江苏省淮安市金湖县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省淮安市金湖县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，计24分）
1. 若，相似比为，则与的周长的比为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知，请你再添加一个条件________使得∽则下列选项不成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A. ﹣2或3B. ﹣2或﹣3C. 1或﹣2或3D. 1或﹣2或﹣3
4. 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90，AB=5，AC=3，则的值是
A. B. C. D.
5. 已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（ ）
A. D 点B. E 点C. F点D. D 点或 F点
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D.
8. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形沿箭头方向向右推，推至点B在线段上，得到图2．若，则在调整后的大小（ ）
A. 减少了B. 增加了C. 减少了D. 增加了
二、填空题（每小题3分，计30分）
9. 二次函数的图象开口向下，则m值为_________．
10. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,csB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
11. 如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______．
12. 如图，是交警在某市一路口设立的路况显示牌．已知立杆高2米，从左侧D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别为60°和45°，则该路况显示牌的高度为______米．
13. 如图，拋物线与轴的一个交点的坐标为，则关于的方程的解为______，

14. 如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是______．
15. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上已知，，则障碍物B，C两点间的距离为______结果保留根号
16. 如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山破行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于________．（结果用根号表示）
17. 过点，，的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）
18. 如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：

（1）______．
（2）若，则______．
三、解答题（共9题，计96分）
19. 如图，是二次函数的图象．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．
20. 抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．
21. （1）若，求的值；
（2）如图，中，点分别在上，，若，求的长．
22. 为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息：
a．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布表：
b．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
c．每日平均家务劳动时长在这一组的是：
35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 37 37
38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39
d．小东每日平均家务劳动时长37min．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出频数分布表中数值m＝______，n＝______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东每日平均家务劳动时长______样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；（填“超过”或“没超过”）
（4）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到40min及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有420名学生，请估计获奖的学生人数．
23. 计算：．
24. 如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②若，请直接写出的取值范围．
25. 如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，．
（1）求的度数．
（2）若，求长．
26. 已知：如图，直角梯形中，，点E在边上，点F在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）当点E、F分别是边的中点时，求证：．
27. 如图，在平面直角坐标系中，是经过，两点的直线，且，点的坐标为，当点移动时，过点作交于点．
（1）求点D，O之间的距离；
（2）①当时，求直线的解析式；
②在①的条件下，直接写出与重叠部分的面积
2025年春学期3月份调研九年级数学试卷
分值：150分 时间：120分钟
一、单选题（每小题3分，计24分）
1. 若，相似比为，则与的周长的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与的周长的比为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
2. 如图，已知，请你再添加一个条件________使得∽则下列选项不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法即可得以解决．
【详解】解：，
当添加条件时，则∽，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则∽，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
3. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A. ﹣2或3B. ﹣2或﹣3C. 1或﹣2或3D. 1或﹣2或﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
4. 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90，AB=5，AC=3，则的值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin∠B=，代入即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴sin∠B==，故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和记忆，题目比较典型，难度适中．
5. 已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（ ）
A. D 点B. E 点C. F点D. D 点或 F点
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．
【详解】解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，
∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617，
∴点F最接近线段AB的黄金分割点．
故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点在轴上，若，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，
，
相似比为，，
，
，
，
正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，
，
相似比为，
，
，
，，
点的坐标是，
故选：C．
7. 关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据绝对值的意义将整理为，
根据图象与轴有四个不同的公共点得到判别式，代入列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵
∴，
由题意得，且当时，，
即，
解得：．
故选：．
【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8. 五边形不具有稳定性，将图1中的正五边形沿箭头方向向右推，推至点B在线段上，得到图2．若，则在调整后的大小（ ）
A. 减少了B. 增加了C. 减少了D. 增加了
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和问题及相似三角形的判定与性质，延长，交于点，证明得出为等边三角形，得，从而得，再计算出五边形中的度数，再比较即可．得出为等边三角形是解题关键．
【详解】解：延长，交于点，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴
∴
在图（1）中，，
∴增加了，
故选：B
二、填空题（每小题3分，计30分）
9. 二次函数的图象开口向下，则m值为_________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据题意可得且，解之即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得或，且，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数图象与性质的应用能力，关键是能准确理解以上知识并进行正确的计算．
10. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,csB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为______.
【答案】4
【解析】
【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，csB=，
∴BC=AB•csB=9×=6，AC==3．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cs∠CAN=csB=，
∴AN=AC•cs∠CAN=3×=2，
∴AE=2AN=4．
考点：旋转的性质；解直角三角形．
11. 如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得点A的坐标，再利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．
【详解】解：解方程，
得，
当时，，
∴点A的坐标为(，4)，
如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，
此时x的取值范围是：0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出解题关键．
12. 如图，是交警在某市一路口设立的路况显示牌．已知立杆高2米，从左侧D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别为60°和45°，则该路况显示牌的高度为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】分别在，分别求得，进而求得．
【详解】解：中，,
中，；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，运用特殊角三角函数值求线段长是解题的关键．
13. 如图，拋物线与轴的一个交点的坐标为，则关于的方程的解为______，

【答案】
【解析】
【分析】由拋物线，可求出对称轴为根据抛物线与轴的一个交点的坐标为，可求出另外一个交点即可得到关于的方程的解，
【详解】解：∵拋物线，
∴对称轴为：
∵与轴的一个交点的坐标为
∴与轴的一个交点的坐标为
∴关于的方程的解为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，求出二次函数的对称轴是解此题的关键．
14. 如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围．
【详解】解：当时，，解得，则，
，
则顶点坐标为，
把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，
如图，
当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解，
方程整理得，，
解得，
∴当时，直线与图像恰有两个公共点，
当直线过时，，解得，
当直线过时，，解得，
所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点．
综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
15. 如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一栋小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上已知，，则障碍物B，C两点间的距离为______结果保留根号
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE=BF=CH=10m，根据直角三角形的性质得出DF的长．在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义得出CE的长，根据BC=BE﹣CE即可得出结论．
【详解】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m．在Rt△ADF中，AF=AB﹣BF=30m，∠ADF=45°，∴DF=AF=30m．
在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE10（m），∴BC=BE﹣CE=（30﹣10）m．
答：障碍物B，C两点间的距离为（30﹣10）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16. 如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山破行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于________．（结果用根号表示）
【答案】
【解析】
【分析】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，根据45°角可求出CE的长，根据30°角求出DE的长，求出ED和CE后相加即可求出CD．
【详解】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：
∵△CBE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC°=200=100m，
∵∠BAD=30°，
∴ED=BF=600°=600= 300m，
∴CD=CE+ED=300+100m，
故答案为300+100
【点睛】本题解直角三角形，应先分解图形；认清图形间的关系，并解直角三角形；利用其关系求解，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.
17. 过点，，的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）
【答案】下
【解析】
【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．
【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c，
由题意得：
解得
由＜0，则该函数图像开口向下．
故答案为：下．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．
18. 如图，在正方形中，G为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点E，过点F作分别交，，于点H，P，Q，请完成下列问题：

（1）______．
（2）若，则______．
【答案】 ①. ##度 ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠得出，证明，得出，根据，求出结果即可；
（2）过点H作于点M，证明，得出，，证明，得出，设，则，得出，得出，根据，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）过点H作于点M，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线构造全等三角形，证明．
三、解答题（共9题，计96分）
19. 如图，是二次函数的图象．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键．
（1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解；
（2）根据二次函数图象与轴交点来确定出不等式的解集．
【小问1详解】
解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过，
代入二次函数解析式得
解得，
二次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：由图象可知图象与的交点为，
不等式的解集为．
20. 抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．
【答案】
【解析】
【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（3，﹣1），所以设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式即可解答．
【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），
设此二次函数的解析式为，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣1＝3，即a＝4，
∴此函数的解析式为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
21. （1）若，求的值；
（2）如图，中，点分别在上，，若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将转化为，代入求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例，即可进行解答．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例的性质和平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相关内容，并灵活运用．
22. 为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》通知要求，培养学生劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息：
a．90名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表：
b．90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图：
c．每日平均家务劳动时长在这一组的是：
35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 37 37
38 38 38 38 38 38 38 39 39 39 39 39
d．小东每日平均家务劳动时长为37min．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出频数分布表中的数值m＝______，n＝______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东每日平均家务劳动时长______样本中一半学生的每日平均家务劳动时长；（填“超过”或“没超过”）
（4）学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到40min及以上的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有420名学生，请估计获奖的学生人数．
【答案】（1）12、21
（2）图见详解 （3）超过
（4）140人
【解析】
【分析】（1）由频数分布直方图可得的值，再由各组人数之和等于总人数可得的值；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）计算出样本数据的中位数，再比较即可得出答案；
（4）用总人数乘以样本中第5、6组人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：由频数分布直方图知，
则，
故答案为：12、21；
小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：样本中学生的每日平均家务劳动时长的中位数为，
，
小东每日平均家务劳动时长超过样本中一半学生的每日平均家务劳动时长，
故答案为：超过；
【小问4详解】
解：如果该校七至九年级共有420名学生，估计获奖的学生人数为（人．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图和中位数的定义及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角函数值化简，再计算，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了零指数幂，二次根式的性质，特殊角锐角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
24. 如图，已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）若点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②若，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）①， ②
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质；
（1）把点代入即可得到答案；
（2）①由点在该二次函数图象上，把代入二次函数解析式即可得到答案，②求解，可得当时，，可得或，再结合二次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：把点代入中，
，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
①点在该二次函数图象上，，
∴；
②点在该二次函数图象上，
∴，
当时，，
解得：或，
∵，
∴．
25. 如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形与圆，正方形的性质、圆周角定理、圆心距、弦、弧之间的关系及相似三角形的性质和判定，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．
（1）连接，，依据“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可求出的度数；
（2）连接，，交于点，延长交于点，由证明，，，求出相关线段的长度，再利用相似三角形的性质和判定即可求出的长．
【小问1详解】
如图1，连接，．
正方形内接于，
，
【小问2详解】
如图2，连接，，交于点，延长交于点．
，正方形内接于，
，，
，．
，
，
，．
，
，
，即，
．
26. 已知：如图，直角梯形中，，点E在边上，点F在对角线上，且．
（1）求证：；
（2）当点E、F分别是边的中点时，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）求出∠DAC＝∠ACB，∠DFA＝∠AEC，根据相似三角形的判定定理推出△ADF∽△CAE，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出AC＝2AF，BC＝2CE，根据AD•CE＝AF•AC得出AD•BC＝AC•AC，证△ADC∽△CAB，推出∠ADC＝∠CAB即可．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠DFC＝∠AEB，
∴∠DFA＝∠AEC，
∴△ADF∽△CAE，
∴，
∴AD•CE＝AF•AC．
（2）解：∵点E、F分别是边BC、AC的中点，
∴AC＝2AF，BC＝2CE，
又∵AD•CE＝AF•AC，
∴AD•2CE＝2AF•AC，即：AD•BC＝AC•AC，
∴，
又∵∠DAC＝∠ACB，
∴△ADC∽△CAB，
∴∠ADC＝∠CAB，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠CAB＝90°，
∴AB⊥AC．
【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
27. 如图，在平面直角坐标系中，是经过，两点的直线，且，点的坐标为，当点移动时，过点作交于点．
（1）求点D，O之间的距离；
（2）①当时，求直线的解析式；
②在①的条件下，直接写出与重叠部分的面积
【答案】（1）2 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）先判断出点是的中点，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）先求出，再用三角函数和勾股定理求出，进而利用面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点的坐标，最后用待定系数法求解，即可得出结论；
（3）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，最后用三角形面积和即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图1，连接，
，，
，
即点是的中点，且，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图2，由（1）知，，
，
，
，
在中，，
则，
设，则，
根据勾股定理得出，，
，
（负的已舍去），
，，
过点作于，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
设直线的解析式为，
点，在直线上，
，
，
直线的解析式为；
②与轴的交点记作，
由①知，，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为，
，
与重叠部分的面积为．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，锐角三角函数，直角三角形的性质，求出点D的坐标是解本题的关键．
分组
频数
9
m
15
24
n
9
合计
90
分组
频数
9
m
15
24
n
9
合计
90