2025年重庆市西南大学附中高考数学二诊试卷（含答案）

这是一份2025年重庆市西南大学附中高考数学二诊试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|y=ln(x−1)}，则A∩B=( )
A. (1,2]B. (0,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)
2.已知向量a=(1,2)，b=(λ,−1)，c=(2,−5)，若(a+b)⊥c，则λ=( )
A. −52B. −32C. 32D. 52
3.已知3+i是关于x的方程x2−ax+b=0的一个根，a∈R，b∈R，则a+b=( )
A. −4B. 4C. 16D. −16
4.已知cs(α−π6)−sinα=45，则cs(2α+π3)=( )
A. 1825B. 725C. −725D. −1825
5.已知圆C：x2+y2−4x−2y−4=0，直线l：mx−y+3−m=0，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A. 4B. 2C. 6D. 2 2
6.某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有( )
A. 72种B. 36种C. 24种D. 18种
7.如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3 3,∠BAC=π6，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则cs∠MPN=( )
A. 77B. 2 77C. 5 749D. 10 749
8.已知函数f(x)=x2−x2.若数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=f(an+1)，a2=a21，则a1的最大值为( )
A. 23B. 12C. 20D. 452
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11
B. 若随机变量ξ，η满足η=3ξ−2，D(ξ)=3，则D(η)=9
C. 一组数据(xi,yi)(1≤i≤15,i∈N∗)的线性回归方程为y =3x+2，若x−=2，则y−=8
D. 某学校要从12名候选人(其中7名男生，5名女生)中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为X，则X服从超几何分布
10.已知x，y均为正数，且x+4y=xy，则下列选项正确的有( )
A. xy≥16B. 4x+y≥25
C. 1x−4+1y−1≥1D. x+y≥10
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=AA1=2，点M，N分别是B1C1，A1A的中点，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线AC1与A1M所成的角为45°
B. B1C⊥A1B
C. 若点P是A1C1的中点，则平面BNP截直三棱柱所得截面的周长为4 53+ 2+2 173
D. 点F是底面三角形ABC内一动点(含边界)，若二面角B−A1M−F的余弦值为 33，则动点F的轨迹长度为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若(ax+1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是______．
13.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=−f(2−x)，当x∈[0,1)时，f(x)=2csπx，函数g(x)=x−1(−1≤x≤3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为______．
14.项数为m的数列{an}满足ai∈{0,1}(i=1，2，…，m)，当且仅当ai−1=ai+1时ai=0(其中i=1，2，…，m，规定：a0=am，am+1=a1)，称{an}为“好数列”.在项数为6且ai∈{0,1}(i=1，2，…，6)的所有{an}中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
(2)以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有X位学生的语文成绩优秀，求随机变量X的分布列以及数学期望．
附：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsC+b=0，b= 24c.
(1)求csC；
(2)若△ABC的面积为14，D是BC上的点，且∠ADB=34π，求CD的长．
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AD//BC，AF/​/BE，AD⊥AB，AB⊥AF，AD=AB=2BC=2BE=2，且AF>1．
(1)已知点G为AF上一点，且AG=1，证明：BG/​/平面DCE；
(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为89，求点C到平面BDF的距离．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，点M到定点F(4,0)的距离与点M到直线l：x=1的距离之比为2，点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点P(1,m)，m≠0，A，B为曲线C的左、右顶点.若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，E．
(ⅰ)求实数m2的取值范围；
(ⅱ)求|PA||PB||PD||PE|的最大值．
19.(本小题17分)
定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”．
(1)直线y=2x是否为曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数g(x)=ex−2e,x≤0,lnx,x>0,求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；
(3)已知函数ℎ(x)=sinx，直线PQ为曲线y=ℎ(x)的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1，k2…，kn，若k1>k2>ki(i=3,4,5,…,n)，证明：k1k23.841，
所以依据α=0.05的独立性检验，推断零假设H0不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于5%；
(2)由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为90180+90=13，
随机变量x的取值有0，1，2，3，4，5，由已知X～B(5,13)，
则P(X=0)=C50(23)5(13)0=32243，
P(X=1)=C51(23)4(13)1=80243，
P(X=2)=C52(23)3(13)2=80243，
P(X=3)=C53(23)2(13)3=40243，
P(X=4)=C54(23)1(13)4=10243，
P(X=5)=C55(23)0(13)5=1243，
所以随机变量X的分布列为：
所以E(X)=5×13=53．
16.
17.
18.解：(1)设M(x,y)，
由题意知 (x−4)2+y2=2|x−1|，
化简得曲线C的方程为：x24−y212=1；
(2)(i)由题意，A(−2,0)，P(1,m)，m≠0，
可设直线PA方程为x=ty−2，其中t=3m，
由x=ty−23x2−y2=12⇒(3t2−1)y2−12ty=0⇒yD=12t3t2−1，
因为D在右支上，
所以yP⋅yD>0⇒12mt3⋅9m2−1>0⇒3627m2−1>0⇒0