2024-2025学年海南省海口市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年海南省海口市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据集合的补集及交集计算即可.
【详解】因为集合，，
则，
则.
故选：A.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】B
【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项.
【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；
对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确；
对于C，当时，取，则，故C错误；
对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.
故选：B.
3. 为了得到函数图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位
【正确答案】B
【分析】根据函数图象平移变换进行判断.
【详解】将的图象向右平移个单位，可得的图象.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】将已知等式平方后可直接构造方程求得结果.
【详解】，.
故选：C.
5. 已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A. B. 3C. D. 12
【正确答案】A
【分析】
利用条件进行数量积运算即可求出，从而可得出的值.
【详解】，，，
，
，
故选：A.
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
6. 如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式.
【详解】因为为线段的中点，则
，
因为点是线段上靠近的三等分点，则，
因此，.
故选：A.
7. 已知，则 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
分别与0和1比较后可得．
【详解】，，，∴，即．
故选：A．
方法点睛：本题考查幂、对数、三角函数值的大小比较．对于具体实数的比较大小，如果能应用函数单调性的应用单调性比较大小，如果不能应用单调性，不同类型的数可以借助中间值如0或1等比较大小后得出结论．
8. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.
【详解】由余弦定理可知，
，
，
AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形，
是中点，，
由图可知向量在上的投影向量为

，
.
故选：B
本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分）
9. 下列式子化简后等于的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，故C正确；
对于选项D：因为，故D错误；
故选：ABC.
10. （多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ）
A. 当时，的方向与的方向一定相反
B. 当时，的方向具有任意性
C.
D. 当时，的方向与的方向一定相同
【正确答案】ABD
【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C.
【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；
对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；
对于D，由可得，同为正或同为负，
所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；
对于C，，故C错误．
故选：ABD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【正确答案】ABD
【分析】
根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.
【详解】由函数的图象可得，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，
故函数.
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.
故选：ABD.
本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，将答案填在答题纸上）
12. 已知角的终边在直线上，则_____.
【正确答案】##
【分析】根据角的终边所在直线可求得，将化为关于正余弦的齐次式的形式，分子分母同时除以即可构造出关于的方程，代入求解即可.
【详解】角的终边在直线，
，.
故答案为.
13. 已知函数 在上具有单调性，则实数的取值范围___________．
【正确答案】
【分析】根据二次函数的对称轴，列不等式，即可求解.
【详解】由题意，或，解得：或.
故
14. 已知，且，则______.
【正确答案】##
【分析】利用诱导公式及同角公式求解.
详解】由，得，而，
所以.
故答案为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知，，与的夹角为60°，
（1）当何值时，？
（2）当为何值时，？
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量定理求解.
（2）利用数量积的定义及运算律，结合垂直关系的向量表示列式求解.
【小问1详解】
依题意，，由，得，
而与不共线，则，解得，
所以当时，
【小问2详解】
由，，与的夹角为60°，得，
由，得
，解得，
所以当时，.
16. 已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.
（1）写出y与x的函数关系式，并化简；
（2）求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.
【正确答案】（1），
（2）当时，
【分析】（1）利用锐角三角函数表示出，，，再根据及三角恒等变换将函数化简，即可得到函数关系式；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：在直角中，，，
在直角中，， 又，
所以，
所以
，
即，.
【小问2详解】
解：因为，所以，所以当，即时，.
17. 已知，，若，
（1）求的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若存在，使，求m的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先把表达式化简为正弦型函数，再计算即可；
（2）利用整体代换求出单调递减区间即可；
（3）由得，由得，根据题意，解不等式即可.
【小问1详解】
由题意得，
所以；
【小问2详解】
令，得，，
所以的单调递减区间为.
【小问3详解】
因为，所以，
由得，即，所以，解得，
故m的最小值为．
18. 已知函数，且.
（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；
（2）证明：函数是奇函数；
（3）若，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）2，在上为增函数；（2）证明见解析；（3）（，1）.
【分析】（1）由，代入解析式，解方程求出的值，利用指数函数的单调性即可求解.
（2）利用函数的奇偶性定义即可判断.
（3）利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数为增函数可得，解不等式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，即，
因为，所以.
函数在上为增函数.
（2）由（1）知定义域为.
对任意，都有.
所以函数是奇函数，
（3）不等式等价于
，
因为函数是奇函数，
所以，
又因为函数在上为增函数，
所以，即.
解得.
所以实数的取值范围为（，1）.
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；
【正确答案】（1）
（2）存在点
【分析】（1）根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可得解；
（2）确定得到，再计算，，根据向量垂直关系，结合三角函数有界性得到答案.
【小问1详解】
向量的伴随函数为，
则，所以，
又，所以，所以，
故；
【小问2详解】
，
相伴特征向量为，
故，则，
，
设，，
故，，
，故，
即，，
，，
故，又，
当且仅当时，和同时等于，等式成立，
故在图像上存在点，使得.
关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解决本题的关键.