第三单元专题06 长方体正方体的体积解决问题特训二-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

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1．【思路分析】由题意，现在的水面高度10厘米是容器高度的一半，要使乌鸦喝到水，则需要使水面达到距瓶口2厘米处，而要衔入的小石子的体积应当等于此时瓶内空着的体积减去2厘米高的体积，根据长方体体积公式：长×宽×高，据此可得出答案。
【规范解答】10×（10－2）×15
＝10×8×15
＝80×15
＝1200（立方厘米）
答：它至少要衔1200立方厘米的小石头放进瓶里才能喝到水。
【考察方向】本题主要考查的是长方体体积的实际应用，解题的关键是认识放入的小石子体积等于上升的水面的体积，进而得出答案。
2．【思路分析】（1）根据题意，将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，即贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积；
（2）按水位线注入水，形成一个长150米、宽16米、高1.6米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出应注入水的体积。
【规范解答】（1）150×16＋150×2×2＋16×2×2
＝2400＋600＋64
＝3064（平方米）
答：贴瓷砖的面积是3064平方米。
（2）150×16×1.6
＝2400×1.6
＝3840（立方米）
答：应注入水3840立方米。
【考察方向】本题考查长方体的表面积、体积计算公式的灵活运用，求贴瓷砖的面积时要弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
3．【思路分析】（1）求水与鱼缸的接触面的面积即求长是6分米、宽是4分米、高是2分米的长方体的五个面的面积，即除了上面的面积以外其他的面积，根据长方体五个面的面积公式：S＝（ah＋bh）×2＋ab，据此解答即可。
（2）根据求不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此解答即可。
【规范解答】（1）（6×2＋4×2）×2＋6×4
＝（12＋8）×2＋24
＝40＋24
＝64（平方分米）
答：水与鱼缸的接触面的面积是64平方分米。
（2）6×4×（3－0.6－2）
＝24×0.4
＝9.6（立方分米）
答：假山和鱼的体积一共是9.6立方分米。
【考察方向】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。
4．【思路分析】由题意可知，改造前后橡皮泥的体积不变，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出橡皮泥的体积，已知长方体的长和宽，求高，根据h＝V÷a÷b，据此代入数值进行计算即可。
【规范解答】8×5×4÷10÷8
＝40×4÷10÷8
＝160÷10÷8
＝16÷8
＝2（厘米）
答：改造后长方体的高是2厘米。
【考察方向】本题考查长方体的体积，明确改造前后橡皮泥的体积不变是解题的关键。
5．【思路分析】（1）花瓶底部是个正方形，根据正方形面积＝边长×边长，列式解答即可；
（2）水面上升的体积就是鹅卵石的体积，先确定花瓶内部长和宽，用长×宽×水面上升的高度＝鹅卵石体积，据此列式解答。
【规范解答】（1）8×8＝64（平方厘米）
答：这个花瓶底部与桌面接触面的面积是64平方厘米。
（2）8－1×2
＝8－2
＝6（厘米）
6×6×5＝180（立方厘米）
答：这块鹅卵石的体积是180立方厘米。
【考察方向】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的长方体进行计算。
6．【思路分析】（1）求需要玻璃的面积就是求长方体的表面积，因为鱼缸无盖，所以需要减去鱼缸上面的面积；
（2）金鱼的体积等于放入金鱼后上升部分水的体积，则金鱼的体积＝鱼缸的长×鱼缸的宽×上升部分水的高度，据此解答。
【规范解答】（1）（8×7＋8×6＋7×6）×2－8×7
＝（56＋48＋42）×2－8×7
＝146×2－8×7
＝292－56
＝236（平方分米）
答：做这个鱼缸需要玻璃236平方分米。
（2）8×7×（4.5－3）
＝8×7×1.5
＝56×1.5
＝84（立方分米）
答：这些金鱼的体积是84立方分米。
【考察方向】掌握长方体的表面积和体积计算公式，把金鱼的体积转化为上升部分水的体积是解答题目的关键。
7．【思路分析】观察图形可知，根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出酸梅汤的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出酸梅汤的高度。
【规范解答】1分米＝10厘米
10×10×10÷（10×5）
＝1000÷50
＝20（厘米）
答：此时酸梅汤的高度是20厘米。
【考察方向】本题考查正方体和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。
8．【思路分析】（1）已知水的体积是长100米、宽80米、高1.65米的长方体体积，根据长方体体积公式求解即可，已知每立方米的水重1吨，用水的体积乘1即可求出水的吨数；
（2）游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，已知每平方米瓷砖的价格是30元，则用游泳池的表面积乘30即可求出购买瓷砖需要的钱数。
【规范解答】（1）100×80×1.65×1
＝13200×1
＝13200（吨）
答：在游泳池中注入13200吨水才能使水深1.65米。
（2）100×80＋100×2×2＋80×2×2
＝8000＋400＋320
＝8720（平方米）
8720×30＝261600（元）
答：购买瓷砖一共需要261600元。
【考察方向】本题主要考查了长方体的表面积公式和体积公式的灵活应用，注意游泳池的表面积只有5个面。
9．【思路分析】（1）已知一根方钢的横截面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出横截面的面积；然后根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根方钢的体积；再乘每立方米钢的重量，即可求出这根方钢的重量。注意单位的换算：1米＝100厘米。
（2）用每根方钢的重量乘50，求出50根这样的方钢的重量，与货车的载重8吨作比较，得出结论。
【规范解答】（1）5厘米＝0.05米
0.05×0.05×6
＝0.0025×6
＝0.015（立方米）
0.015×8＝0.12（吨）
答：这根方钢重0.12吨。
（2）0.12×50＝6（吨）
6＜8
答：一辆载重8吨的货车能一次运载50根这样的方钢。
【考察方向】本题考查长方体的体积公式的灵活运用。
10．【思路分析】（1）鱼缸是无盖的，相当于求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出至少需要多少平方分米的玻璃。
（2）4个同样大小的小球完全浸没在水里后，4个小球的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为12分米，宽为4分米，高为0.5分米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，把数据代入求出4个小球的体积，再除以4即可求出每个小球的体积。
【规范解答】（1）12×4＋12×4×2＋4×4×2
＝48＋96＋32
＝176（平方分米）
答：至少需要176平方分米的玻璃。
（2）12×4×0.5÷4
＝24÷4
＝6（立方分米）
答：每个小球的体积是6立方分米。
【考察方向】这是一道长方体表面积和体积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，从而列式解答即可。
11．【思路分析】由题可知，求出边长50厘米正方形铁皮的面积减去4个边长5厘米的小正方形面积，即可得知这个长方形铁盒用了多少铁皮；长方形铁盒的长、宽、高应分别是（50－5×2）厘米、（50－5×2）厘米、5厘米，于是利用长方体的体积V＝abh即可求出铁盒容积。
【规范解答】（1）正方形铁皮的面积：50×50＝2500（平方厘米）
4个边长为5厘米的正方形铁皮面积：5×5×4
＝25×4
＝100（平方厘米）
长方形铁盒的面积：2500－100＝2400（平方厘米）
答：这个铁盒至少用了2400平方厘米铁皮。
（2）在四个角上分别剪去一个边长5厘米的小正方形后，
这个铁盒的长和宽分别是：50－5×2
＝50－10
＝40（厘米）
高是5厘米；
40×40×5
＝1600×5
＝8000（立方厘米）
答：这个铁盒的容积是8000立方厘米。
【考察方向】此题主要考查正方形、长方体的表面积和体积的计算方法在实际中的应用，关键是先求出铁盒的长、宽、高。
12．【思路分析】（1）根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，据此解答；
（2）根据题意可知：放入鹅卵石、水草和鱼后，上升部分水的体积等于这些鹅卵石、水草和鱼的面体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【规范解答】（1）40升＝40立方分米
50厘米＝5分米
40厘米＝4分米
40÷（5×4）
＝40÷20
＝2（分米）
答：水深大约是2分米。
（2）5×4×0.25
＝20×0.25
＝5（立方分米）
答：这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是5立方分米。
【考察方向】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
13．【思路分析】（1）答案不唯一，如长方体钢材体积是多少？根据长方体体积＝横截面×长，列式解答即可；
（2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，用长方体体积÷正方体体积＝锻造的个数，据此列式解答；
【规范解答】（1）长方体钢材体积是多少？
2米＝200厘米
5×5×200＝5000（立方厘米）
答：长方体钢材体积是5000立方厘米。
（2）5000÷（5×5×5）
＝5000÷125
＝40（个）
答：可以锻造40个这样的正方体。
【考察方向】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。
14．【思路分析】（1）根据题意，铁皮的四个角分别剪去一个边长是15厘米的正方形，可知长方体容器的长是（60－15×2）厘米，宽是（50－15×2）厘米，高是15厘米，再根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算，然后根据1升＝1000立方厘米，低级单位换算为高级单位除以进率，据此解答；
（2）已知水的容积是6升，水深＝水的容积÷底面积，底面积＝长×宽；据此解答。
【规范解答】（1）60－15×2
＝60－30
＝30（厘米）
50－15×2
＝50－30
＝20（厘米）
30×20×15
＝600×15
＝9000（立方厘米）
9000立方厘米＝9升
答：这个长方体容器的容积是9升。
（2）6升＝6000立方厘米
6000÷（30×20）
＝6000÷600
＝10（厘米）
答：水深10厘米。
【考察方向】此题考查了长方体的体积的计算，关键灵活运用公式。
15．【思路分析】（1）根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用50×40×30即可求出结果，然后把结果化为升作单位。
（2）根据乘法的意义，用汽油的升数×12即可求出这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米。
【规范解答】（1）50×40×30＝60000（立方厘米）
60000立方厘米＝60升
答：这个油箱能装60升汽油。
（2）60×12＝720（千米）
答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶720千米。
【考察方向】本题考查了长方体体积公式的应用以及容积（体积）单位的换算。
16．【思路分析】（1）用了两块①，②号和1块③号长方形的玻璃，那么把这5块玻璃的面积相加，就是做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃；
（2）根据题意可知，长方体鱼缸的长是4分米，宽是3分米，高是6分米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出54升水注入鱼缸后，鱼缸里水的深度，据此解答。
【规范解答】（1）6×3×2＋6×4×2＋4×3
＝18×2＋24×2＋12
＝36＋48＋12
＝84＋12
＝96（平方分米）
答：做这个鱼缸至少需要96平方分米的玻璃。
（2）54升＝54立方分米
54÷（3×4）
＝54÷12
＝4.5（分米）
答：水深4.5分米。
【考察方向】本题属于长方体表面积、容积的实际应用，解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
17．【思路分析】1分米＝10厘米＝100毫米，据此先将套装的长、宽、高单位换算到分米。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。根据长方体的表面积公式，列式求出这个套装的表面积。根据长方体的体积公式，列式求出这个套装的体积。
【规范解答】300毫米＝3分米，100毫米＝1分米
（3×1＋3×3＋1×3）×2
＝（3＋9＋3）×2
＝15×2
＝30（平方分米）
3×1×3＝9（立方分米）
答：这个材料套装的表面积是30平方分米，体积是9立方分米。
18．【思路分析】（1）根据题意，求制作这个包装盒需要多少平方分米纸板，就是求长方体的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。结果换算成以平方分米为单位的数。
（2）长方体的体积（或容积）＝长×宽×高，据此分别求出包装盒的容积和这件长方体物品的体积，再用包装盒的容积减去长方体物品的体积即可解答。
【规范解答】（1）（21×20＋21×40＋20×40）×2
＝（420＋840＋800）×2
＝2060×2
＝4120（平方厘米）
＝41.2（平方分米）
答：制作这个包装盒需要41.2平方分米纸板。
（2）21×20×40－35×15×20
＝16800－10500
＝6300（立方厘米）
答：至少需要6300立方厘米的填充物。
19．【思路分析】（1）根据题意可知，铺方砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2；
（2）根据题意可知，最多能盛水的质量＝长方体游泳池的长×宽×高×平均每立方米水的质量。
【规范解答】（1）25分米＝2.5米
10×6＋（10×2.5＋6×2.5）×2
＝60＋（25＋15）×2
＝60＋40×2
＝60＋80
＝140（平方米）
答：铺方砖的面积是140平方米。
（2）10×6×2.5×1
＝60×2.5×1
＝150×1
＝150（吨）
答：最多能盛150吨水。
20．【思路分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积；再根据h＝V÷a÷b，据此求出把这个容器竖起来放水面的高度；最后用竖起来水面的高度减去平放时水面的高度即可求解。
【规范解答】12×9×5
＝108×5
＝540（立方厘米）
540÷9÷8
＝60÷8
＝7.5（厘米）
7.5－5＝2.5（厘米）
答：如果把这个容器竖起来放，水面比原来上升了2.5厘米。
21．【思路分析】（1）根据所给数据，洗衣机是一个长方体，长方体体积＝长×宽×高，代入数据求出洗衣机的体积，再根据1000立方厘米＝1立方分米进行单位换算。
（2）1个洗衣机套所需要的布的面积是长方体5个面积的面积，即1个上底面和4个侧面的面积和，根据公式长方体的表面积（5个面）＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据求一个洗衣机套所用布的面积，再乘100，即可解答。注意根据10000平方厘米＝1平方米进行单位换算。
【规范解答】（1）50×40×70＝140000（立方厘米）＝140（立方分米）
答：一台洗衣机的体积是140立方分米.
（2）[50×40＋（40×70＋50×70）×2]×100
＝[2000＋（2800＋3500）×2]×100
＝[2000＋6300×2]×100
＝[2000＋12600]×100
＝14600×100
＝1460000（平方厘米）＝146（平方米）
答：做100个洗衣机套至少要用布146平方米。
22．【思路分析】（1）根据长方体鱼缸中水的体积＝长方体的底面积×水面高度，可用水的体积÷长方体的底面积＝水面高度，代入数据即可求解。
（2）用（铁块体积＋水的体积）÷长方体的底面积＝水面高度。此时水与鱼缸接触的面是下面和前后左右面共5个面，这5个面的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求解。
【规范解答】（1）75升＝75000毫升＝75000立方厘米
75000÷（60×50）
＝75000÷3000
＝25（厘米）
答：水深25厘米。
（2）18立方分米＝18000立方厘米
（75000＋18000）÷（60×50）
＝93000÷3000
＝31（厘米）
60×50＋60×31×2＋50×31×2
＝3000＋3720＋3100
＝9820（平方厘米）
答：此时水与鱼缸接触的面积是9820平方厘米。
23．【思路分析】（1）求水族箱的占地面积就是求水族箱的底面积；
（2）求需要玻璃的面积就是求长方体无盖水族箱的表面积，计算5个面的面积即可；
（3）最后利用长方体的体积＝长×宽×高，求出水族箱的体积，据此解答。
【规范解答】（1）6×0.6＝3.6（平方米）
答：这个水族箱的占地面积是3.6平方米。
（2）（6×1.5＋0.6×1.5）×2＋6×0.6
＝（9＋0.9）×2＋3.6
＝9.9×2＋3.6
＝19.8＋3.6
＝23.4（平方米）
答：用玻璃制作这个水族箱至少需要23.4平方米的玻璃。
（3）6×0.6×1.5＝5.4（立方米）
答：这个水族箱的体积有5.4立方米。
24．【思路分析】（1）根据题意，把一根长48分米的铝合金钢条焊接成一个长方体钢架，那么这根钢条的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高的和＝棱长总和÷4，再减去已知的长、宽，即是这个长方体钢架的高。
（2）这个长方体钢架的底面和四周用铁皮焊接成一个长方体水箱，顶面不焊接，则用铁皮的面是长方体的下面、前后面、左右面共5个面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是至少需要用铁皮的面积。
（3）根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，即可求出这个水箱的容积。
【规范解答】（1）48÷4＝12（分米）
12－5－4＝3（分米）
答：这个长方体钢架的高是3分米。
（2）5×4＋5×3×2＋4×3×2
＝20＋30＋24
＝74（平方分米）
答：至少需要74平方分米的铁皮。
（3）5×4×3
＝20×3
＝60（立方分米）
答：这个长方体水箱的容积是60立方分米。
25．【思路分析】1）用大盒子的体积除以小盒子的体积计算大盒子的体积是小盒子的几倍，大盒子能装的饼干也就是小盒子可装饼干的几倍，据此解答；
（2）礼品袋用的长是3分米＝30厘米，宽0.7分米＝7厘米，高3分米＝30厘米，分析大盒子和小盒子的长、宽、高可知，大盒子的高等于2个小盒子上下叠放以后的高，15＋15＝30厘米，小盒子的宽度和大盒子相等，如果左边放一个大盒子，右边叠放两个小盒子，组合以后的立体图形长为20＋10＝30厘米，宽为6厘米，高为30厘米，所以这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒；
（3）手袋是一个长方体，一个手袋需要的包装纸是不需要上表面的长方体表面积，100个手袋就是100个这样的表面积，由此可解答。
【规范解答】（1）小盒子体积：10×6×15
＝60×15
＝900（立方厘米）
大盒子体积：20×6×30
＝120×30
＝3600（立方厘米）
3600÷900＝4
4×150＝600（克）
答：大盒大约能装600克饼干。
（2）3分米＝30厘米，0.7分米＝7厘米
手提袋的长为30厘米，宽为7厘米，高为30厘米；
一个大盒子和两个小盒子按照如图方式组合，组合以后的立体图形如下：
长为20＋10＝30（厘米）
宽：7厘米＞6厘米
高为15＋15＝30（厘米）
答：这样一个手袋能装下一大两小的饼干盒。
（3）3×0.7＋3×3×2＋3×0.7×2
＝2.1＋18＋4.2
＝20.1＋4.2
＝24.3（平方分米）
24.3×100＝2430（平方分米）
答：生产100个这样的手袋至少需要2430平方分米的包装纸。