高考数学第二轮复习专题练习专题5.9 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（提高篇）（教师版）

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1．（5分）（2022·广西玉林·高二期末（理））设fx是定义在R上的可导函数，若limh→0fx0-h-fx0h=2a（a为常数），则f'x0=（ ）
A．-2aB．2aC．-aD．a
【解题思路】根据导数的定义及极限的性质计算可得；
【解答过程】解：f'x0=limh→0fx0-h-fx0-h=-limh→0fx0-h-fx0h=-2a.
故选：A.
2．（5分）（2022·江西·高二开学考试（理））若函数fx的导函数为f'x，且满足fx=2f'1lnx+2x，则fe=（ ）
A．0B．-1C．-2D．-4+2e
【解题思路】对fx求导，得到f'x=2f'1x+2，令x=1，得到f'1=-2，即可得到fx=-4lnx+2x，然后求fe即可.
【解答过程】由fx=2f'1lnx+2x，得f'x=2f'1x+2，令x=1，则f'1=2f'11+2，解得f'1=-2，所以fx=-4lnx+2x，fe=-4+2e.
故选：D.
3．（5分）（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；
C．在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
D．在t1,t2，t2,t3两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．
【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【解答过程】A选项，根据图象可知，在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.
B选项，根据图象以及导数的知识可知，在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，
B选项结论正确.
C选项，根据图象可知，在t2,t3这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，
C选项结论正确.
D选项，根据图象可知，在t1,t2这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在t2,t3这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选：D.
4．（5分）（2022·湖北·高三阶段练习）若直线y=kx+b是曲线f(x)=ex-3与g(x)=ex+2022-2022的公切线，则k=（ ）
A．10111012B．20222025C．20252022D．1
【解题思路】设直线y=kx+b与fx的图象相切于点P1x1,y1，与gx的图象相切于点P2x2,y2，求出f'x，g'x，由点P1x1,y1、点P2x2,y2在切线上，得切线方程，进而即得.
【解答过程】设直线y=kx+b与f(x)=ex-3的图象相切于点P1x1,y1，与gx=ex+2022-2022的图象相切于点P2x2,y2，
又f'x=ex-3，g'x=ex+2022，
所以y1=ex1-3，y2=ex2+2022-2022，
由点P1x1,y1在切线上，得切线方程为y-ex1-3=ex1-3x-x1；
由点P2x2,y2在切线上，得切线方程为y-ex2+2022+2022=ex2+2022x-x2，
故ex1-3=ex2+2022ex1-31-x1=ex2+20221-x2-2022，
解得x1-x2=2025，ex1-3=20222025，
故k=ex1-3=20222025.
故选：B.
5．（5分）（2022·四川自贡·一模（理））已知fx=-x2-csx，若a=fe-34，b=fln45，c=f-14，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．cln54，即14>ln54,
所以e-34>14>ln54,
所以fe-340，函数fx单调递增，
所以，fxmin=f-c-1=-e-c-1=-e，解得c=-2，
故fx=x-2ex，由fx>0可得x>2，
所以，不等式fx>0的解集是2,+∞.
故选：B.
7．（5分）（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数fx=ax-ax（a>1），且fx在1,2有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A．1,2B．1,eC．2,eD．e,e2
【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义等价转化，构造函数g(x)=xlna-lnx-lna，再借助导数探讨函数g(x)在1,2有两个零点作答.
【解答过程】a>1，x∈1,2，由f(x)=0得，ax=ax，则xlna=lnx+lna，令g(x)=xlna-lnx-lna，
依题意，函数g(x)在1,2有两个零点，显然g(1)=0，而g'(x)=lna-1x在1,2上单调递增，
则有lna-1≤g'(x)≤lna-12，当lna-1≥0或lna-12≤0，即a≥e或10，所以h'(x)>0，
所以h(x)在x∈0,+∞上单调递增，
又h(12)=e4-10，
所以h(x)在12,1上存在唯一的零点x0 满足
x02ex0-1=0⇔x02ex0=1，
此时当00，
所以g(x)在0,x0单调递减，在x0,+∞上单调递增，
所以g(x)min=g(x0)=x02ex0-2lnx0-x0+4，
因为x02ex0=1，
所以lnx02ex0=ln1⇔lnx02+lnex0=0⇔2lnx0+x0=0，
所以g(x)min=1-0+4=5，
所以a≥5，
所以a有最小值：5，
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·黑龙江·高二阶段练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c（单位：mg/mL）随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在[t1,t2]，[t2,t3]两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
【解题思路】根据已知血管中的药物浓度c随时间t变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
【解答过程】A：在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；
C：根据平均变化率公式，可知在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是c3-c2t3-t2，正确；
D：在[t1,t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c2-c1t2-t1，在[t2,t3]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是c3-c2t3-t2，显然不相等，正确．
故选：ACD．
10．（5分）（2022·福建宁德·高三期中）已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0使得fx0=f'x0，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（ ）
A．fx=xB．fx=exC．fx=tanxD．fx=1x
【解题思路】根据“巧值点”的定义，结合导数运算，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【解答过程】对A：fx=x，则f'(x) =1，令fx= f'(x)，则x=1，故f(x)有“巧值点”；
对B：fx=ex，则f'(x) = ex，因为fx= f'(x)恒成立，故任意的x∈R，都是f(x)的“巧值点”；
对C：fx=tanx，则f'(x) =1cs2x，令tanx=1cs2x，整理得sin2x=2，方程无根，
故fx=tanx没有“巧值点”；
对D：fx=1x定义域为{x|x>0}，则f'(x) =-12xx0，
显然fx= f'(x)无根，故fx=1x没有“巧值点”.
故选：AB.
11．（5分）（2022·江苏·高三期中）已知函数fx=x3-2x2-4x-7，其导函数为y=f'x，下列说法正确的是（ ）
A．函数y=fx的单调减区间为-23,2
B．函数y=fx的极小值是-15
C．当a>2时，对于任意的x>a，都有fx0，
则x2
所以fx在-∞,-23，2,+∞单调递增
在-23,2单调递减
所以函数的极小值为f2=-15，
故选项B正确；
由f'a=3a2-4a-4，
若fx1e时，fx0，利用导数求得gxmax=12e，从而可证得fxe.
【解答过程】对于A，当a=1时，fx=2lnx-x2x>0，则f'x=2x-2x=21-x2x，
令f'x>0，得00，gx单调递增；当x∈e,+∞，g'x1e，所以a2>12e，故a2>lnxx2，整理得2lnx-ax2t2>0，则由lnt1=at1lnt2=at2得到a=lnt1-lnt2t1-t2，
要证t1t2>e2，只需要证明lnt1+lnt2>2，
即只需证明：lnt1+lnt2=at1+t2=t1+t2lnt1-lnt2t1-t2>2，
只需证明：lnt1-lnt2>2t1-t2t1+t2，即lnt1t2>2t1t2-1t1t2+1，
令m=t1t2>1，
只需证明：lnm>2m-1m+1m>1，
令sm=lnm-2m-1m+1m>1，
则s'm=m-12mm+12>0，即sm在1,+∞上单调递增，
又s1=0，所以sm>s1=0，即lnm>2m-1m+1m>1恒成立，
综上所述，原不等式成立，即x1x2>e成立，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·广东·高二阶段练习）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 809πcm/s ．
【解题思路】利用体积公式计算得到h=1280t3π13，再求出水深为4 cm，对应的时间为t0的大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【解答过程】由题意，设t时刻水面高为h，水面圆半径为r, 则rh=38可得 r=38h，
此时水的体积为 13×π×r2×h=3π64h3，
又由题设条件知，此时的水量为20t，
故有20t=3π64h3, 故有h=1280t3π13，
h'=13×1280t3π-23×12803π，
当水深为4 cm，对应的时间为t0，则t0=3π20，
h't=t0=13×1280×3π203π-23×12803π =809π，
所以当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为809πcm/s，
故答案为：809πcm/s.
14．（5分）（2022·全国·高二专题练习）已知2fx+xf'x=2xcs2x+2csx+sinx2，且x>0，fπ2=5，那么fπ= 2 .
【解题思路】在题中等式两边同乘x可得x2fx'=x2sin2x+x2+c'，可得出fx=sin2x+1+cx2，由fπ2=5可求得c的值，进而可求得fπ的值.
【解答过程】因为2fx+xf'x=2xcs2x+2csx+sinx2=2xcs2x+2sin2x+2，
所以，2xfx+x2f'x=2x2cs2x+2xsin2x+2x=x2sin2x+x2+c'，
即x2fx'=x2sin2x+x2+c'，所以，x2fx=x2sin2x+x2+c，
因为x>0，则fx=sin2x+1+cx2，
所以，fπ2=1+cπ24=5，解得c=π2，所以，fx=sin2x+1+π2x2，
因此，fπ=2.
故答案为：2.
15．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）已知函数fx=-13x3+x+b，给出以下说法：
①当fx有三个零点时，b的取值范围为-23,23；
②gx=fx-b是偶函数；
③设fx的极大值为M，极小值为m，若M+m=2，则b=2；
④若过点P1,1可以作fx图象的三条切线，则b的取值范围为0,13.
其中所有正确说法的序号为 ①②④ .
【解题思路】利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断①，根据偶函数的定义判断②，结合函数的单调性求出函数的极值，判断③，结合导数的几何意义判断④.
【解答过程】因为fx=-13x3+x+b，所以f'x=-x2+1=-x+1x-1，
所以当x>1时，f'x0得00时，由g(0)=0知：若∃x2∈R使得g(x2)=k，则x2>0，
当k1．故①正确．
②当k>0时，由fx1=gx2=k得：lnx1x1=x2e-x2，即lnx1x1=lnex2ex2，
∴x1,ex2可看成lnxx=k的两零点，
作出y=lnxx的图象如下：
由图象易知：x1或ex2均可趋向于+∞，故②错误；
③当k0⇒x>1，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x=1处取得极小值，无极大值，
且极小值为f(1)=1；
（2）F(x)=x2-2lnx-x2+ax2+1=ax2-2lnx+1(x>0)，
F'(x)=-2ax3-2x=-2x2+2ax3，
令F'(x)>0⇒01)，
设g(t)=lnt-2(t-1)t+1(t>1)，则g'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0，
所以函数g(t)在(1,+∞)上单调递增，有g(t)>g(1)=0，
即lnt>2(t-1)t+1在(1,+∞)上恒成立，所以-2af'(0)=1-ae>0，此时f(x)递增，f(x)0；当x>0时，g'(x)1-ae>0，
f'(1a)=11a+1-a(1a+1)e1a+1≤11a+1-a(1a+1)(1a+2)=-2a3-4a2-4a-1a(a+1)ex1+1，(ln(x+1)≤x,x∈(-1,+∞))
所以由ex0+1+2lnx0+1>ex1+1可得x0+1+2lnx0+1>x1+1，
即2lnx0+1>x1-x0，又因为2lnx0+1x1.
22．（12分）（2022·全国·模拟预测）设函数f(x)=xekx+a，f'x为fx的导函数.
(1)当k=-1时，
①若函数fx的最大值为0，求实数a的值；
②若存在实数x>0，使得不等式fx≥x-lnx成立，求实数a的取值范围.
(2)当k=1时，设gx=f'x，若gx1=gx2，其中x1≠x2，证明：x1x2>4.
【解题思路】(1)① 当k=-1时，对f(x)求导，得到函数单调性，即可求得函数的最值.
② 要求fx≥x-lnx恒成立时a的取值范围，等价于a≥lnexx-xex，构造新的函数，将问题转化为求新构造函数的最大值，问题即可解决.
(2)当k=1时，fx=xex+a，求导即可得到gx的函数表达式，对gx求导，得到函数gx的图像，设x10时，易知1x+1ex>0，
所以qx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以qxmin=q1=1-ln1-1e=1-1e，
所以a≥1-1e，即实数a的取值范围为1-1e,+∞.
（2）当k=1时，fx=xex+a，f'x=x+1ex，
所以gx=x+1ex，所以g'x=x+2ex，
所以gx在-∞,-2上单调递减，在-2,+∞上单调递增，
所以gxmin=g-2=-e-20，
即gx>g4x在-2,-1上恒成立，又x2∈-2,-1，
所以gx2>g4x2，原不等式得证. 函数ΔyΔx区间
[0,2]
[2,4]
[4,6]
[6,8]
f1(x)＝2x
2
2
2
2
f2(x)＝x2
2
6
10
14
f3(x)＝2x
32
6
24
96