相交线与平行线的常考题型（6大热考题型）（解析版）-中考数学二轮专题练习

这是一份相交线与平行线的常考题型（6大热考题型）（解析版）-中考数学二轮专题练习，共35页。
题型一：方位角
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
【变式1-1】（2024·河北唐山·二模）如图，琪琪家位于点北偏东方向，则点，，，中可能表示琪琪家的是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是关键．
【详解】解：如图，琪琪家位于点北偏东方向，则点，，，中可能表示琪琪家的是点．
故选：D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东方向上，则市二中在省二院的（ ）
A．南偏东方向B．南偏西方向
C．北偏东方向D．北偏西方向
【答案】B
【分析】本题考查了方位角的应用，因为省二院在市二中北偏东方向上，所以市二中在省二院的南偏西方向，即可作答．
【详解】解：如图:
∵省二院在市二中北偏东方向上
∴市二中在省二院的南偏西方向
故选：B
2．（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）

A．
B．
C．是的中点
D．点在点的北偏东方向上
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，进而求得，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键．
【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，
故、正确，不符合题意；
、无法证明是的中点，
故不正确，符合题意；
、由题意知，
∴，
∴点在点的北偏东方向上，
故正确，不符合题意．
故选：．
题型二：垂直有关概念应用
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．
根据得到，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【变式2-1】（2023·河南洛阳·一模）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2-2】（2024·贵州贵阳·二模）如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义．首先求出，然后根据对顶角相等求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2-3】（20-21七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（ ）

A．点到的垂线段是线段B．与互相垂直
C．与互相垂直D．线段的长度是点到的距离
【答案】A
【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义对各个选项逐一分析即可得出答案，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴点到的垂线段是线段，故原说法错误，符合题意；
B、∵，
∴，即与互相垂直，故原说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴与互相垂直，故原说法正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即线段的长度是点到的距离，故原说法正确，不符合题意；
故选：A．
【变式2-4】（2024·河南商丘·模拟预测）如图，点O在直线上，于点O，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直可得，进而得出，再结合邻补角的定义，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：D．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·广东广州·模拟预测）如图，直线相交于点O，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角相等，垂线性质，角度的和差，根据对顶角相等求出的度数，从而求出的度数，根据垂线性质得出，最后根据求出结果即可．
【详解】解：，
，
，即
故选：B．
2．（2024·河南周口·三模）如图，直线AB、CD相交于点O，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直的定义，对顶角相等，先根据角的比值和垂直的定义得到，然后根据对顶角相等解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A.
3．（2024·北京西城·二模）如图，直线于点，射线在内部，射线平分，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与互余D．与互补
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得，从而可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而可得与不互余，再利用邻补角定义可得，从而利用等量代换可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，，
射线平分，
，
，
，
，
与不互余，
，
，
与互补，
故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4．（2024·四川乐山·二模）如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为 ．
【答案】30°/30度
【分析】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，由，得，再根据得，据此可求出的度数，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
5．（2024·广东深圳·模拟预测）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在水中的径迹．如图②，现将一束光以一定的入射角α（）射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线l为法线，若水深为，则线段 m．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意可得，则，，则，，即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，而，
∴，，
∴，
故答案为：．
题型三：平行线性质的应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【典例2】（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【变式3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【变式3-2】（2024·甘肃·模拟预测）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行的性质，余角的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质求出的补角，即可求出，即可求出答案．
【详解】解：设的邻补角为，
，，
，
，
故的余角为．
故选A．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论．
【详解】解：水面和杯底互相平行，
，
∵，
．
水中的两条光线平行，
．
故选：B．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，，分别与，相交，若，则β的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的对顶角为，根据题意，得，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设的对顶角为，根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，为法线，如图：
∵，
∴，
∴，
∴为法线，
∴，
∵为法线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
题型四：直角三角板在平行线中的应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数．
【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
【变式4-1】（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式4-2】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
【答案】/65度
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式4-3】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．
如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
由题意知，
，
故选：B．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北孝感·一模）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理，
根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案．
【详解】根据题意可知，
∴，
∴．
故选：C．
29．（2024·安徽阜阳·二模）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得，根据，求得，再根据三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
30．（2024·辽宁抚顺·一模）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为AB与DE的交点，下列结论中正确的个数是（ ）
（1）若CD平分，则
（2）若，则
（3）若，则
（4）若，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解．
【详解】解：由三角板可知，，，，，
（1）当CD平分，则，
，故（1）错误；
（2）若，且AB在的上方，则，
，故（2）错误；
（3）若时，且AD在的下方时，则，故（3）错误；
（4）若，且，则，故（4）正确，
故选：A．
31．（2024·湖南·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与DE相交于点M，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到，由三角形外角的性质即可求解．由，得到，由三角形外角的性质得到．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C
45．（2024·山西·模拟预测）如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶点在上，若，则 ．
【答案】/51度
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由题意可得，从而可求得的度数，再由平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
题型五：常见平行线模型的应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A．南偏东方向B．北偏西方向C．南偏东方向D．北偏西方向
【答案】A
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键．
作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案．
【详解】解：如图，作，
则，
，
，
，
，
科技馆位于小亮家的南偏东方向，
故答案为：A．
【变式5-1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【变式5-1】（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴与所成锐角的度数为为，
故选：．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．如图所示，过点G作，由平行线的性质得到，，然后求出的度数即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，过点G作，
由题意得，，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2015·广东深圳·三模）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
过C作直线l，
∵直线直线m，
∴直线直线，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果．
【详解】解：过作，


∵，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
故选：C．
4．（2024·湖北·模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，得出，利用平行线的性质得出，，进而得出答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
．
故选：C．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，过作，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C
6．（2024·辽宁·模拟预测）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中，，经使用发现，当时，挡车杆达到最高位置，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线．
过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出．
【详解】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．）如图，已知，，，则的度数为 °．
【答案】40
【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答．
【详解】解：过点C作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：40
题型六：平行线间的距离
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【变式6-1】（2024·河北保定·二模）如图，直线，直线于点A，直线于点B，点P从点A出发，沿着箭头方向前进，速度为；同时点Q从点B出发，沿着箭头方向前进，速度为．两点的运动时间为，直线a与b之间的距离为，则当点P与点Q距离最近时，t的值为（ ）
A．5B．6C．10D．15
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线的距离、解一元一次方程等知识，关键是找到点P与点Q距离最近时的位置是解答的关键．先证明，进而得到当与直线c垂直时点P与点Q距离最近，此时直线，则，进而由已知列方程求解即可．
【详解】解：如图，设直线d与直线a交于点C，
∵直线，直线于点A，直线于点B，直线a与b之间的距离为，
∴，，
故当与直线d垂直时点P与点Q距离最近，此时直线
∴，
∴，解得，
故选：B．
【变式6-2】（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点在直线上，、两点在直线上，且，是个钝角，若，则、两直线的距离可以是（ ）

A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据平行线之间的距离的定义即可得到答案．
本题考查了平行线之间的距离，两条平行线中，过其中一条直线上任意一点向另外一条直线作垂线，这个点和垂足之间的线段的长就是这两条平行线之间的距离．熟练掌握平行线之间距离的概念是解题的关键．
【详解】根据平行线之间的距离的定义可得、两直线的距离应该小于5，
故选：D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，的面积为10，点D，E，F分别在边AB，，CA上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系．
由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案．
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∵两个三角形有公共底，且面积相等，
∴高相等，
∴，
从而可得：，
∴，
又，
，
即，
故选：C．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与反射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，先根据反射角等于入射角求出的度数，再求出的度数，最后根据平行线的性质得出即可．能灵活运用平行线的性质定理推理是解题的关键．
【详解】解：∵入射角等于反射角，，
∴，
∴，
∵入射光线与反射光线平行，
∴．
故选：B．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，，，分别是直线，上的点，，，则直线与之间的距离为
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，两平行线间的距离．作于，根据锐角三角函数求出，根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离即可求解．
【详解】解：作于，如图：
∵，，
∴，
则直线与之间的距离为．
故答案为：．
4．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，进而得到，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：8．