
解，得
∴直线的解析式为；
（3）在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形
∵抛物线与轴交于点，点，
∴对称轴为直线.
由（2）可得，当时，
由（1）可知，，；
①当为对角线时，
将点向下平移1个单位，再向左平移3个单位长度，
即可得到点，此时点的坐标为
②当为对角线时，
将点向下平移3个单位，再向右平移1个单位长度，即可得到点，
③当是对角线时，
将点向上平移一个单位，再向右平移3个单位长度，
即可得到点，点Q为
综上所述，在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
18．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；
(2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；
(3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点的坐标的或
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点的坐标，然后根据当时，得，解方程求出的值即可；根据，坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，证明得，设，，得到，求解即可；
（3）确定直线的解析式为，确定，设，，然后分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的边；③若为平行四边形的边，分别建立一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴，
当时，得：，
解得：，，
∴，，
当时，得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，，
∴点的坐标的或；

（3）∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于，两点，
∴，
解得：，，
∴，
设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，，
①若为平行四边形的对角线，则：
，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
②若为平行四边形的边，
∴，
∵轴，
∴轴，
则：，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
③若为平行四边形的边，
∴，
∵轴，
∴轴，
则：，得：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，，
此时点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
19．（2024·山东泰安·一模）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．

(1)求，，三点的坐标；
(2)如图2，当点在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将代入，求出点坐标，将代入，求出点，点坐标，即可求解，
（2）过点作直线，根据，，得到直线表达式，设直线的表达式为：，与抛物线联立，得到，当的面积最大时，点与抛物线只有一个交点，
此时，，代入，即可求解，
（3）设，，分、、分别为对角线三种情况讨论，根据中点坐标公式，即可求解，
本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，解得：，，
∴，，
（2）解：过点作直线，

∵，，
设直线表达式为： ，则：，解得：，
∴直线表达式为：，
∵，
∴设直线的表达式为：，
与抛物线联立，，得：，整理得：，
当的面积最大时，点与抛物线只有一个交点，
此时，，
当时，，
∴，
故答案为：，
（3）解：，，
设，，
当是对角线时，，解得：或，
∴或
当是对角线时，，解得： 或（舍），
∴，
当是对角线时，，解得： 或（舍），
∴，
故答案为：或或或．
20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
【答案】(1)
(2)线段最大值为，点P的坐标为
(3)满足条件的点M的坐标有或或
【分析】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解；
（2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值；
（3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴函数的表达式为：，
把代入得：，
解得：，
故该抛物线得表达式为；
（2）解：延长交于点H，如图，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：∵，
∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵N是原抛物线对称轴上一动点，
∴设，
∵点M在新抛物线上，
∴设，
①当为边时，
点向右平移4个单位得到点，
∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点，
∴或，
解得：或6，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标为或；
②当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
当时，，
∴点M的坐标为；
综上，满足条件的点M的坐标有或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
21．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值；
（3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
∴，
∴；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t，
令抛物线解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐标为，
设直线AB的解析式为，
将，代入，得
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴
，
∴当时，有最大值，
∴面积的最大值为；
（3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
22．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；
（3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下．
由题意，，
∴，．
当时，点P在x轴的上方，
∵，
∴点E为线段的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在；
当时，点P在x轴的下方，点E在射线上，
如图，设线段的中点为R，

∴，，
∴．
∵，
∴M为的中点，
∴，，
∴，
代入整理得，，
解得（不合题意，舍去），．
综上可知，存在或，使．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．
23．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解；
②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点，
设点，
则点，
①由点的坐标得，直线的表达式为：，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：，
解得：，
则点的坐标为：；
②存在，理由：
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：(不合题意的值已舍去)；
当或角线时，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
综上，．
24．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)5
(3)最大值为，.
(4)存在，或或
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点M、N的坐标，然后利用求出面积即可；
（3）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；
（4）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．
【详解】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
（2）∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.
连接BN.
则；
（3）设点M的坐标是，则点.
∴，.
∴.
∴当时，有最大值，
这时点.
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.
设点，.
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，这时点.
②当是对角线时，，解得：，这时点.
③当是对角线时，，解得：，这时点.
综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
25．（2024·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时，点坐标为
(3)点坐标为或或
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设直线解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，，
∴
，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点坐标为．
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵，点与点P关于抛物线的对称轴l对称，
∴，即点与点重合，
设，，
∵以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴对角线的中点的坐标相同，
如图，
①当、为对角线时，，
解得：，
∴．
②当、为对角线时，，
解得：，
∴．
③当、为对角线时，，
解得：，
∴．
综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、三角函数的定义等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式．
26．（2024·甘肃天水·一模）抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线、直线的函数解析式；
(2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．
(3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为
(2)存在使得的面积达到最大，最大值为8
(3)存在这样的点E，坐标为或或
【分析】（1）先将、代入抛物线，即可求出抛物线解析式，求出B点坐标，设直线的函数解析式为，再将点B，点C的坐标代入求解即可；
（2）过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，根据的面积为，利用二次函数的性质即可求解；
（3）设，，根据平行四边形的定义分为对角线时，为对角线时，和为对角线时，三种情况求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线，得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
令，则，
解得：或，
，
，
设直线的函数解析式为，
将点B，点C的坐标代入得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，

设点，则，
，
，
的面积为，则，
，
当时，的面积最大，最大值为8，
此时；
（3）解：存在，求解过程如下：
设，，
由平行四边形的定义分以下2种情况：
①如图，当为对角线时，
F点在x 轴上，
，，
，
则，
解得或（舍去），
，
②如图，当为对角线时，
则，即，
解得或，
点的坐标为或，
③如图，当为对角线时，
∵F点在x 轴上，
∴，，
∴，
则，即，
解得或（舍去），
，
综上，存在这样的点E，坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分3种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．
27．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，在轴下方作轴的平行线，交二次函数图象于两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为4或6或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．
（1）设出顶点式，将原点坐标代入求解即可；
（2）设，对称性得到，根据邻边相等的矩形是正方形，得到，列出方程求解即可；
（3）分，，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：拋物线的顶点为，
设，
将代入得：，解得：，
，即；
（2）设，则，
对称轴为直线
∴，
∴，
由题意，得：四边形为矩形，
∴当时，矩形为正方形，
∴
解得：（舍），
把代入得，
当矩形为正方形时，，
（3）由（2）可知：．
设直线的解析式为，
将代入，得：
解的：，
直线的解析式为．
联立，解得，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为．
以四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，
，分三种情况考虑：
①当时，如图所示，，
．
，解得：（舍去），；
②当时，，
，解得：（舍去），；
③，
如图所示，
，

解得（舍去），，
综上所述，当以四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或6或．
28．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为1；
(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【分析】
（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
【详解】（1）
解：把代入得；
故的值为1；
（2）
解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
【点睛】
本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．
29．（2024·山西阳泉·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．过点作直线轴，连接，过点作，交直线于点，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
(2)如图，点为抛物线上第二象限内的点，设点的横坐标为，连接与交于点，当点为线段的中点时，求；
(3)若点为轴上一个动点，点为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解；
（3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）解：由题意得即轴，
∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为,
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
30．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
备用图
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．
(3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点P的坐标为，的面积最大值为；
(3)存在，N点坐标为或或．
【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题；
（2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值；
（3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题．
【详解】（1）解：将点，代入中，
有，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，过点P作轴，交于点Q，
设直线的解析式为，把，代入，
可得，解得，
直线的解析式为，
设点，则点，
点P在直线的下方，
，
，
当时，有最大值，最大值为4，
此时点P的坐标为，
的面积最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点，
设N点坐标为，P点坐标为，
以点B，C，P，N为顶点的平行四边形：
①当，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为；
②当，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为；
③以，为对角线时，
，且，解得，，
此时N点坐标为．
综上，N点坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
31．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标；
(3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据抛物线与轴交于、两点，可设抛物线解析式为，知，代入得到完整解析式即可；
（2）作，交延长线于点，交轴于点，根据相似三角形的判定证明，设，得出数据代入中求解，得到点的坐标即可；
（3）根据抛物线的解析式为，设，结合已知，，分“以为对角线”、“以为对角线”和“以为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平行四边形顶点的相对位置，用含式子表示出点的坐标，求出完整坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴设抛物线解析式为，，
∴抛物线解析式为，即；
（2）解：如图，作，交延长线于点，交轴于点，
∵，，抛物线表达式为，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴数据代入中，得：，
解得：（舍去），，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：存在；
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设，
∵抛物线解析式中，
∴，
当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，，，
∴，，则，
把代入，得：，
∴；
当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，，，
∴，，则，
把代入，得：，
∴；
当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，
∵，，，
∴，，则，
把代入，得：，
∴．
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．
32．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)点P的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线的解析式为，待定系数法求出解析式，得到，根据的面积为求解即可；
（3）根据题意分三种情况讨论，①当，时，②当，时，③当，时，作于点，结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题知，抛物线过点，，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：，D为抛物线的顶点，
，
设直线的解析式为，
抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），
又抛物线对称轴为，
，
将代入中，有，解得，
直线的解析式为，
作轴，交于点，连接，，

有，
，
的面积为：；
（3）解：存在，

①当，时，
，
的坐标为；
②当，时，
，
的坐标为；
③当，时，作于点，
有，，
，
，，
，
的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．
33．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，，
(4)存在，定点，的值为
【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案；
（2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；
（3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案；
（4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可．
【详解】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：．
（2）∵抛物线的表达式为：，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：
∴直线的解析式为，
设其中，则，
∴
∵，，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∴的周长
，
∴当时，的周长有最大值，．
（3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，，
设点坐标为，点Q坐标为，
①当为对角线时，，
解得：，
∴，
②当为对角线时，，
解得：，
∴，
③当为对角线时，，
解得：，
解得：，
综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，．
（4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即，
设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则，
联立新抛物线与直线的解析式得：
∴，
∴，，
，
同理，，
，
∵为定值，
∴，
解得：，
当时，，
∴定点的值为4．
【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键
34．（2024·山西朔州·二模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，当时，有最大值为
(3)存在，点M的坐标为，或
【分析】（1）将，代入得：，求解即可得出抛物线解析式，从而得出点的坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴的平行线交于，，求出得出，从而得到当取得最大值时，取得最大值，设点，则，则，求出的最大值即可；
（3）求出点的横坐标为，设点，分三种情况：当为对角线时；当为边，平行四边形为时；当为边，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：，
解得：，
二次函数的解析式为：；
在中，当时，，
，
点D与点C关于x轴对称，
，
设直线的表达式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：存在，
如图，过点作轴的平行线交于，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
当取得最大值时，取得最大值，
设点，则，
，
，
当时，取得最大值为，
的最大值为；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
由（2）可得，点，
设点，
点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，，
当为对角线时，则，
解得：，此时，即；
当为边，平行四边形为时，，
解得：，此时，即；
当为边，平行四边形为时，，
解得：，此时，即；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
35．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点．
【答案】(1)直线,
(2)
(3)见解析
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解；
（2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解；
（3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线
∵，
∴
令，则
∴
∵的面积为6．
∴，
解得：
∴，
将代入得：，
解得：，
∴
（2）解：∵，
∴
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴且
∴，即：
∵顶点Q在原抛物线上，
∴，
解得：
∴
∴平移后抛物线的表达式为：
（3）解：设，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线过定点
∴
得：
∵直线 过N点，
∴，，
∴
令，
解得：
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴直线必过定点
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
36．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)C的坐标是；
(3)P的坐标为或或．
【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式为；
（2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是；
（3）分三种情况，一是；当时，过点C作轴于点L，作交的延长线于点H，则，证，设，则，于是得，求得，则；二是，可证明，则，得，．
三是，设交于点J，则，由平行四边形的性质得，，所以，则．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∵四边形是平行四边形，
，
∴点C的横坐标为，
抛物线，
当时，，
∴点C的坐标是．
（3）解：存在点P，使是直角三角形，

①当时，
作交的延长线于点H，则，，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L．
，
，，
，
，
，
，
，
．
③当时，
设交于点J，作轴于点L，
，，，
，
轴，，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，，
， ；
综上所述，存在点P，使是直角三角形，
点P的坐标为或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
37．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．
（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴①，
将点代入得，
∴②，
联立①②得，，
∴解析式为；
（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，
则，
∴
解得：或（舍去），
（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，
∵，
∴，
由对称性可知，，
∴，
∴
解得：
∴点的坐标为或
如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
38．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)定值，理由见详解
【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．
39．（2024·四川广元·二模）如图，已知直线：交 x轴于点B，交y轴于点C，抛物线的图象过点 B，C，且与x轴交于另一点A（点 A 在点 B 的左侧）．在直线 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作轴，垂足为 F，交 于点M，连接，，，交于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求点 P 的坐标．
(3)连接，，已知点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点 Q，使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出A点坐标，过点 A 作轴，交于点H，得到，得到：，再求出，设则，求出，得到，即可得到P点坐标．
（3）利用二次函数的性质先表示出P的坐标，最后再分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】（1）解∶直线的解析式为，
，．
将点 ，代入得

解得 ，
抛物线的解析式为：．
（2）（2）令，
解得：

如图 1，过点 A 作轴，交于点H．
．
．

将代入中，得．
．
设则，
，
，
，
，
，
当时， ，
故当时，点 P 的坐标为．
（3）（3）存在，，， ，
由（1）易得该抛物线的对称轴为直线 ，
设
由图可得，
当时，有最大值1，此时．
①如图2，当为平行四边形的边时，．
，点 D 在直线 上，
∴线段 是由线段向左平移 个单位长度或向右平移个单位长度，再上下平移得到的．
当点 A 向左平移个单位长度时，点 Q 的横坐标则，
，
当点M向右平移 个单位长度时，点 Q 的横坐标，则，
，
②如图 3，当为对角线时，互相平分．
设
，
则，
综上，存在或或使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形．
40．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值；
(3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的横坐标为或或或
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于、的方程组，求解即可；
（2）证明，得到，设，求出点，，得到点，则，即可求解；
（3）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，
∵抛物线的解析式为，，
当时，得，
∴，
∴轴，即轴，
过点作于点，过点作轴于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，轴，
∴，
在中，， ，
∴
，
∴当时，的最小值为；
（3）∵抛物线交轴于、两点，
当时，得，
解得：或，
∴，，
设，则
，
，
∵、、、构成的四边形是矩形，
∴是直角三角形，
①若是斜边，则，
∴，
解得：，，（舍去），（舍去），
此时点的横坐标为或；
②若是斜边，则，
∴，
解得：或（舍去），
此时点的横坐标是；
③若是斜边，则，
∴，
解得：或（舍去），
此时点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合运用，考查了待定系数法确定解析式，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，勾股定理，一元二次方程的应用等知识点，正确理解题意并分类求解是解题的关键．
题型二：菱形存在性
1．（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为；
(2)的坐标为)或 或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可；
本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
∴点，则，
∴，
∴点，
∵抛物线过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）由（）得
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，如图，
当为菱形的边时，则或，
∴或，即或（无解），
解得，
∴点的坐标为)或 ；
当为菱形的对角线时，则，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为，
综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或．
2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．
(1) ， ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或
【分析】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答．
（2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答．
（3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点，
∴把代入
得
解得
∴
故答案为：；
（2）解：∵轴
∴
∴
∵是直角三角形
∴当时，
∴
∴
∵对称轴
∴
此时点P的坐标为
∴当时，
设的解析式为
∴把代入
∴得
解得
∴
设点
则
∵
∴
∴
∵
∴
则
即
解得（此时点E和点C重合，故舍去）
∴点
综上或
（3）解：存在，或
如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为
设点，
∵四边形为菱形
∴
即
则
由（2）知，此时
∴
∴
即如下图所示：
如图：依题意，当四边形为菱形时
∵点，
∴
即
∵
∴
∴解得，（舍去）
∴
∴
综上或
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键．
3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线 与y轴交于点，点B 是抛物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接， 求点 D 的坐标．
(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 在坐标平面内，且以点A，D，M，P为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出顶点坐标和点坐标，进而得到，推出点为直线与抛物线的交点，进行求解即可；
（3）设，分，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴交于点，直线 是抛线物的对称轴，
∴，解得：，
∴；
（2）解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
连接，则：，
∵
∴点是直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
联立，解得：或，
∴；
（3）解：设，
∵，，
∴，，，
∵点A，D，M，P为顶点的四边形是以为边的菱形，
∴分两种情况：
①当时，则：，
解得：或（舍去）；
∴；
当时，则：，
解得：或（舍去），
∴；
综上：或．

4．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点为或或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解；
（3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴,
，，
①当为对角线时，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，

∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，

点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键．
5．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案；
（2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案；
（3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，
矩形的“梦之点”满足，，
点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
（2）点是抛物线上的“梦之点”，
，
解得：，，
当时，，当时，，
，，
，
顶点，
，，，
，
是直角三角形．
（3）由（2）可得，，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
以为对角线，以为顶点的四边形是菱形，
，
点、在直线上，
点在二次函数上，
联立，
解得：，，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
6．（23-24九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点D，与直线交于点F，交x轴交于点E．当取得最大值时，求m的值和的最大值；
(3)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．
【答案】(1)
(2)，的最大值为
(3)或或或
【分析】（1）根据点和，利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，求出点的坐标，从而可得，然后根据二次函数的性质求解即可得；
（3）先求出点，再设点的坐标为，然后分三种情况：①当为菱形的对角线，时；②当为菱形的对角线，时；③当为菱形的对角线，时，根据菱形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点和代入得：，
解得，
则抛物线的函数解析式为．
（2）解：由题意可知，点的坐标为，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为．
（3）解：，
则此二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
可设点的坐标为，
，，，
①如图1，当为菱形的对角线，时，
，即，
解得，
或，
由菱形的性质可知，，
，
∴当点的坐标为时，，
当点的坐标为时，；
②如图2，当为菱形的对角线，时，
，即，
解得或（此时点与点重合，舍去），
，
设此时点的坐标为，
∵菱形的对角线互相平分，
∴，解，
∴此时点的坐标为；
③如图3，当为菱形的对角线，时，
，即，
解得，
，，
由菱形的性质可知，，
，
，即，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、菱形的性质等知识，本题的关键在于利用分类讨论思想解决问题．
7．（2023·四川广安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上位于直线上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为
(2)点P的坐标为
(3)点N的坐标为或或
【分析】（1）设抛物线的函数解析式为，利代入点C的坐标即可求出函数解析式；
（2）先求出直线的函数解析式为和抛物线的对称轴为．设，则，，得到．进一步即可求出答案；
（3）求出点．设．求出，，．设．分三种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴可设抛物线的函数解析式为．
∵抛物线与y轴交于点，则，
解得．
∴抛物线的函数解析式为．
（2）设直线的解析式为，把点，代入得，
，
解得
∴直线的函数解析式为．
由，可得抛物线的对称轴为直线．
设，则，，
∴，，
∴．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
此时点P的坐标为．
（3）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴平移后的抛物线与x轴交于，两点，即点．
∵M为平移前抛物线对称轴上一点，平移前抛物线的对称轴为直线，
∴设．
∵，
∴，，．
设．
①如图1，当为对角线时，，
∴，解得或，
∴点M的坐标为或．
∵，，
∴的中点的坐标为或，
即的中点的坐标为或，
∴，，或，，
解得，，或，，
∴点N的坐标为或；
②当为对角线时，，
∴，此方程无解．故此种情况不存在；
③如图2，当PH为对角线时，，

∴，解得，即．
∵，，
∴的中点的坐标为，
同理可得，，，解得，，
∴点N的坐标为．
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法、勾股定理、二次函数的图象和性质、菱形的性质、一元二次方程的解法等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
8．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)S最大为12.5，
(3)存在，，
【分析】
（1）首先求出点，点，然后利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）先求出点，再作轴于E，连接，依题意设点D的坐标为，则，则，，，分别求出，，，然后根据列出S与m的函数关系式，根据S有最大值求出m，进而可得点D的坐标；
（3）设点，直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，先由勾股定理求出，，再根据可求出t，进而可得点P的坐标，然后根据点K为的中点求出k的坐标，进而根据K为的中点可求出点Q的坐标．
【详解】（1）
解：对于，当时，，当时，，
点A的坐标为，点C的坐标为，
对称轴是直线：，
有：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）
解：对于，当时，，解得：，，
点B的坐标为，
又点，点，
，，
作轴于E，
点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m
点D的坐标为，则，
，，
，
轴，则四边形为直角梯形，
，
又，，
，
即，
又，
，
当时，S为最大，
此时
点D的坐标为
（3）
解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
点P在抛物线的对称轴上，
可设点P的坐标为：，
以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，与互相垂直平分，
设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，
点，，
，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：
，解得：，
点P的坐标为，
设点K的坐标为，
点K为的中点，
，，
设点Q的坐标为，
点K为的中点，
，，
解得：，，
点Q的坐标为
【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，对称轴，菱形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，以及求二次函数最值、对称轴的方法，理解菱形的四条边都相等，对角线互相平分．
9．（2024·山东济南·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据题意求得的最大值，再根据相似三角形的性质求得，进而可求解；
（3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 交轴于点， 两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：
（2）解：令，
∴，则，
∵，，则，
设直线的表达式为 ，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为 ，
设，则
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，此时；
∵，
∴的周长为，
∵轴，
∴， ，
∴
∴，即
∴周长的最大值为，此时；
（3）解：∵，，
∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为，
设，，，
∴
当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点N坐标为；
当或为对角线时，或，
则或，
解得或
∴点N坐标为或，
综上，满足题意的N点坐标为或或．
10．（2024·湖南·一模）如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A．
(1)如图1，求直线的函数解析式；
(2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值；
(3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可以，点D坐标为或
【分析】（1）将代入可求出，化成顶点式求出，由待定系数法，即可求解；
（2）过作交于，过作交于，由勾股定理得可求出的长，由正弦函数得， 求出及三角函数值，设，由勾股定理得，由三角形面积可求出的坐标，从而可求的坐标，而，当、、三点共线时取得最小值，即可求解；
（3）设，由勾股定理求得，即，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得：，
，
，
设直线的函数解析式为，
则有，
解得：，
故直线的函数解析式为；
（2）解：如图，过作交于，过作交于，
当时，，
，
，
，
，
∴，
设，
，
∵，
∴
整理得：，
解得：，(舍去)，
，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
，
，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，如图，
；
故的最小值为；
（3）解：可以，理由如下：

顶点由A平移到，点B在直线上，
，
，
四边形是菱形，
，
设，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，，
当时，
，
当时，
，
D点坐标或．
【点睛】本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与特殊三角形综合，二次函数与特殊四边形综合，垂线段最短等，能将最值转化为垂线段最短，并将动点问题转化成方程求解是解题的关键．
11．（2023·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)或或或或
．
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据与的关系列出关于t的方程，解方程可求出t的值，即可求出点E的坐标；
（3）分两种情况：①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，解得，，
∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
（3）∵抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴，
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴， ，，
①当为菱形的边时，，即，，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的对角线时，，即，
∴，
解得，
∴；
③当，即，
∴，
∴或，
∴或；
综上所述，M的坐标为或或或或
【点睛】本题是二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理及菱形的判断和性质，两点间的距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
12．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标；
(3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）将、两个点的坐标代入关系式，求出，的值即可得出答案；
（2）先根据点的坐标求出直线的解析式，即可表示点的坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，再证明，可得，，然后表示出点，最后将点代入直线解析式，求出答案即可；
（3）先将关系式配方得出点的坐标，再分两种情况讨论：当为菱形的边时，作，再求出，即可求出点的坐标；当为菱形的对角线时，作，可知，，再设，表示，在中，根据勾股定理求出的值， 可得点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2）由（1）得，点，
设直线的解析式为：，
直线经过点，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图①所示，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
，
．
，，
，
在和中，
，
，
，．
，
点在直线上，
，
解得：，
把代入中得，
当时，点的坐标为；
（3）存在．
，
点的坐标为．
分两种情况讨论：
当为菱形的边时，如图所示②：过作于．
， ，
，
，
点的坐标为或；
当为菱形的对角线时，如图所示③：过点作于．
由题意可知，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
点的纵坐标为，
此时点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数、二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理等．
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】（1）将A代入即可求解；
（2）根据解析式确定抛物线必过定点和，，分为①当时，②当时，两种情况分别画图求解即可；
（3）求出直线的解析式，设P，Q，分为①，②，两种情况分别求解即可；
【详解】（1）解：将代入，
解得，
；
（2），
当或者时，，
无论a为何值，抛物线必过定点和，
点M和点C重合，
，
①当时，如图1，为等腰直角三角形，
，
②当时，如图2，为等腰直角三角形，
；
图1 图2
（3）直线的解析式为，过点A，C，
求得直线的解析式为，
设P，Q，
M，H1，
①如图3，，
，
解得，
P1，
根据菱形性质，可以得出Q1，
②如图4，，
，
解得，
P2，
根据菱形性质，可以得出Q2，
综上所述：点Q的坐标为或．
图3 图4
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的判定与性质等知识解题的关键是用含字母的代数式便是相关点的坐标和相关线段的长度及方程思想的应用．
14．（2024·山东枣庄·一模）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）待定系数法结合二次函数的对称轴公式进行求解即可；
（2）设，可得的长，利用分割法将四边形的面积转化为二次函数求最值即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
又抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∵，当时，，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
把，代入，得：，
∴直线的解析式为，
设点，则：，，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∴当时，四边形面积最大为，此时点．
（3）存在：设点，则：，，
∵，
∴，，，
∵轴，
∵轴，
∴，
∴为菱形的边，
当时，则：，
解得：（不合题意，舍去），或，
∵
∴
∴或
∴或；
当时，则：，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，菱形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
15．（2024·甘肃天水·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积最大值为，此时
(3)的坐标为或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，四边形面积，菱形的性质．
（1）由抛物线对称轴是，点的坐标为，得，再用两点式即可；
（2）连接，设，则，由再结合二次函数的性质即可；
（3）由，得直线解析式为，当为顶点的四边形是菱形时，是一组对边，分两种情况，①当为对角线时，②当为对角线时，分别列出方程组解出未知数即可．
【详解】（1）解：抛物线对称轴是，点的坐标为，
，
二次函数的解析式；
（2）如图，连接，
设，则，
在中，令，得，
，
，
，
，
当时，面积取最大值，此时；
（3）在轴上存在点，使以为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
当为顶点的四边形是菱形时，是一组对边，
①当为对角线时，的中点重合，且，
，
解得（舍去，此时与重合）或，
，
②当为对角线时，的中点重合，且，
，
解得（舍去）或或，
或．
综上，的坐标为或或．
16．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴；
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴；
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：直线，
设，，
∵，
则，
，
，
∵以为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
当以为对角线时，则，如图1，

∴，
解得：，
∴或
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
当时，
∴，
解得：，
∴
当时，
∴，
解得：，
∴
以为对角线时，则，如图2，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与中点重合，
∴，
解得：，
∴；
当以为对角线时，则，如图3，

∴，
解得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，即与的中点重合，
∴，
解得：
∴，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
17．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值为，此时
(3)或或
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可；
（2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，

∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)点的坐标为，四边形的面积的最大值为
【分析】（1）将，代入，可得关于，的二元一次方程，求解可得抛物线的解析式；
（2）设，则，由菱形的性质可知垂直平分，求出的中点坐标为，则，求出即可得出点的坐标；
（3）过点作轴交于点，交轴于点，求出点坐标，则，设，则，则可求，所以，当时，四边形的面积最大．
【详解】（1）解：∵，在二次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）存在点，使四边形为菱形，理由如下：
设，则，交于，
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴的中点坐标为，
∴，
解得：，（负值不合题意，舍去），
∴点的坐标为；
（3）过点作轴交于点，交轴于点，
∴轴，
∵二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，
当时，得，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时P点的坐标为，
∴当点的坐标为时，四边形的面积的最大值为．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法确定二次函数的解析式和一次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，中点坐标，二次函数的最值，三角形和四边形的面积等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的对称性，及三角形面积的计算是解题的关键．
19．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点G的坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；
（3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得．
∴抛物线的表达式为：．
（2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．

∵
，
∴．
令中，则，
解得或，
∴，
设直线为，
∵过点，，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：．
设，，
∴
．
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
方法二：
如下图，

抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，
设，
∴，
∴
．
∵，
∴．
整理得，解得．
∴．
（3）解：存在，点的坐标为或．
如下图，连接，，

∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵，，，
∴，，点与点关于对称轴对称，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴即，，
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
如下图，连接，，，

同理可证：是等边三角形，是等边三角形，．
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴直线的表达式为：．
与抛物线表达式联立得．
∴点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
20．（2024·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接．当时，求点E的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直线与y轴的交点F向下平移个单位长度得到点P．
①连接，求的度数；
②将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与x轴交于点M．设点N为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为；顶点D的坐标为
(2)
(3)；所有满足条件的点N的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接，在上取一点G，使，连接，过点A作，交抛物线于点E，，此时点D到直线的距离等于点B到直线距离的倍，即，根据两点间距离公式先求出，从而求得直线的解析式和直线的解析式，联立即可求解；
（3）先求出点P的坐标，根据即可求解；分情况讨论：当为边时和当为对角线时，结合菱形的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为，
把代入得：，解得：
∴抛物线解析式为
∴顶点D的坐标为
（2）解：连接，在上取一点G，使，连接，过点A作，交抛物线于点E，
∴，此时点D到直线的距离等于点B到直线距离的倍，即
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴，解得：或（舍）
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
代入得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得或（舍）
当时，
∴；
（3）解：①∵直线的解析式为，
令，得，∴
∴将直线与y轴的交点F向下平移个单位长度得到点
∵
∴，
∴；
②由旋转的性质可得：，
当为边时，
设，
当时，是等边三角形，
∴，解得：，
∴或
∴，或
∴，，即，或，，，
解得：，或，
∴或；
当为对角线时，
当时，
∴，
∴，
∴
∴或；
综上所述：所有满足条件的点N的坐标为或或或
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，也考查了解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握图形的运动问题，正确的确定点的位置是关键；注意运用数形结合的思想，分类讨论的思想进行解题．
题型三：矩形存在性
1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，点的坐标为
(3)符合条件的点坐标为：或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，设，则，，得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点
解得
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得
∴直线的解析式为，

设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
又∵点在直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
当时，，
∴点的坐标为；
答：的最大值为，点的坐标为；
（3）解：，
则抛物线的顶点，对称轴为，
情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点，

∵四边形为矩形，
∴与纵坐标相同，
∴；
情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，
过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，

设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述：符合条件的点坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．
2．（22-23九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
【详解】（1）解：把和代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则，
∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则，
∴，，
∴，，
∴，
当时，，
∴；
（3）解：由题意可得：，
∴的对称轴为，
∴抛物线与y轴交于点C．
∴，
∵，
∴，，
当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示：
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，，即点，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到；
当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：

设的对称轴为与x轴交于F，
∵D在的对称轴为，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即点，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点；
综上分析可知，点E的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
【答案】（1）水池2面积的最大值是9；（2）水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或；（3）点P的横坐标为或或．
【分析】
（1）配成顶点式，即可求解；
（2）由题意得：，即可求解；
（3）分点P在直线上方，和点P在直线下方，两种情况讨论，证明，则，列式计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴水池2面积的最大值是9；
（2）由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组，
解得，，，
∴，，
∴水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是或，
（3）∵，
∴对称轴为直线，
设点，
当点P在直线上方，

过点和分别作对称轴直线的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
当点P在直线下方，

过点作对称轴直线的垂线，点和分别作的垂线，垂足分别为和，
同理，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
解得，．
不符题意，舍去．
∴，
∴点P的横坐标为或或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意义是解题的关键．
4．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．

(1)求此抛物线的解析式：
(2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？
(3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，，或，或或，
【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案；
（3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，
将，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
在中，令，得出，
解得：，，
，
，
，
如图，作轴交于，

设点，则，
，
，
，
，
当时，最大，为；
（3）解：，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
如图，当四边形为矩形时，

则，
设直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
四边形是矩形，
，
点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，
点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即；
如图，当四边形为矩形时，

则，
设直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
四边形是矩形，
，
点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，
点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即；
当为对角线时，设，，
四边形是矩形，
，
，
解得：或，
，或，；
综上所述，，或，或或，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【分析】（1）根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．
②根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．
③作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．
【详解】（1）根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线，
当时，，则，
当时，，则，
将点，代入抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）①轴交抛物线另一点为，
当时，，
，
矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
，，
整理得，
，，
，
；
②如图，

，，
，
，
，
由①可得，，
，的横坐标为，分别代入，，
，，
，
的中点坐标为，
点为线段的中点，
，
解得或（大于4，舍去）．
③如图，连接，过点作于点，

则，
，
，
设，则，，
将点代入，
得，
解得，
当，，
，
将代入，
解得，
或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质以及掌握复杂运算属于中考压轴题．
6．（2024·吉林四平·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图像．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当时，图像的最大值与最小值的差为，求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)的取值范围是或．
【分析】（）用待定系数法求函数的解析式即可；
（）根据的取值范围，结合图象分类讨论即可；
（）分两种情况：当时，点在点上方，结合图象求出，当 时，点在点上方，结合图象求出；
本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键．
【详解】（1）将，代入，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴，
当时，图象的最大值为，最小值为，
∴；
当 时，图象的最大值为，最小值为，，
综上可知：；
（3）∵轴，
∴ ，
当时，点在点上方，
∵，
∴，解得，
∵，
∴；
当时，点在点上方，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
综上所述：的取值范围是或．
7．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点，代入解析式即可求解；
（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；
（3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求．
【详解】（1）解：由题意得
解得，
故抛物线的表达式；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
点D的横坐标是，过点D作直线轴，
，，，
①如图，当时，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当时，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
综上所述：线段的长为或．
（3）解：设点，，
当四边形是矩形时，则为直角，
①当在对称轴的左侧时，
如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，
，
∵为直角，
则，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形邻边之比为，即或，
即和的相似比为或，
即，
由题意得：，，
∴，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当在对称轴的右侧时，

同理可得：，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键．
8．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)H点的坐标为或或或
【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值；
（3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
即，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，
，
是等腰直角三角形，，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
，
P是抛物线上位于直线上方的一个动点，点P作轴交于点D，
设，则，
，其中，
如图，延长交于点G，则，
由题意可得是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，取最大值，此时；
（3）解：平移后的函数解析式为，
将与联立，得，
解得两条抛物线交点M的坐标为，
如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
，，，
，
，
解得，
设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，
，
，
解得，即，
设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：
，
解得
；
如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设，
，
，
解得，，即，，
设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
设，由A，M，，四点的相对位置关系可得：
，
解得，
；
综上可知，H点的坐标为或或或
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
9．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴与轴于点，过点作交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)点为抛物线上第四象限的一个动点，过点作轴于点，当时，求的长；
(3)在（）的条件下，若点是轴上一点，则平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）令，得，从而得点坐标，当时，，解得或，从而即可求得、的坐标；
（2）设，由，构造方程．求得或（舍去），从而求得，再利用一次函数的性质求的点，利用勾股定理即可得解；
（3）分是矩形的边和是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图像及性质及平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：中，令，得，
∴点坐标为，
当时，，解得或，
∴，；
（2）解∶设，
∵，
∴，，
∵，
∴．
解得或（舍去），
当时，，
∴，
设直线：，
把，代入得，
，
解得，
∴直线：，
∵，
∴设：，
∵，
∴抛物线对称轴为，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在一点，使以为顶点的四边形是矩形．点的坐标为或．
（ⅰ）当是矩形的边时，有两种情形：
①如解图①，四边形是矩形时，直线与轴交于点，
由（）可知，代入中，得，
∴直线的表达式为．
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即
∴，
∴．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
∴，即；
②如解图②，四边形是矩形时，
∵直线的表达式为，，
∴设直线的表达式为，
将代入，得，
∴直线的表达式为．
令，得，
∴．
根据矩形的性质可知，将点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，
∴，即．
（ⅱ）当是对角线时，设，
∵，，
则，，，
∵是直角顶点，
∴，即
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数及一次函数的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键．
10．（2024·山西晋城·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求，，三点的坐标并直接写出直线的函数表达式；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，过点作轴，交抛物线于点，当平分时，求点坐标．
(3)若点是抛物线对称轴上的一点，点为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）分别令，，通过解一元二次方程即可得出，，三点的坐标，然后再利用待定系数法即可确定直线的函数表达式；
（2）如图，设直线交抛物线对称轴于点，直线交抛物线对称轴于点，交于点，得，，证明，得到，确定，继而确定，确定直线的解析式为，最后解联立方程即可；
（3）设，分三种情况：①当为矩形的对角线；②当为矩形的边；③当为矩形的边，分别讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，得，解得：，，
当时，得，
∴，，，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
综上，点，，的坐标分别为，，；直线的解析式为；
（2）如图，设直线交抛物线对称轴于点，直线交抛物线对称轴于点，交于点，
∵抛物线的解析式为，
∴该抛物线的对称轴为，
∵轴，，
∴，，
∴
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴，
∵直线：与直线：交于点，
当时，得：，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是第四象限内抛物线上一点，且在直线：上，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∵以点，，，为顶点的四边形为矩形，设，
①如图，当为矩形的对角线时，设对角线与交于点，
∴，点的坐标为，即，
∴，
解得：或，
此时点的坐标为或；
②如图，连接并延长交抛物线对称轴于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当为矩形的边时，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线：与抛物线对称轴：交于点，
当时，得：，
此时点的坐标为；
③如图，当为矩形的边时，设交抛物线对称轴于点，
∴，
设直线的解析式为，过点，
当时，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线：与抛物线对称轴：交于点，
当时，得：，
此时点的坐标为；
综上所述，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数图像与坐标轴交点坐标，确定一次函数表达式，二次函数与直线的交点坐标，两直线的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的的性质等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型四：正方形存在性
1．（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可；
（2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，，
．
（2）解：存在，理由如下：
由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形．
设，
①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形，
，
，
（舍去），，
此时．
②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F，
同理可得：，
，
，（舍去），
此时．
综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
2．（2024·河南洛阳·一模）如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，四边形是正方形？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把，坐标代入解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）根据正方形的性质和抛物线的对称性可求出，然后得出点，把点坐标代入（1）中抛物线求出即可．
【详解】（1）解： 抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
当时，，
即，，
把点坐标代入得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：当四边形是正方形时，，
，，，
，
，
把点坐标代入得，，
整理得：，
解得或（舍去），
当时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及矩形和正方形的性质，公式法解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式．
3．（2024·山西太原·一模）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接交抛物线于点，点的横坐标为．
(1)求点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为．
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为，点C的坐标为，直线的函数表达式为；
(2)①；②点N的坐标为或或．
【分析】（1）先求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）①点P的坐标为，证明，推出，据此求解即可；
②先求得轴，且，分三种情况讨论，分别画出图形，根据正方形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∵点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为；
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）①∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为线段上方抛物线上的一个动点，
点的横坐标为，
∴点P的坐标为，
∵轴于点G，
∴，，
∵轴，点C的坐标为，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴点F的坐标为，
∴，
∴轴，且，
当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合，
∴点N的坐标为；
当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合，
∴，则，解得，，
点N的坐标为；
当为对角线时，如图，此时，
由正方形的性质得，
∴时，解得，
∴点G的坐标为，
∴点M的坐标为，，
点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
4．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，点的坐标为或
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式．
（2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解．
【详解】（1）将，代入中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
题型五：梯形存在性
1．（2022·上海杨浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可；
（2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可；
（3）分，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点、、三点，
设：，
则：，
解得：，
∴，
∴对称轴为：；
（2）解：∵，
当时：；
∴，
∴，
∵、、
∴，，，
∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积，
∴直线与线段相交，设交点为，
当时，；当时，；
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，即：，
解得：；
（3）解：①当时，点在线段上，此时：；
②当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
③当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线与轴的交点为点、(点在点的右侧)，与轴的交点为点．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，并求出点的坐标；
(3)设点关于抛物线对称轴的对称点为点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)连接交对称轴于点，点即为所求，
(3)或
【分析】（1）令，解方程可得到点和点坐标；令，求出，可确定点坐标；
（2）连接交对称轴于点，根据对称性可得，则为的最小值，求出直线的解析式，令，即可求解；
（3）分为梯形的底边和为梯形的底和为梯形的底三种情况讨论，求出另一底边的解析式即可
【详解】（1）解：在中令，
解得，
∴，
在中令，得，
∴；
（2）解：如图，连接交对称轴于点，则点即为所求，连接，
∵，
∴
∴的最小值即为的长，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∵，
设直线的解析式为，
则，
解得：,
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为，
∴
（3）存在，分两种情况：
①如图，当为梯形的底时，点与重合时，四边形是梯形，此时点为,
②如图，当为梯形的底时，过点作，与抛物线交于点，
点，关于抛物线对称，
设直线的解析式为，
则，
解得
直线的解析式为
，
可设直线的解析式为
点在直线上，
直线的解析式为
联立，
解得，
,；
③当为梯形的底时，过点作，与抛物线交于点，
设直线的解析式为，则，解得
直线的解析式为
，
可设直线的解析式为
点在直线上，
直线的解析式为
联立，
解得(舍去)，(舍去)
综上所述，在抛物线上存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为或 ．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，轴对称的性质求最短距离，特殊四边形问题，分类讨论是解题的关键．
3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标；
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线的“不动点”的坐标；
②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)抛物线开口向上，顶点的坐标为
(2)①与；②新抛物线的表达式为
【分析】（1）由，故该抛物线开口向上，将抛物线的解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，解出方程即可求解；
②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为，与轴的交点为，由四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线开口向上，
又 ∵，
∴顶点的坐标为．
∴这条抛物线开口向上，顶点的坐标为．
（2）①设抛物线“不动点”坐标为，
∴，
解得：，，
∴抛物线的“不动点”的坐标为与；
②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，
∴，与不平行，
∵新抛物线顶点为“不动点”，则设点，
∴新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，
又∵点，点，
∴，
∴，
∴新抛物线是由抛物线向左平移个单位得到的，表达式为：．
∴新抛物线的表达式为．
【点睛】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．
4．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)点是直线上的点，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
(3)点在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形是梯形，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为，点的坐标为
(2)的坐标为或
(3)当四边形是梯形时，点的坐标为
【分析】（1）把两点的坐标代入关系式求解即可；
（2）点的坐标为，根据的面积与的面积相等，关键关于m的方程求解即可；
（3）分，两种情况讨论即可.
【详解】（1）解：抛物线过点和点，
把两点的坐标代入关系式，得：
解得：
抛物线的表达式为．
把代入得．
点的坐标为；
（2）解：抛物线的对称轴为．
设点的坐标为，则长为，
的高为点到直线的距离，
的高为，
在中，，
的面积与的面积相等，
，
，
，即或，
的坐标为或；
（3）解：如图，连接，过点作平行于的直线，与抛物线交于点，连接，
此时有，四边形是梯形，
函数取时，可得，于是点的坐标为，
且由（1）已知点的坐标为，
设的直线方程为，代入点，点
有：解得：
的直线方程为，
，
的直线方程可设为，
把点代入，有，
，
的直线方程为，
联立直线与抛物线的方程：
，整理得：，
解得（舍），，
把代入抛物线方程得，
点的坐标为，
若过作平行于的直线时，点不在第四象限，此种情况不符合题意，排除，
综上所述，当四边形是梯形时，点的坐标为．
5．（2024·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，交轴于点．
①求线段的最大值；
②是否存在点，使得四边形为等腰梯形？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在
【分析】（1）过点作轴，交轴于点，过点作轴交于点，得出，是等腰直角三角形，则，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①如图所示，过点分别作的垂线，交于点，得出得出直线的解析式为，设直线的解析式为，设，则，，得出，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解；
②根据题意得出，进而建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作轴交于点，
∵当时，，则，，
设，则，则是等腰直角三角形，
∴，
∵当时，，则
∵
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
即
解得：
∴
将点，代入，
∴
解得：
∴
（2）①如图所示，过点分别作的垂线，交于点，
∵，
∴
∴，
设，
∵交于点，交轴于点．
∴
又∵轴，
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
解得：
设直线的解析式为，
设，
将代入，则
∴，
∴，
∴，
∵
∴
解得：
∴
∴时，的最大值为
则的最大值为；
②∵，四边形为等腰梯形，
∴，
由①可得
∴，
∵,
∴
∵，
∴
∵
∴
解得：
∴否存在点，使得四边形为等腰梯形，点的横坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰梯形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．