2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二下册第一次月考（3月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省宁德市福鼎市高二下册第一次月考（3月）数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（ ）
A. 轴对称B. 平面对称C. 轴对称D. 平面对称
【正确答案】C
【分析】根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案.
【详解】因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数，
所以点和点关于轴对称.
故选：C
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由基本初等函数求导法则即可得解.
【详解】由题意，，，.
故选：C.
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D. ，
【正确答案】A
【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.
【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是；
故选：A.
4. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 8
【正确答案】C
【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值.
【详解】∵，，，
∴，
∵、、三点共线，
∴，使得，
即，
∴，，解得．
故选：C．
5. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果.
【详解】根据导数的几何意义，
如图，分别表示在点处切线的斜率,
又，
由图可知，
故选：B.
6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围.
【详解】因为（），所以.
因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根.
由（）.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
且，，当时，.
所以要想方程（）有两个不同的解，须有，
即.
故选：D
7. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可.
【详解】设，，则，
在上单调递增，
对于A，，化简得，A正确；
对于B，，化简得，B错误；
对于C，，化简得，C错误；
对于D，，化简得，D错误.
故选：A
关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键.
8. 设实数，若对任意，不等式恒成立，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意可得对任意，不等式恒成立，令，，结合函数的单调性得到对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，构造函数，利用导数求出，即可得解.
【详解】因对任意，不等式恒成立
即对任意，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
因为，所以，又，所以，
令，，则，
所以在上单调递增，
由对恒成立，得到对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，，则，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，
故得，即的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【正确答案】AD
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有一个零点
B. 的极小值为
C. 的对称中心为
D. 直线是曲线的切线
【正确答案】ACD
【分析】利用导数讨论函数的单调性，得出极值点，画出函数的大致图像即可判断A和B，利用函数关于某点中心对称的结论即可判断C，根据导数的几何意义求出曲线的切线方程即可判断D.
【详解】对于A：，令或，令，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，可画出函数的大致图像如图所示：
故A正确；
对于B：由选项A分析可知，函数的极小值为，故B错误；
对于C：∵，故C正确；
对于D：令，又
∴斜率为-1切线方程为，即，故D正确；
故选：ACD
11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】ABD
【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可.
【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，
且，则，所以，A正确；
B选项：因为，且，则，即，
因为在上单调递增，所以，B正确；
C选项：令，则，
可知上单调递增，
因为，所以，即，
又因为，则，可得，
所以，C错误；
D选项：由C可知，且，
则，
令
当单调递增，所以，所以，
所以，
所以，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数在处有极值10，则实数_________．
【正确答案】
【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得.
【详解】由求导得，，
依题意，①，②，
联立① ，② ，解得：或.
当，时，，
，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去；
当，时，，
，当时，，此时为减函数，
当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意.
故答案为.
13. 已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______.
【正确答案】或(写出其中一条即可)
【分析】分别设、并利用导数几何意义写出切线方程，根据所得切线相同列方程求参数，即可得切线方程.
【详解】设公切线与相切于点，与相切于点，
，，则公切线斜率，
公切线方程为或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切线方程为或.
故或