2025年高考数学二轮复习(新高考通用)专题12数列不等式放缩技巧(练习)(学生版+解析)

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题型一：先求和后放缩
1．已知为正项数列的前项积，且，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，的前项和为，证明：．
【解析】（1）由题意知①，
当时，，∵，∴．
当时，②．
①－②得，适合上式，·
③，则④．
得，∴，
两边同时取以为底的对数，得，
则，，又，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由题意及（1）知，，
则，
所以，，
两式相减得，
∴．
∵，
随的增大而减小，∴，又，∴，
∴．
2．已知数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【解析】（1）由得，代入得，
即，所以，因为，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）因为是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
所以，因为，所以．
3．已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求并证明：.
【解析】（1）因为，，
当时，，故，
当时，，
两式作差可得，整理可得，
则，又，
所以是各项为的常数列，
则，故.
（2）由（1）可得，
所以，
类比复合函数的单调性可知为递增数列，又，
所以的最小值为，
又，所以，
综上，.
4．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．
(1)求的表达式和数列的通项公式；
(2)证明：
【解析】（1）因为是以1为首项1为公差的等差数列,
所以，即，
当时，，
即，
经检验，当时，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知：
,
所以
.
题型二：裂项放缩
5．若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
【解析】（1）（ⅰ）由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
（ⅱ），
设，，
，，
所以，
.
（2）若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数n，使得.
6．已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．
【解析】（1）∵，，
∴，化为：，
∴数列为等差数列，公差为2，首项为2；
（2）由（1）得，
∴；
（3）当时，，
时，，
∴，
综上所述，．
7．已知数列的首项，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明.
【解析】（1）依题意，又，
数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，
.
（2）（i）由（1）知.设的前项和为，则.
显然数列分组后第组有项，前面组共有项，
当时，，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为.
（ii），
当时，.
当时，.
当时，
，
故.
8．已知数列满足，且，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，，．证明：．
【解析】（1）由得：，整理为：，
所以为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为，经检验，符合要求.
（2）由（1）得：，，
∴，
∴，即．
题型三：等比放缩
9．已知数列满足，．
(1)设，，是数列的连续三项，证明：，，不可能为等比数列；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）已知，，易得恒成立，且为递增数列．
∵，
∴．
故数列任意的连续三项不可能为等比数列．
（2）∵，
∴，即，
故
又由于，且，故，，
假设，，成立，有，
由数学归纳法可得
所以成立，
故成立．
综上可知，原不等式成立.
10．已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
【解析】（1）由题设，又，
所以是首项、公比均为2的等比数列.
（2）由（1）知：，则，显然时成立，
当有，此时，
综上，，得证.
题型四：型不等式的证明
11．已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
【解析】（1）当时，，解得或0，
是各项均为正数的等差数列，故，
①，
当时，②，
则①-②得，
故，
因为，所以，则，
则的公差为1，则，
经检验，满足要求，故通项公式为；
（2），，
，
当为偶数时，
，
当且为偶数时，，
故；
当为奇数时，，
当且为奇数时，
，
综上，当时，．
12．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：
【解析】（1）函数的定义域为，，令，
依题意，，恒成立，
求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以.
（2）由（1）知，，即，当且仅当时取等号，
则当时，，，…，，
因此，
所以原不等式成立.
13．已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.
(1)若；
（i）请写出一个满足条件的数列的前四项；
（ii）求证：存在，使得成立；
(2)设数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）（i）∵即，
又，则，
∴满足条件的数列的前四项可以为：.
（ii）∵（，且），
∴，
，
，
，
累加得，则，
则，
∵，
∴，
不妨令，
故存在，使得成立；
（2）由（1）知：，
同理∵即，
∴，
，
，
∴，则
则，
，
，
，
，
累加得：，
故：.
题型五：型不等式的证明
14．已知数列满足，且，
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数k，使得对任意都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以是等差数列，公差为2， ，
，所以．
（2）由（1），
所以．
（3）假设存在实数k，使得对任意都成立，
因为，
所以，
不等式化为，
，
设，
设，则，，
，所以，所以是递增数列，
，
所以．
所以存在实数k，使得对任意都成立，且．
15．设数列满足，，令.
(1)试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列是等比数列？请说明理由.
(3)令，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由，得，
即,故，而，
∴，即，
∴数列是以首项为，公差为1的等差数列，故．
（2）由（1），设，
若存在常数c，使是等比数列，则，
即，解得.
经检验，c=0复合题意，
所以，存在唯一的常数，使是等比数列.
（3）设，
则.
∵
∴，即数列是递减数列，故．
要使不等式对一切都成立，
只要，即，， 解得.
因此， 存在大于实数，使不等式对一切都成立．
题型六：型不等式的证明
16．记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【解析】（1）由，
由可得，
则时，
两式相减可得，
化为，因为，
所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
，
所以，
，
，
17．已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）单调递减，理由如下：．
∵，∴，∴数列单调递减；
（2）∵，，，∴，又，则.
∵，，∴，则，
当，累加可得，则，
则，则，
∴
，则．
18．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)已知当时，，证明：.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，可得，，
所以，解得，
所以，即数列的通项公式为.
（2）由，可得，
则，
因为当时，，
所以当时，，
故，.
所以.
题型七：型不等式的证明
19．已知数列，，为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知当时，不等式恒成立，证明：．
【解析】（1），即，
当时，，
两式相减，，
即，也即，
变形为，
所以
，经检验时也适合．
．
（2）证明：因为时，，
，所以，
令，则有．
，，
将两边同时取对数，
得到原不等式等价于证明：，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
，
令，2，，然后累加得：
，
则，原不等式得证．
20．已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
【解析】（1）因为，
所以，
因为的各项均为正，所以，故，即，
所以是以2为公比的等比数列，
因为，又公比为2，
所以，所以.
（2），证明如下：
令，则，
当时，，即在上单调递减，
所以，则，即，
设，所以，
所以，
记，则，
所以，
即，则，所以，所以.
重难点突破：利用递推关系进行放缩
21．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
【解析】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
22．不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函数映射到其自身的点.对于函数，我们把满足的称为函数的不动点，已知函数.
(1)证明：在有唯一的不动点；
(2)已知，且的前项和为.证明：
①为递增数列，为递减数列，且；
②.
【解析】（1）令，
则，，，
所以当时，在上递减，
而，故在有唯一的零点，
即在有唯一的不动点.
（2）①因为，
所以，在上单调递增；
，
所以，
而在的不动点为，
所以，
假设时，成立，
则，即成立，
结合可得：对于任意恒成立，
故为递增数列，为递减数列，且；
②，
因为，所以，因此，即，
故.
23．（1）证明：当时，；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.
【解析】（1）令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
再令，则，，
令，则，由上面知，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，
即.
综上，当时，成立.
（2）（i）因为，所以，
所以，由（1）知，当时，，
所以，
所以数列为递增数列.
（ii）要证，即证，即，
由（1）知：当时，，
所以，即有，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以，归纳易得数列为减函数，
又数列为递增数列，
所以，
所以
，
又因为，
所以，
所以，
即成立.
1．已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明：.
【解析】（1）因为，，则，，…
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，，
，
.
2．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．
【解析】（1）因为，所以，
所以，
整理得．
又因为，所以当时，，
所以，当时，不满足．
所以，.
（2）（ⅰ）设数列的公差为．
因为，，成等比数列，且，，，
所以，即．
又因为，所以．
所以数列的通项公式为，．
（ⅰi）．证明如下：
由（ⅰ）知，，，易知
所以．
，
，．
3．已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
【解析】（1）当时，，则，
因为，
所以，
两式相减得： ，
所以，，
，，则，即也适合上式，
所以是以5为首项，公比为2的等比数列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
当时，，故.
4．某商场举行活动，充值积分若干后，可以用积分购买特定商品．参与此活动的商品有1积分的签字笔，2积分的草稿本和2积分的便利贴．要求每天必须用积分购买商品且每天只能购买一次．花2积分购买草稿本或者购买便利贴算不同的用完积分的方式．
(1)假设梅菊同学充值4积分，则该同学有多少种方式用完积分（只写出答案，不用写过程）；
(2)假设代仕同学有点积分，该同学用完点积分的方式种数记为，求表达式；
(3)设，记的前项和为，证明：．
【解析】（1）记用1积分购买签字笔为，用2积分购买草稿本为，用2积分购买便利贴为，
由枚举可知，该同学用完积分的方式如下：
，共有11种．
（2）对第一天使用积分购买的商品进行分类：
①第一天买签字笔，使用1积分，余下的积分在以后用完，种数为，
②第一天买草稿本或便利贴，使用2积分，余下的积分在以后用完，种数为，
所以，所以，
因为，，所以，
所以，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以．
（3）由题可知，
法一：易知当时，．
当时，因为，
所以，
所以．
法二：易知当时，．
当时，因为，
所以．
5．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求，的值.
(2)若正项数列的前项和为，且，，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）.
【解析】（1），
由题意可得，则，
又，切点在切线上，
所以，则，所以，解得；
（2）（ⅰ）因为，所以要证，即证
又，所以即证，
因为数列为正项数列，所以可设，不等式化为，
设，则恒成立，
故函数在上单调递增，则恒成立，
即在上恒成立，则原命题得证；
（ii）先证明，即证，
设，
则，
又设函数，则，所以时，，
则函数在上单调递增，故，
即当时，恒成立，所以，
所以，
所以，则在上单调递增，
所以，则所证不等式成立，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以当时，，
又当时，，
故.
6．已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，证明：.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，
由题意得：，所以，
所以（舍）或，代入原方程后可得，
于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由题可得，
由于时，，
则（当且仅当时取等号），
所以，
则（当且仅当时取等号）.
所以.
7．已知等差数列满足，，为等比数列的前项和，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，证明：．
【解析】（1）由题意，可得，
则，
由，两式相减得，
可得的公比，
进而可得，
所以.
（2）由题设，为奇数时，为偶数时，
且时，，
则，
所以，
则，
所以，
且时，，
而，
所以，
综上，.
8．已知关于x的函数，其图象与x轴相切．
(1)求fx的表达式；
(2)证明：；
(3)设数列，（），的前n项和为，证明：．
【解析】（1）函数的图象与x轴相切，则得代入可得.
（2），则，
则得，得
所以在上单调递增，在上单调递减，
得证.
（3）由（2）知，当时，，，即当时，，又当时，，，所以，
所以，即，，得证.
9．已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，证明：．
【解析】（1）当时，，
当时，，
又，两式相减得：
，
所以，
此时，
将代入得，
因此对也成立，
故的通项公式为，
（2）由（1）可知，
所以，又，
所以，
所以
，
因为，所以，
即.
10．已知正项数列的前项和为、且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为，且，证明:.
【解析】（1）当时，，又，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
所以，又数列是正项数列，
所以，所以奇数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
由，可得偶数项是以为首项，6为公差的等差数列，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
11．已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且．
(1)求的周长；
(2)证明：为等比数列；
(3)证明：对任意正整数．
【解析】（1）因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为，圆的半径为．
又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切，
所以，，．
所以的周长为：．
（2）依题意，有，，，
得即
消去得，
整理，得，
两边同时减去，得．
依题意，易得，所以，即．
所以．
所以为等比数列，首项为1，公比为．
（3）由（2）得，．
令，则当时，．
要证，即证，
即证．
当时，
（当且仅当时，等号成立）
（当且仅当时，等号成立）
．
所以，
得证．
12．如图所示，是抛物线上的一系列点，其中，记直线的斜率分别为.
(1)证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)记的面积为，求；
(3)若.求证：.
注：中，若，则面积.
【解析】（1），同理，
由，得，又，
所以，则是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
令，则，同理，
所以，即．
（3）所以，
则
所以
13．已知首项为1的正项数列满足 .
(1)探究数列的单调性；
(2)证明： .
【解析】（1）数列为递减数列，理由如下：
由题意可得，
则，
令函数，
则，
∴fx在上单调递减，
则，令，
则，
，
即数列为递减数列；
（2）令函数，
，
令函数，
则，当时，h'x0时，h'x>0，
故hx在单调递减，在0,+∞为单调递增，
故，则，
，
，故在定义域上单调递增，，
令，
则，
又，
.
当时，
.
即，又时，.
所以.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187184190" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc187184190 \h 2
\l "_Tc187184191" 题型一：先求和后放缩 PAGEREF _Tc187184191 \h 2
\l "_Tc187184192" 题型二：裂项放缩 PAGEREF _Tc187184192 \h 5
\l "_Tc187184193" 题型三：等比放缩 PAGEREF _Tc187184193 \h 8
\l "_Tc187184194" 题型四：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184194 \h 10
\l "_Tc187184195" 题型五：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184195 \h 13
\l "_Tc187184196" 题型六：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184196 \h 15
\l "_Tc187184197" 题型七：型不等式的证明 PAGEREF _Tc187184197 \h 18
\l "_Tc187184198" 重难点突破：利用递推关系进行放缩 PAGEREF _Tc187184198 \h 20
\l "_Tc187184199" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc187184199 \h 25