2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题04构造函数的应用(4大题型)练习(学生版+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26927" 题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等） PAGEREF _Tc26927 \h 1
\l "_Tc20149" 题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原） PAGEREF _Tc20149 \h 5
\l "_Tc25853" 题型03 构造函数求参数的最值（范围） PAGEREF _Tc25853 \h 9
\l "_Tc29769" 题型04 构造函数证明不等式 PAGEREF _Tc29769 \h 13
题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得.
【详解】记，则，
可知在上单调递增，则，即，
可得；
又因为，则，即；
所以.
故选：B.
2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为，构造函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系即可求解.
【详解】由已知，即.
设，则，.
，，.
当时，，
在上单调递增，所以.
故选：B.
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数，
利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系.
【详解】因为，所以；
因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；
构造函数，则，
令，则，
显然在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
从而，故有，整理得，
所以，故．
故选：B
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设，，，则的大小关系为：（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解即可．
【详解】令，求导得，，，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以，
所以，设，则，
记，则，记，
则，所以在上单调递增，
故时，，即，
所以在上单调递增，故时，，
即，所以在上单调递增，
故时，，即，所以，
又，所以，即，所以．
故选：A
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对分别取对数并作商，再构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】由，得，
令，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此；
令，求导得，当时，，
即，函数在上单调递减，则，
即，，因此，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对被比较大小的两个数取对数并作商，再构造函数是求解问题的关键.
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设，则，故单调递增.
又，故可转化为，即，
由单调递增可得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：.
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论.
【详解】不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故选：B.
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解.
【详解】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
故在上单调递减，
不等式可变形为
，
即，
所以且，解得.
故选：A
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，结合题意得，所以在0,+∞上单调递增，，即，即，根据单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
因为，所以，
所以在0,+∞上单调递增，
，即，
又，则，
所以，即，
所以，解得.
故选：.
题型03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】由条件得，构造函数，利用导数求出的最小值，从而得出答案.
【详解】，
当且仅当时，等号成立.
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
∴当且仅当时，取得最小值，且最小值为.
故选：A.
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】利用同构可得，再结合导数讨论新函数的单调性后可得的最小值.
【详解】因为，故，
而为0,+∞上的增函数，故即，故，
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故，
故选：B.
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知，若函数，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】由函数，等价于即在R上恒成立，由可得，再分析函数的单调性，即可求出的最小值.
【详解】函数，等价于，
即在R上恒成立，
即，.则，
令，对其求导得，
当在上单调递减，当在单调递增，
所以
故选：B
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数在区间单调递减，当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得在上单调递增，由此脱去不等式中，分离参数构造函数，利用导数求出最值即可得解.
【详解】由函数为偶函数，且在单调递减，得在上单调递增，
当时，，
令，，求导得，在上单调递增，
则，因此；令，，，
函数ℎx在上单调递减，则，因此，
所以的取值范围是.
故选：C
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可.
【详解】∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴，
∴的最小值为，
故选：B.
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，分和两种情况，参变分离得到，构造，求导得到其单调性，求出最小值为，得到.
【详解】，
令，则，
因为在R上单调递增，所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由得到，其中，
令，，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，
综上，.
故选：B
【点睛】关键点点睛：同构构造，从而令，得到，根据的单调性得到，再进行下一步求解.
7．（24-25高三上·河北·期中）当时，，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用同构思想，得到，构造函数，利用的单调性得到在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
【详解】因为，由，得到，即，
令，则，因为，所以在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，又，
所以，可得，即在区间上恒成立，
令，则，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得到，
故选D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用“同构”思想，将条件变形成，构造函数，利用的单调性，将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出在区间上的最大值，即可求解.
题型04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对于A，直接证明即可；对于B，使用导数工具证明即可；对于C，用导数说明不等式不成立即可；对于D，使用导数工具证明即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，设，则对x>1有，
所以fx在上递增，从而对有，即，故B正确；
对于C，设，则，
由于对，显然的导函数，
故在上单调递增.
从而对有，所以在上单调递增，
所以，即，故C错误；
对于D，设，则对有，
所以在上单调递增，从而，故D正确.
故选：C.
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.
【详解】对于A选项：令，，
，令 ，令，则，
即时，ℎ′x0，ℎx单调递增，f′x单调递增，
f′x有最小值，
所以在0,+∞单调递增，故，
所以即，故A选项错误；
对于B选项：由A可知：，
要证，即需要证明：，即，
即，，
令，
，令
，令，则，
即时，，单调递减，单调递减，
即时，，单调递增，单调递增，
所以有最小值，
所以ℎx在0,+∞单调递增，故，
所以成立，故B选项正确；
对于C选项：由得，
因为，所以，
所以，故C选项错误，
对于D选项：令，因为，
所以在0,+∞上单调递增，所以，
所以存在x∈0,+∞使得，即，
故D选项错误；
故选：B.
二、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值．
(2)当时，证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线斜率，求的值；
（2）首先将所证明不等式两边取对数，变形为，再构造不等式，利用导数判断函数的单调性，即可证明.
【详解】（1），则．
因为曲线y=fx在点1,f1处的切线斜率为2，
所以，即．
（2）当时，，要证，即证，
两边同时取对数得，即证
令，
则．
所以在0,1上单调递减，所以，
所以．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，证明：.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用求函数单调性的方法求解即可；
（2）两个方法，方法一，先将放大到，然后利用导数证明即可；方法二，直接两式求差，然后根据未知数和参数的范围证明即可.
【详解】（1）解，
令
得时，，当时，，
故单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
要证明，则只需证明，
令，
，
，
，当且仅当时，上式等号成立，
当时，在区间上单调递减，
，即，
当时，得证.
【方法二】证明：令，
，
，
，当且仅当时，上式等号成立，
，
又当时，在区间上单调递减，
，
当时，得证.
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数.
(1)若在0,+∞上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数单调转化为导数不小于0恒成立，分离参数后利用导数求最值即可；
（2）求函数导数，经过多次求导可知导函数存在隐零点，即可分析导数的正负求函数最小值，得到，再构造函数利用导数求的最小值得证 .
【详解】（1），由题得在上恒成立，
.
设，则.
设，则，
显然，当时，单调递增，当时，单调递减，
在处取得最小值，
，即在上单调递增，即
，经验证适合题意，
故实数的取值范围是.
（2）当时，，
.
令.
设，则，
，即在上单调递增.
又由，
在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，即，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，，
设，
恒成立，
在上单调递增，
.
【点睛】关键点点睛：复杂的导数问题就在于需要多次求导，不断变换研究对象，通过逐层研究得到所需要结论，这个过程需要思路清晰，过程严谨，求导及相关正负，单调性分析熟练，才能解决对应问题.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立.
【详解】直接换元构造新函数 ，即，设，，则，
则，，可得，，
由于
构造函数，，
因为，所以在1,+∞上单调递增，
故，即，
所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)讨论的单调性和最值；
(2)若关于x的方程有两个不等的实数根，，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.
（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证成立.
【详解】（1）由得，
，其中，
若，则f′x0；
当时，f′x0时,得,
，
则当x>0时,,得函数在上单调递增,
因为,所以,
由于是偶函数,则,
而函数在上单调递增,得,
得,
得,
故选：C.
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，利用导数研究的零点，易知的零点也是的零点，由此利用韦达定理，经过变形，然后构造出函数，利用导数研究其最小值即可得.
【详解】当时，不等式恒成立，
设，，则，
令f′x0得，
所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
因为，时，时，
故在0,+∞上有两个零点，记为，
显然或时，时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
故，，
又，所以，所以，所以，
令，则，令得，令得，
所以在0,2上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数研究零点，得到的零点也是的零点，即可结合韦达定理得到，再构造相应函数，借助导数研究其最小值即可得解.
6．（2024·湖北·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化和，设，根据导数求出的单调性，比较和的大小，转化和，设，求出，令，利用导数求出的单调性，利用导数求出的单调性，比较和的大小.
【详解】，
设，则，
当时，在1,+∞上单调递增，
，即，
，又，
设，
则，
令，
则，
在1,+∞上单调递减，
当时，，
在上单调递减，
，，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数和进行大小比较.
二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性一一判定选项即可.
【详解】令，所以，
显然时，f′x0，即此时单调递增，
则，且时，可作出函数大致图象如下：

因为，则，此时，由于不确定的关系，
由y=fx的单调性与图象可知的大小不确定，则A、B都有可能正确；
显然，所以，
，则C错误，D正确.
故选：ABD
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D.
【详解】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，x=0时，，x>0时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD

【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想.
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有成立．若，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解．
【详解】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故答案为：．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数，，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先通过对数运算得到，然后构造函数分析出的关系式，由此可将化简为关于的函数，借助的单调性可求出的最小值.
【详解】因为，所以，则，
于是，，所以，
构造函数，且，当时，，所以在上单调递增，
所以，于是，
又，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，故，当且仅当，即（舍去）时取到最小值，
所以，
故答案为：．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得对任意恒成立，且，令函数，则对任意恒成立，对求导分析单调性，可得对任意恒成立，由可得出的范围.
【详解】由题意可得对任意恒成立，且.
令函数，则对任意恒成立.
，
当时，单调递增，
当时，，单调递减，
且当x∈0,1时，gx0，
所以，即对任意恒成立.
因为，所以.

故答案为：.
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性.
（2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.
13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数ℎx的最小值，得到最小值大于或等于0即可.
（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.
（3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）设，
则，
由ℎ′x>0，得；由ℎ′x0；由φ′x0，函数在上单调递增；
时，f′x0，函数在上单调递增；
时，f′x