贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试卷（含解析）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州2025届高三模拟统测数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.现有一组数据12，13，12，15，18，19，20，则这组数据的第40百分位数为( )
A. 12B. 13C. 15D. 18
2.复数1|1+i|i的虚部为( )
A. − 2B. − 22C. 2D. 22
3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⋅b=|b|，则x=( )
A. −34B. −32C. 0D. 34
4.若f(x)是最小正周期为6π的偶函数，则f(x)的解析式可以为( )
A. f(x)=tanπ6B. f(x)=sinx3C. f(x)=|tanx3|D. f(x)=csx3
5.已知第一个正四棱台的上底面边长为2 2cm，下底面边长为4 2cm，侧棱长为4cm，第二个正四棱台的上底面、下底面边长与第一个相同，但高为第一个正四棱台的3倍，则第二个正四棱台的体积为( )
A. 56 3cm3B. 56 14cm3C. 112 3cm3D. 60 14cm3
6.在规定时间内，甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，且这三人是否能按时完成任务相互独立.记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X，则E(X)=( )
A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8
7.若a=−lg0.220，b=lg624，c=lg312，则( )
A. c>a>bB. b>a>cC. a>b>cD. c>b>a
8.设直线l1：xsinθ+ycsθ=sin(θ−π6)+1，l2：xcsθ−ysinθ=cs(θ−π6)+1.若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q都相切，则圆Q上一点到点A(0,1)的距离的最大值为( )
A. 2B. 3+1C. 3D. 2+ 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A={x∈N|(x−2)(x−12)0)B. f(x)=ex
C. f(x)=sinx(0≤x≤2π)D. f(x)=sinx(0≤x≤π)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x4+9y4=10，则x2y2的最大值为______，此时x2= ______．
13.若函数f(x)满足2f(x)+f(1−x)=x3+6x2−5x+2，则f(1)= ______．
14.在三棱锥P−ABC中，O为△ABC的外心，PO⊥底面ABC，PO=3，∠ACB=5π6，且AB=2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知抛物线C：y=23(x2−9)经过双曲线D：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点，且D的离心率为3 77．
(1)求D的方程；
(2)C与D的4个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
16.(本小题12分)
如图，CD⊥平面ABC，AC⊥BC，点D，E位于平面ABC的两侧，B，C，D，E四点共面，且BC=CD=2，AC=3，BE=CE= 10．
(1)证明：BC⊥平面ACD．
(2)过点E作平面ABC的垂线，指出垂足H的位置，并说明理由．
(3)求平面ABD与平面ABE夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足an+1=3an−2n−2n+3n(n+1)+4，且a2=232.设bn=an−2n−1n．
(1)求a1；
(2)证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{n(an−3n)}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
若函数f(x)的导函数f′(x)满足f(x)+x(x+1)f′(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，则称f(x)为T函数．
(1)试问g(x)=lnx是否为T函数？说明你的理由．
(2)若f(x)=x2−ax为T函数，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
现有2n(n∈N∗)位编号为1到2n的玩家，房间里有2n个盒子(盒子的编号为1到2n)，将2n张编号为1到2n的纸条随机放入这2n个盒子内(每个盒子内只放1张纸条).玩家依次进入房间，且每人可以打开其中的任意n个盒子，只有当每个玩家都找到与自己编号相同的纸条时，才算挑战成功.每个玩家开完盒子后都将盒子盖上(纸条放回原处)，恢复盒子的原状.设各玩家开盒相互独立，在挑战开始后，各玩家不准交流．
为了提升挑战成功的概率，有人设计了一个新方案：让每一位玩家进入房间后，先打开编号为自己编号的盒子(例如编号为2的玩家打开编号为2的盒子)，若盒子里的纸条编号恰为玩家自己的编号，则该玩家退出房间，让下一位玩家进入房间；若盒子里的纸条编号(设该编号为X)不是该玩家自己的编号，则该玩家接着去打开编号为X的盒子，依此类推，直到打开的盒子里的纸条编号与自己的编号相同，且前提是打开盒子的个数不能超过n．
(1)当n=3时，设第m(m=1,2,3,4,5,6)个盒子内放的纸条编号为7−m，试问采用新方案后，挑战是否能成功？说明你的理由．
(2)当n=3时，在第1个和第6个盒子内放的纸条编号分别为6和1的前提下，求采用新方案挑战成功的概率．
(3)当n=50时，求采用新方案挑战成功的概率．
参考数据：i=2501i=3.47，i=511001i=0.689．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：将数据12，13，12，15，18，19，20从小到大排列为：
12，12，13，15，18，19，20，
由7×40%=2.8，得这组数据的第40百分位数为第三个数，等于13．
故选：B．
根据百分位数的定义求解即可．
本题考查百分位数的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵|1+i|= 2，
∴1|1+i|i=1 2i=− 22i，
则虚部为− 22，
故选：B．
由模长公式及复数的除法运算即可求解．
本题考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，向量a=(2,1)，b=(1,x)，
若a⋅b=|b|，则有2+x= 1+x2，
变形可得：4+4x=1，
解得x=−34．
故选：A．
根据题意，由数量积的坐标计算公式可得
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=tanπ6为常函数，故A错误；
由f(x)=sinx3，得f(−x)=sin−x3=−sinx3=−f(x)，函数为奇函数，故B错误；
由周期公式可知：g(x)=tanx3的最小正周期为：π13=3π，
则f(x+3π)=|tanx+3π3|=|tan(x3+π)|=|tanx3|=f(x)，故周期为3π，故C错误；
由f(x)=csx3，得f(−x)=cs−x3=csx3=f(x)，函数为偶函数，
由周期公式可得最小正周期为2π13=6π，故正确．
故选：D．
根据三角函数的周期性公式及偶函数的概念即可求解．
本题考查三角函数的图象与性质，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵第一个正四棱台的上底面边长为2 2cm，下底面边长为4 2cm，
∴第一个正四棱台的上、下底面对角线长分别为4cm，8cm，
又侧棱长为4cm，
∴第一个正四棱台的高ℎ= 42−22=2 3cm，
可得第二个正四棱台的高为3ℎ=6 3cm，
则第二个正四棱台的体积为V=13×6 3×[(2 2)2+ (2 2)2×(4 2)2+(4 2)2]=112 3cm3．
故选：C．
由已知求得第一个棱台的高，可得第二个棱台的高，再由棱台体积公式求解．
本题考查棱台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，记甲、乙、丙三人中能按时完成这项学习任务的人数为X，
则X的取值为0，1，2，3，
且甲、乙、丙能完成某项学习任务的概率分别为0.5，0.6，0.5，
则P(X=0)=0.5×0.4×0.5=0.1；
P(X=1)=0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5=0.1+0.15+0.1=0.35；
P(X=2)=0.5×0.6×0.5+0.5×0.4×0.5+0.5×0.6×0.5=0.15+0.1+0.15=0.4；
P(X=3)=0.5×0.6×0.5=0.15；
则E(X)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6．
故选：B．
根据题意X的取值为0，1，2，3，再利用相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识可解．
本题考查相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由b=lg6(4×6)=2lg62+1，c=lg3(4×3)=2lg32+1，
a=−lg0.220=−lg15(4×5)=2lg52+1，
且lg32>lg52>lg62，
则c>a>b．
故选：A．
根据对数的运算，化简题干中的对数式，结合参数大小与对数函数图象的关系，可得答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由l1：xsinθ+ycsθ=sin(θ−π6)+1，
得xsinθ+ycsθ= 32sinθ−12csθ+1，
由l2：xcsθ−ysinθ=cs(θ−π6)+1，
得xcsθ−ysinθ= 32csθ+12sinθ+1，
设Q(m,n)，则点Q到直线l1的距离为d1=|msinθ+ncsθ− 32sinθ+12csθ−1| sin2θ+cs2θ，
点Q到直线I2的距离为d1=|mcsθ−nsinθ− 32csθ−12sinθ−1| sin2θ+cs2θ，
要使点Q为定点，且d1=d2，则m= 32,n=−12即Q( 32,−12)，
此时定圆C的圆心为Q( 32,−12)半径为1，
所以圆Q上一点到点A(0,1)的距离的最大值为|AQ|+1= 34+94+1= 3+1．
故选：B．
先化简直线l1和l2的方程，表示出点Q到直线l1的距离以及点Q到直线l2的距离，结合点Q为定点，且d1=d2，即可得到定圆Q的圆心为Q( 32,−12)半径为1，进而求解即可．
本题主要考查与圆有关的最值问题，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A={x∈N|20，
所以ℎ(x)>0对x∈(12,+∞)恒成立，故g(x)=lnx为T函数．
(2)由f(x)=x2−ax，则f′(x)=2x−a，
因为f(x)=x2−ax为T函数，
所以x2−ax+x(x+1)(2x−a)>0对x∈(12,+∞)恒成立，
即2x3+3x2−ax2−2ax>0对x∈(12,+∞)恒成立，
设p(x)=2x3+3x2−ax2−2ax，x∈(12,+∞)，
则p′(x)=6x2+6x−2ax−2a=2(x+1)(3x−a)，
当a3>12，即a>32时，令p′(x)>0，得x>a3；令p′(x)