广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期3月一模试题 数学 含解析

这是一份广东省深圳市高级中学高中园2025届高三下学期3月一模试题 数学 含解析，共23页。
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.
3、考试结束，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
4. （ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
7. 椭圆左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点在圆上，则直线与圆相切
B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离
D. 若点在直线上，则直线与圆相切
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
10. 已知，下列说法中正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 当时，的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
11. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式的展开式中的常数项是______.
13. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______．
14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为,其中
（1）求;
（2）求边上的高，
16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
17. 如图，在三棱锥中，已知．
（1）若，求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知函数，其中．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：曲线是轴对称图形；
（3）若在R上恒成立，求的取值范围.
19. 若数列满足.定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为项为1，且对任意项，中的－1的个数不少于1的个数．当时，满足上述定义的数列称为规范数列．记表示“广义规范数列”的个数.
（1）若既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有的通项公式；
（2）求；进一步证明：当时，；
（3）当且时，记表示项数列中符合广义规范数列概率，求证：．
（提示：）
深圳市高级中学高中园2025届高三下学期第一次模拟考试
（数学）
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.
3、考试结束，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】不等式，可解得：或 ，
而，因此，.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据求出，再根据公式求其模长.
【详解】;
;
.
故选：C.
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；
【详解】解：
故选：C
5. 已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形利用线面的位置关系和充分条件，必要条件的定义即可判断.
【详解】当“直线和直线平行”时，平面和平面可能平行也可能相交，故不充分；
当“平面和平面平行”时，直线和直线可能平行也可能异面，故不必要；
因此“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由，得，
所以数列在上为递减数列，
所以数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有，
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
7. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题设得到，再结合，得到，即可求解.
【详解】设，则，，
由题有，即，又，则，
所以，得到，所以的离心率为，
故选：A.
8. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点在圆上，则直线与圆相切
B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离
D. 若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解.
【详解】圆心到直线的距离,
若点在圆上，则，
所以，则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，
所以，则直线与圆相离，故B正确；
若点在圆外，则，
所以，则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则，
即，所以，
直线与圆相切，故D正确．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.
【详解】选项A：为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，正态曲线越瘦高，
所以该物理量在一次测量中落在内的概率越大，A说法正确；
选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，B说法正确；
选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等，C说法正确；
选项D：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率不相等，
所以落在与落在的概率也不相等，D说法错误；
故选：ABC
10. 已知，下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 当时，的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及函数图象变换法则计算可判断每个选项的正误.
【详解】因为，所以函数的最小正周期为，故A错误，
因为，所以，所以在上单调递增，故B正确；
因为，，所以，的取值范围为，故C错误；
由于，将其向右平移得到，得到，故D正确.
故选：BD.
11. 已知正方体，则（ ）
A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式的展开式中的常数项是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式，即可求出结果.
【详解】二项式的通项公式为，
由，得到，所以二项式的展开式中的常数项是，
故答案为：.
13. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长.
【详解】因为，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
所以
故答案为：12
14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果.
【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为，
第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数：
先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法；再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法；最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为，
因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判条件下，第四裁判员是男生的概率为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对边分别为,其中
（1）求;
（2）求边上的高，
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，即可得解；
（2）首先由两角和的正弦公式求出，过作交于点，在中，，即可求出；
【详解】解：（1）
因为且，，，
由正弦定理可得，即解得，
因为，
（2）如图，过作交于点，
在中
如图所示，在中，
故边上高为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
16. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，和
【解析】
【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程；
（2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可.
【小问1详解】
由在抛物线上，则，解得，
因此可得抛物线的方程为.
【小问2详解】
存在点在抛物线上，
设点，
由直线的斜率为，且过，
则直线的方程为：，即，
联立，可得，解得，或，
即可得点的纵坐标为，代入，得，即，
若，则，即，
又，
则可得，
整理得，，解得，或，或，或，
当时，与重合，舍去，
当时，与重合，舍去，
当时，，
当时，，
综上知，抛物线上存在点，为和时，.
17. 如图，三棱锥中，已知．
（1）若，求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，易证，再通过空间位置的关系的向量表示即证即可；
（2）通过等体积法，求得到平面的距离为，即可求解；
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，
所以，又为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，
由
因为，所以,
所以，
又，
所以，
所以；
【小问2详解】
过点作的垂线，交于点，连接，
因为，又为平面内两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，
又，
，
所以为中点，所以，
因为，
由勾股定理可得：,
所以，所以，
所以，
，
设到平面的距离为，
则，
，
解得：，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数，其中．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：曲线是轴对称图形；
（3）若在R上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增.
（2）证明过程见解析.
（3）.
【解析】
【分析】（1）去绝对值求导函数，根据导函数正负判断原函数增减；
（2）去绝对值判断函数为偶函数，从而确定其关于轴对称；
（3）先讨论时不等式恒成立，此时可就分类讨论后得，在此条件下再讨论不等式恒成立，从而可求参数的范围.
【小问1详解】
当时，函数，求导得：；
当时，，
，，，
当时，.
当时，函数在上单调递增.
【小问2详解】
当时，函数
，
为偶函数，关于轴对称；
所以当时，曲线是轴对称图形.
【小问3详解】
在上恒成立，，
当时，有，
又，
当时，在上恒成立，
故在上为减函数，故，此时不等式恒成立，
若，，
此时当时，，
故不成立，
故当时，若不等式恒成立，则.
若，则，
又，
当时，，故
若，此时在上恒成立，故在上减函数，
故在上恒成立，与题设矛盾；
若，当 时，有，
这与题设矛盾，
若，则，故在上为增函数，
故恒成立，
综上所述：的取值范围.
【点睛】方法点睛：导数背景下的含参不等式恒成立问题，可将导函数的值域求出，从而得到导函数符号讨论的分类点，再结合函数的单调性及零点处理不等式成立.
19. 若数列满足.定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为项为1，且对任意项，中的－1的个数不少于1的个数．当时，满足上述定义的数列称为规范数列．记表示“广义规范数列”的个数.
（1）若既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有的通项公式；
（2）求；进一步证明：当时，；
（3）当且时，记表示项数列中符合广义规范数列的概率，求证：．
（提示：）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出公比，求出首项，分为奇数和偶数即可求解；
（2）对递推关系进行分析，求解，递推计算，证明递推式（当）即可求解；
（3）求出，求出，根据单调性和数值计算即可求解.
【小问1详解】
规范数列要求，即数列中-1和1的数量相等，均为项，
等比数列的公比必须使得所有项，
因此公比只能是-1或1，
若公比，则所有项均为首项的值，
但若，则数列全为1，
此时-1的数量为0，与1矛盾，
同理，若，则数列全为-1，
此时1的数量为0，亦矛盾，因此公比不满足条件，
若公比，则数列为交替数列，
由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为，
故，即，
这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意，前项中-1的个数不少于1的个数，
若首项，则数列为，
此时前1项中1的个数为，的个数为0，
不满足前缀条件，因此首项必须为-1，
即，数列为，
当为奇数时，前项中有个-1和个1，
显然-1的个数多于1，当为偶数时，
前项中有个-1和个1，满足-1的个数不少于1的个数，
因此，唯一满足条件的等比数列为，
进一步验证总项数时和的数量均为，
符合规范数列定义；
【小问2详解】
当时，若第一个位置为-1，
则剩余个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为，
若第一个位置为1，则剩余个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，
这种情况等价于的广义规范数列，其数目为，
因此，递推关系为，
当时，数列中有个-1和1个1，
且每个前缀中-1的个数不少于1的个数，
此时1必须放在第2到第位中的任意一个位置，
共有种选择，因此，
初始条件为（规范数列情况），
因为，
所以，
若第一个位置为-1，则剩余个-1和个1，
对应数目为，若第一个位置为1，
则剩余个-1和个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，
这种情况等价于的广义规范数列，
对应数目为，由于，
上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立，
综上，当时，广义规范数列的个数为，
且递推关系（当）得证；
【小问3详解】
当时，广义规范数列的个数满足递推式，
，
其中，
，，
，，
，
因此概率为，
广义规范数列的数目可表示为，
，
，因为，
所以
此不等式恒不成立，说明随增大而递增，
因此，最大概率出现在最小时，
，
当时，，
当时，通过数值验证严格递减，
故命题成立.
【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于求解，递推计算，证明递推式（当）.