2024-2025学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z(1−2i)=2+i，则复数z=( )
A. −1B. −iC. 1D. i
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，DE=2EC，F为线段BE的中点，若以AF，BE为基底表示向量BC，则BC=( )
A. 23AF+34BE
B. 12AF+23BE
C. 13AF+56BE
D. 14AF+13BE
3.已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. e1+e2和e1−2e2B. e1−2e2和2e1−4e2
C. e1−2e2和e1+2e2D. e1+e2和e1+2e2
4.已知平面向量a，b的夹角为π3，且|b|=1，|a+2b|=2 3，则|a|=( )
A. 2B. 3C. 1D. 3
5.下列命题：①向量a与b都是单位向量，则a=b；
②在△ABC中，必有AB+BC+CA=0；
③四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC；
④若向量a与b共线，则存在唯一的实数λ使b=λa．
其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
6.已知△ABC中，a=2 2，b= 3，B=π6，那么满足条件的△ABC( )
A. 有两个解B. 有一个解C. 无解D. 不确定
7.一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东30°方向上，航行10nmile后到B处，看到灯塔S在船的北偏东75°的方向上，此时船距灯塔S的距离(即BS的长)为( )
A. 52 2nmile B. 5 2nmile
C. 5 3nmile D. 5 6nmile
8.在△ABC中，角B，C所对的边分别为b，c，点O为△ABC的外心，若b2+c2=2b，则BC⋅AO的最小值是( )
A. −14B. −12C. −1D. −2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若z=2+3i，则z−=−2+3i
B. 复数 2−i在复平面内对应的点位于第四象限
C. i+i2023=0
D. 若z=m2−4+(2−m)i(m∈R)为纯虚数，则m=−2
10.若向量a=(2,0)，b=(1, 3)，则( )
A. |b|=2B. a⋅b=2
C. b在a上的投影向量为12aD. a与b的夹角为π6
11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若AM=13AB+13AC，则点M是△ABC的重心
B. 若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上
C. 若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件2OA+2OB+OC=0，则S△OBC=25S△ABC
D. 若AM=xAB+yAC，且x+y=12，则△MBC的面积是△ABC面积的12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=a+2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|=3，则a的值为______．
13.a=(1,−2),b=(1,λ),a与b的夹角为锐角，λ的取值范围为______．
14.如图，在△ABC中，BM=12BC，NC=λAC，直线AM交BN于点Q，若BQ=57BN，则λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2−4m−12+(m2−4)i，其中m∈R．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a、b满足|a|=2，b=(−2,2 3)，且a与b的夹角为2π3．
(1)求a⋅b的值；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB=(2c−b)csA．
(1)求A；
(2)若a= 6，求△ABC的周长的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2AD，AC= 33，cs∠ADC=13．
(Ⅰ)求CD；
(Ⅱ)若sinB= 33，求BD．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1| x12+y12⋅ x22+y22，容易知道a,b平行的充要条件为d(a,b)=0．
(1)已知a=(1,2)，b=(4,−2)，求d(a,b)；
(2)①已知a,b的夹角为θ1和c,d的夹角为θ2，证明：d(a,b)=d(c,d)的充分必要条件是sinθ1=sinθ2；
②在△ABC中，AB=2，AC=4，角A的平分线AD与BC交于点D，且AD=43，若PA+PB+PC=0，求d(PA,PB)．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BCD
10.ABC
11.ACD
12.± 5
13.(−∞,−2)∪(−2,12)
14.35
15.解：(1)∵z=m2−4m−12+(m2−4)i且z为纯虚数，
∴m2−4m−12=0m2−4≠0，解得m=6．
(2)∵z在复平面内对应的点在第一象限，
∴m2−4m−12>0m2−4>0，解得m6，
故m的取值范围为(−∞,−2)∪(6,+∞)．
16.
17.解：(1)在△ABC中，acsB=(2c−b)csA，
由正弦定理：sinAcsB=2sinCcsA−sinBcsA，可得：sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，可得sinC=2sinCcsA，
因为C∈(0,π)，故sinC>0，从而csA=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)在△ABC中，由余弦定理有a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=
(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3(b+c)24=14(b+c)2当且仅当b=c时取等号，
∴6≥14(b+c)2，∴(b+c)2≤24，∴b+c≤2 6，
又b+c>a= 6，∴a+b+c∈(2 6,3 6].
∴△ABC的周长的取值范围(2 6,3 6].
18.解：(Ⅰ)因为CD=2AD，AC= 33，cs∠ADC=13，
在△ACD中，由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC，
即33=(CD2)2+CD2−2⋅CD2⋅CD⋅13，
解得CD=6；
(Ⅱ)由图知：∠BAD=∠ADC−∠B，由(Ⅰ)可得AD=CD2=3，
由图知，B为锐角，∠ADC为锐角，sinB= 33，
可得sin∠ADC= 1−cs2∠ADC= 1−19=2 23，csB= 1−sin2B= 1−13= 63，
sin∠BAD=sin(∠ADC−B)=sin∠ADCcsB−cs∠ADCsinB=2 23× 63−13× 33= 33，
可得sinB=sin∠ADC，
可得BD=AD=3．
19.