2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学阶段检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数在处的导数为12，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 36
【正确答案】A
【分析】由导数的定义求解即可.
【详解】因为函数在处的导数为12，
所以.
故选：A.
2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】对函数求导，将代入导数中可得，从而得到函数解析式，将代入函数解析式可得答案.
【详解】，则，
令得,，解得，
则，将代入上式得.
故选：C
3. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 64B. 72C. 84D. 96
【正确答案】C
【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类，由此可得答案．
【详解】由题意知，分两种情况：
(1)、C不同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，
所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色：有种；
(2)、C同色注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，
所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色：有种．
共有种，
故选：C．
4. 若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先确定函数的定义域，求出导数，判断出函数的单调性；再根据题目信息列出不等式组求解即可.
【详解】由函数可知函数定义域为，且.
令，可得；令，可得，
即函数区间上单调递减；在区间上单调递增.
因为函数在定义域内的区间上不是单调函数，
所以，解得.
故选：B
5. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【正确答案】B
【分析】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法．
【详解】由题意不同站法数为：．
故选：B.
6. 动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
7. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由等价于，利用导数求在的最大值即可.
【详解】当时，恒成立等价于，
所以，当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，，
所以，即.
故选：A.
8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求导，将问题转化为有两个不同的零点，也即是关于x的方程有两个不同的解，构造函数，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性和最值，从而可得选项.
【详解】函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的零点，
故关于x的方程有两个不同的解，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当时，；当时，，
且，，故，
即.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A. 在上是增函数
B. 当时，取得极小值；
C. 在上是增函数、在上是减函数；
D. 当时，取得极大值
【正确答案】BC
【分析】由图可判断的正负号，即可判断的单调性，即可选出答案.
【详解】由图可知：当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数取得极小值，其中不是函数的极值点.
故选：BC.
10. 口袋中装有6个白球和8个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，下列说法正确的有（ ）
A. 恰好是白球、红球各一个的取法有48种B. 恰好是两个白球的取法有30种
C. 至少有一个白球的取法有63种D. 两球的颜色相同的取法有43种
【正确答案】ACD
【分析】由两个计数原理结合组合数逐个判断即可；
【详解】对于A：由分布乘法原理可知恰好是白球、红球各一个的取法有，正确；
对于B：恰好是两个白球的取法有：，错误；
对于C：至少有一个白球的取法有: ，正确；
对于D：两球的颜色相同的取法有，正确；
故选：ACD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在处取得极大值
B. 方程有两个不同的实数根
C.
D. 若不等式在上恒成立，则
【正确答案】AC
【分析】当时，函数有极大值，故选项A正确；方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；，选项Ｃ正确；，选项D错误.
【详解】易知函数的定义域为，，
令，则，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，函数有极大值，故选项A正确；
因为，且当时，，当时，，
所以方程不可能有两个不同的实数根，选项B错误；
因为函数在上单调递增，且，
所以，选项Ｃ正确；
不等式在上恒成立即不等式在上恒成立，
令，则，令，
则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，函数有最大值，所以，选项D错误.
故选：AC
方法点睛：零点问题求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得，分析的图象得解）.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______．
【正确答案】6
【分析】利用排列数公式求解.
【详解】因为，
所以，
即，
解得（舍去）．
故6.
13. 已知直线是曲线与的公切线，则__________.
【正确答案】
【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.
【详解】设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，
即
同理，设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，
即，
所以，解得，
所以，，.
故答案为.
14. 若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________．
【正确答案】
【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围.
【详解】由题可得，
当时，，函数在上单调递减，不存在最值；
当时，令，可得，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
若函数在上不存在最值，则，即，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求函数的图象在点处的切线方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求导即可代入求解，
（2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.
【小问1详解】
由，得，
又，所以，解得.
【小问2详解】
由，得，所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即.
16. 在0，1，2，3，4，5这6个数字中选择若干个数.
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个无重复数字且不大于3450的四位数？
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）分个位数否为零两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理即可得解；
（2）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解；
（3）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解.
【小问1详解】
当个位数为时，则千位数有种选法，
则百位数有种选法，十位数有种选法，
所以能组成个无重复数字的四位偶数；
当个位数不为时，则个位数有种选法，则千位数有种选法，
则百位数有种选法，十位数有种选法，
所以能组成个无重复数字的四位偶数，
综上所述，能组成个无重复数字的四位偶数；
【小问2详解】
当个位数为时，则万位数有种选法，
则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法，
所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数；
当个位数为时，则万位数有种选法，
则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法，
所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数，
综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数；
【小问3详解】
当千位数为或时，
则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数；
当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个；
当千位数为，百位数为，十位数不为时，
则十位数有种选法，个位数有种选法，
所以符合题意的数有种；
当千位数为，百位数不为，
则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法，
所以符合题意的数有种，
综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数.
17. 已知函数，且当时，函数取得极值为．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据，可得可得结果；
（2）先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图象确定条件解得结果.
【详解】（1），
由题意得，，即，
解得，
∴.
（2）由有两个不同的实数解，
得在上有两个不同的实数解，
设，
由，
由，得或，
当时，，则在上递增，
当时，，则在上递减，
由题意得，即，
解得，即的取值范围是.
18. 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
（2）
【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可.
【小问1详解】
由题意得，，
当时，，函数在上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
【小问2详解】
因为函数在上为增函数，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，当时，ℎ′x=ex+sinx>0，
所以，在上单调递增，．
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）设，若对，都有恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）极小值为，无极大值；
（2）
【分析】（1）求定义域，求导，得到单调性，极值情况；
（2）参变分离得到，构造，求导得到单调性和最值，得到的取值范围.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
故，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，极小值，无极大值；
【小问2详解】
，，
由于在上恒成立，
故，
令，
则，
令，，
则，
故在上单调递增，
故，
故，所以在上单调递增，
故，
所以.
方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.