吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：90分钟 满分：120分
命题人：杨志勇 付盼盼 审题人：杨志勇 付盼盼
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ）
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可.
【详解】依题意，，而，解得，
所以146是该数列的第12项.
故选：C
2. 对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量u，v由观测数据得散点图2．表示变量x，y之间的线性相关系数，表示变量u，v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与y呈现正相关，且B. 变量x与y呈现负相关，且
C. 变量u与v呈现正相关，且D. 变量u与v呈现负相关，且
【答案】A
【解析】
【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.
【详解】观察散点图，得变量x与y呈现正相关，变量u与v呈现负相关，BC错误；
图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好，因此，A正确，D错误.
故选：A
3. 若随机变量服从两点分布，，则为（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.6D. 0.65
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合，列出方程，求得，进而求得的值，即可求解.
【详解】由随机变量服从两点分布，则，
因为，可得，解得，
所以
故选：B.
4. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率.
【详解】随机变量，且，
则.
故选：B
5. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出,然后利用条件概率公式求解即可.
详解】由题意得，
所以.
故选：C
6. 数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可.
【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.
故选：A
7. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长. 已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（ ）
（参考公式：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2026年z的预测值，代入即可得解.
【详解】因为
所以
即经验回归方程
当时，
所以
即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为.
故选：C.
8. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出小球落入第号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号.
【详解】设选定的格子编号为，则小球碰撞过程中有次向右边滚落，
落到该格子的概率为，此时其数学期望为，
令，则，
当时，，当时，，所以当时，最大，D正确.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，，是变量x和y的2025个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线，如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 直线l一定过点
B. 直线l一定过点
C. x和y的样本相关系数在区间上
D. 因为2025是奇数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定不相同
【答案】AC
【解析】
【分析】经验回归方程一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，可判断A B，根据图象特点可判断CD．
【详解】对于A、B，经验回归方程一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误；
对于C，由题图可知x和y是负相关，则样本相关系数在区间上，故C正确；
对于D，不能因为2025是奇数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数不相同，故D错误．
故选：AC
10. 在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，那么在本次运动会上（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二项分布概率公式来解析各选项即可.
【详解】由于该名运动员在这3个项目中，每个项目都能打破世界纪录的概率都是，
所以该名运动员能打破世界纪录项目数为，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由，得，故D正确；
故选：ACD.
11. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据．从该地的人群中任选一人，设A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．则下列选项正确的是（ ）
附：，
A. 依据的独立性检验，可推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
B. 利用该调查数据，可得到的估计值为0.4，的估计值为0.1
C. .
D. 利用该调查数据，可得到R的估计值为5
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项A，可由列联表，结合所给公式，求出的值，根据小概率值的独立性检验，即可判断；对于选项B，由已知条件，可直接求得的值，即可判断；对于选项C，可利用公式证明；对于选项D，由已知条件，分别求出的值，即可求出R的值，即可判断．
【详解】对于选项A，由列联表得
所以根据小概率值的独立性检验，认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异，故选项A正确；
对于选项B，由已知得故选项B正确；
对于选项C，由题意得，
又
所以，故选项C正确；
对于选项D，由已知得，
所以，故选项D错误.
故答案选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列的前n项和，则通项______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用前n项与第项的关系求出通项公式.
【详解】数列的前n项和，
当时，，而，满足上式，
所以.
故答案为：
13. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占55%，25%，20%，各厂的产品的次品率分别为2%，4%，5%．现从中任取一件，则取到的是次品的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合全概率公式，代入计算，即可求解.
【详解】设表示“取到一件次品”，表示“取到的产品由甲乙丙三厂生产的，其中”，
则，
且,
由全概率公式，可得
,
即取到的是次品的概率是.
故答案为：.
14. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量______次．（若，则）
【答案】48
【解析】
【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可.
【详解】由误差，得，
由误差在的概率不小于0.9973，得，
因此，解得，于是，解得，
所以至少要测量48次.
故答案为：48
四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
【答案】（1）概率分布见解析，
（2）3
【解析】
【分析】（1）由分布列及均值定义计算即可得；
（2）由二项分布均值公式计算即可得.
【小问1详解】
X的可能取值为1，2，3，，
故抽取次数X的概率分布为：
；
小问2详解】
每次检验取到新球的概率均为，故，所以．
16. 近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加.下表为某城市统计的近5年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增新能源汽车的数量.
（1）计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.
（2）求关于的经验回归方程，并据此估计该城市2026年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：.参考公式：.
【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系.
（2），估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
【解析】
【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数性质分析理解；
（2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果.
【小问1详解】
由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系.
【小问2详解】
由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市2026年新增燃油车5.14万辆.
17. 椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用代入法结合弦长得到等式，再结合椭圆离心率公式、进行求解即可；
（2）由角平分线的性质，结合点在椭圆上的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得半焦距，，
将代入椭圆方程，得，则，因此，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，又，
直线，的方程分别为，，
由的角平分线PM交C的长轴于点，得，
由点在椭圆上，得，即，则，
又，，于是，，
所以m的取值范围是.
18. 甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球，规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：
（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率：
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．
（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列：
(ii）在的条件下，从A盒取出放入B盒的球最有可能是什么颜色？
【答案】（1）；
（2）（i）分布列见解析；(ii）红球
【解析】
【分析】（1）记“在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球”为事件，利用概率的乘法公式求得，即可求解；
（2）（i）由题意得到随机变量可以取，利用全概率的概率公式求得相应的概率，列出分布列；(ii）利用全概率公式计算即可.
【小问1详解】
记“在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球”为事件，
所以由条件概率可知，
所以在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球的概率为.
【小问2详解】
（i）由题意，可知随机变量可以取，
可得，
，
，
所以随机变量的分布列为
(ii）在的条件下，从A盒取出红球的概率为，
在的条件下，从A盒取出蓝球的概率为，
在的条件下，从A盒取出白球的概率为，
因，故在的条件下，从A盒取出放入B盒的球最有可能是红球.
年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码
1
2
3
4
5

2
2.4
3
3.6
4
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
5
新增新能源汽车万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8
红球
蓝球
白球
A盒
2
2
1
B盒
2
2
1