2021年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试卷

这是一份2021年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量90分钟，满分100分．
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2. 如果向量，，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
5. 已知是定义在R上的偶函数，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
6. 已知集合，，如果，那么实数等于
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
7. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
8. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
9. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
10. 不等式的解集是（ ）
A B.
C. 或D. 或
【答案】B
11. 空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ）
A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上均有可能
【答案】D
12. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
13. 幂函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
14. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A. 至多有1次中靶B. 2次都中靶
C. 2次都不中靶D. 只有1次中靶
【答案】C
15. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，是基础题.
16. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点
A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
【答案】C
17. 袋中装有1个红球，3个黄球，现抽取2个球，则这2球中有红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
18. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
19. _______．
【答案】
20. 函数（）的最小值是________．
【答案】6
21. 体积为1的正方体其外接球的表面积为________．
【答案】
22. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则 C＝ ______.
【答案】
三、解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上．将这些成绩分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．

（1）求抽出的60名学生中分数在内的人数；
（2）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．
【答案】（1）人
（2）人
【解析】
【分析】（1）根据所有小矩形面积和为1,可求得分数在内的频率,即可求得人数.
（2）先求得成绩不小于85分的频率,再根据总人数求得优秀人数.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知,所有小矩形面积和为1,则分数在内的频率为
所以人数为人．
【小问2详解】
成绩不小于85分的频率为
则该校的优秀人数为人．
24. 正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求该三棱柱的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；
（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.
【小问1详解】
证明：连接，设，连接
∵是正三棱柱的侧面，
∴为矩形，
∴是的中点，
∴是中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点
所以，，
故，
又平面，，
所以正三棱柱的体积
25. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式.
【答案】（1）
（2）增函数；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
，解得：，
，而，解得，
.
【小问2详解】
函数在上为增函数；
证明如下：任意且，
则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为增函数.
【小问3详解】
由题意，不等式可化为，
即解不等式，所以，
所以，解得
所以该不等式的解集为