上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一下学期开学摸底（3月） 数学试卷（含解析）

这是一份上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一下学期开学摸底（3月） 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了填空题.，四象限角”的必要不充分条件；，选择题.等内容，欢迎下载使用。
1 集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】因为集合，则.
故答案为：.
2. 函数的定义域为________________.
【答案】且
【解析】
【分析】利用对数函数的真数大于，底数大于且不为，即可求解.
【详解】由题知且，解得且，
所以函数的定义域为且，
故答案为：且.
3. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，可得答案.
【详解】由题意可知，扇形的面积为.
故答案为：.
4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求解.
【详解】,
故答案为：.
5. 代数式可化为的形式，此时______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式来求得正确答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：
6. 已知函数是偶函数，则_______．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到.
【详解】解：函数是偶函数，
或
偶函数的图象关于轴对称，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查偶函数的定义和性质，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于，的方程．注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点．属于基础题．
7. 已知，则______．（用a和b表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解.
【详解】因为，则，
所以.
故答案为：.
8. 关于的不等式的解集为，则实数______.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意知，根的判别式，建立关于k的等量关系式，求出k的值后，由于，即可求得结果.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，所以，
所以，
故答案是1.
【点睛】该题考查的是有关根据一元二次不等式的解集的形式，得到其对应的判别式的符号，从而得到相应的等量关系式，求得结果，属于简单题目.
9. 已知函数的最小值为，则的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解.
【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值；
故需满足，得，
函数，，若函数的最小值为，
则且，解得：
综上可知，.
故答案为：
10. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则______．
【答案】或.
【解析】
【分析】设出两个不等式相对应的一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系、可以得到一个三角方程，根据同角三角函数的关系和特殊角的正切值求出的值.
【详解】不等式与不等式为对偶不等式，
设不等式的对应方程两个根为、，
则不等式对应方程两个根为：、
所以
即：因为，所以或
故答案为：或
【点睛】本题考查了新定义题，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了同角的三角函数的商关系，考查了特殊角的正切值，考查了数学运算能力.
11. 以下四个命题中真命题的序号是_______________.
①若角，满足，，则角，终边关于原点对称；
②在三角形中，若，则三角形是等边三角形；
③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件；
④已知，则.
【答案】②③
【解析】
【分析】根据三角函数的定义结合象限角、终边相同的角的概念可判断出①错误③正确，利用三角形内角范围结合余弦函数的性质可判断出②正确，利用三角恒等变换和正弦函数的性质可判断出④错误.
【详解】对于①，当偶数时，角终边重合，故①错误；
对于②，因为
所以
则
当且仅当时，
，
即当时，有.
即三角形是等边三角形，故②正确；
对于③，当时，，
角终边在第三、四象限或在轴负半轴上，故③正确；
对于④，因，且，
则，
则，
故，故④错误.
故答案为：②③.
12. 设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______.
【答案】4
【解析】
【详解】试题分析：
当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组.
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）.
13. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.
详解】若，则成立；
若，则或，故不一定成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14. 若，且，则幂函数与角的终边（ ）
A. 不可能有交点B. 可能有交点C. 有且只有1个交点D. 至少有2个交点
【答案】A
【解析】
【分析】由题意判断角所在象限，结合幂函数的性质，即可判断出答案.
【详解】因为，故在第三象限或第四象限，
由，可知在第一象限或第四象限，
故在第四象限，又幂函数的图象不经过第四象限，
故幂函数与角的终边（不包含原点）不可能有交点，
故选：A
15. 设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择项，才能得出正确的结论．可运用排除法．
【详解】解：，故恒成立；
：由于由于函数在，单调递减，在，单调递增
当时，，即，
当，，即，
当，．
故恒成立；
：由于．故恒成立；
：若，则该不等式不成立，故不恒成立
故选：．
【点睛】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式成立的条件，属于中档题．
16. 假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据：
对于以下两个结论：
①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为；
②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶．
其中正确的是（ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解．
【详解】由题意可得，则，
即，对称轴在轴左侧，知该函数在上单调递增，
又，，，
若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为，
①不成立；
又最小正整数的值为，
可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立．
故选：C．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用诱导公式可求得的值；
（2）利用两角差的正切公式可求得的值，进而再利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】（1）由，，可得，，
又由，；
（2）由两角差的正切公式得，
因此，.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式以及两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.
18. （1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值；
（2）已知，且，求及.
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理可得，结合同角三角关系即可求解；
（2）根据,之间的关系结合诱导公式运算求解.
【详解】（1）由题意可知：，解得：或，
且，
又因为，即，
整理得，解得或(舍去)，
所以.
（2）因为，且，
即，可得，
由，可知，，
又因为，且，
可得，
所以
.
故，.
19. 如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，.
（1）若，，求的值；
（2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解；
（2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，则，
又，则，又，
所以.
【小问2详解】
因为，、在单位圆上，
则，，，所以，，
则，
即.
20. 漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本)
（1）写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式；
（2）求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值.
【答案】（1）
（2）2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元
【解析】
【分析】（1）由利润=收入固定成本其它成本，根据题意求解；
（2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式求解.
【小问1详解】
解：由题意可知：
当时，，
当时，
.
【小问2详解】
由，
①当时，
当时，取得大值，最大值为85，
②当时，，
当且仅当即时，取得最大值50，
由①②可得:当时，取得最大值150，
综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元.
21. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若函数的值域为，求的取值范围；
（3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】(1)根据对数函数的单调性可解得, 注意真数大于零;
(2) 化简得到的值域为，故能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意；故只能，再结合即得答案.
(3) 化简对数方程得到,在的条件下只有一个根，然后分类讨论即可得到答案.
【详解】(1) 时，不等式等价于,
所以,所以,所以,
所以不等式的解集为.
(2) 因为函数的值域为,即的值域为,故能够取到一切大于0的实数,
当时,,不符合题意;
当时,
不符合题意,
当时, 根据二次函数的图象和性质可得,解得;
综上所述: 的取值范围是.
(3) 关于的方程的解集中恰好只有一个元素,
所以的解集中恰好只有一个元素,
即且的解集中恰好只有一个元素,
所以,即,
①当时,解得,此时 ,满足题意;
②当时 ,此时也满足题意;
③当且时,两根为,,
当时,由 得,
当时,由得,
因为和只能取一个值,
所以只能取,所以且,
解得.
综上所述:的取值范围是.
【点睛】考查了对数不等式，复合函数的值域问题和对数方程的问题.,分类讨论思想,本题为较难题
（单位：km/h）
…
（单位：m）
…