福建省莆田第二十五中学2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省莆田第二十五中学2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，四象限，故本选项不符合题意；，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
A选项的三棱柱主视图是矩形，A错误；B选项的圆锥的主视图是三角形，B正确；C选项的圆柱的主视图是矩形，C错误；D选项的正方体的主视图是正方形，D错误；正确答案选B.
2. 已知＝，则的值为（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣D.
答案：D
解：∵，
∴设，
∴．
故选：D．
3. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：是的直径，
，
，
，
故选：D．
4. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 该函数的图象分布在第一、三象限B. 点在该函数图象上
C. 随的增大而增大D. 该图象关于原点成中心对称
答案：D
解：A．∵反比例函数中-6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数中-6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）

A. 300csαmB. 300sinαmC. D.
答案：B
解：在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
6. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：在与中与是公共角，
，
A选项：只有，一组角对应相等不能证明，故A选项不符合题意；
B选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故B选项不符合题意；
C选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故C选项不符合题意；
D选项：在与中与是公共角，，所以可证，故D选项符合题意．
故选： D．
7. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A. 45B. 60C. 75D. 90
答案：B
解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A. 1：3B. 3：1C. 1：9D. 9：1
答案：C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：AB=1：3，
∵CD∥AB，
∴△EFG∽△BAG，
∴，
故选C．
9. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且
与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A. 13B. 14C. 12D. 28
答案：D
解：连接，
∵，
∴，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴，即点为中点，
∴，
若要使取最大值，则需取最大值，
连接，交于点，
当点P位于点时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故选：D．
10. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：；；；；其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解：抛物线与轴有2个交点，
，
，故正确；
当时，，
，故错误；
抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，
即，
，故正确；
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若点在反比例函数的图象上，则的值为__________．
答案：2
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
故答案为：2
12. 如图，在Rt中，，，，则的值为_______．
答案：
解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
13. 如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_______
答案：##8厘米
解：如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴
故答案为：
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．
答案：##
解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15. 如图，工人师傅将一块锐角三角形的铁片通过切割加工成矩形铁片，已知的边长，高，若矩形铁片的一边在边上，点，分别在，边上，若满足，则矩形铁片的面积为__________．
答案：
解：如图，设与的交点为点，
设，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，，
∴，，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
∴
∴矩形铁片的面积为，
故答案为：．
16. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____．
答案：．
过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：2sin30°+3cs60°-4tan45°．
答案：﹣1.5
2sin30°+3cs60°﹣4tan45°
=
=-1.5.
18. 如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：．
答案：见解析
证明：为等边三角形，
，，
，
．
．
19. 已知与成反比例，且当时，．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）当时，求的值．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵与成反比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为．
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
经检验，是该方程的解．
20. 如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当时，对应的x的取值范围．
答案：（1），；
（2）；
（3）或．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵直线过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式；
【小问2详解】
解：如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，
在中，令，则，令，即，
令，则，
，
即，
∴
；
【小问3详解】
解：根据函数图象得，当时，或．
21. 如图，在矩形中，，，点是的中点．
（1）在上求作一点，使（尺规作图，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
解：过作于，即为所求；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
边中点，，
，
又，，
，
，
．
22. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，
，）
（1）求长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴,
答：；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23. 如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
（1）PD是的切线；
（2）
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
连接OB，
，
，
AC为的直径，
，
，
，
，
PD是的切线；
【小问2详解】
直线PA与相切于点A，
，
∵PD是的切线，
，
，
，
，
，
．
24. （1）阅读材料：小红遇到这样一个问题：如图，在四边形中，，，，，求的长．小红发现，延长与相交于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决如图请回答：的长为 ．
（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：
①如图，在四边形中，，，，，求和的长；
②如图，四边形内接于，，，，，求的长．
答案：（1）；（2）①的长为，的长为；②
解：（1）如图，延长、交于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴的长为
故答案为：；
（2）①如图，延长、交于点，
∵，，，
∴，
∴，，
设，
∴，，，
在中，，，
∴，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴，，，
∴，
∴的长为，的长为；
②如图，延长、交于点，

∵四边形内接于，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为．
25. （2017黑龙江省哈尔滨市，第26题，10分）已知：AB是⊙O的弦，点C是的中点，连接OB、OC，OC交AB于点D．
（1）如图1，求证：AD=BD；
（2）如图2，过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，点P是上一点，连接AP、BP，求证：∠APB﹣∠OMB=90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DP、MP，延长MP交⊙O于点Q，若MQ=6DP，sin∠ABO=，求的值．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
（1）如图1，连接OA，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，
∴OD⊥AB，AD=BD；
（2）如图2，延长BO交⊙O于点T，连接PT．
∵BT是⊙O的直径，
∴∠BPT=90°，
∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，
∵BM是⊙O的切线，
∴OB⊥BM，
又∵∠OBA+∠MBA=90°，
∴∠ABO=∠OMB．
又∵∠ABO=∠APT，
∴∠APB﹣90°=∠OMB，
∴∠APB﹣∠OMB=90°；
（3）如图3，连接MA，
∵MO垂直平分AB，∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
作∠PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，则∠AMP=∠BMN，
∴△APM≌△BNM，
∴AP=BN，∠MAP=∠MBN，延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，
∴四边形APBK是平行四边形；
∵AP∥BK，
∴∠PAB=∠ABK，∠APB+∠PBK=180°，
由（2）得∠APB﹣（90°﹣∠MBA）=90°，
∴∠APB+∠MBA=180°，∴∠PBK=∠MBA，
∴∠MBP=∠ABK=∠PAB，
∴∠MAP=∠PBA=∠MBN，
∴∠NBP=∠KBP，∵PB=PB，
∴△PBN≌△PBK，
∴PN=PK=2PD，过点M作MH⊥PN于点H，
∴PN=2PH，∴PH=DP，∠PMH=∠ABO，
∵sin∠PMH=，sin∠ABO=，
∴=，
∴=，设DP=3a，则PM=5a，∴MQ=6DP=18a，
∴=．