山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份山东省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月校际联考数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
4．在中，在线段上，为的角平分线，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（ ）

A．5.861B．5.674C．5.076D．4.926
8．已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角的余弦值为D．向量在上的投影向量为
10．设为复数，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
11．已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为 ．
13．如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为 ．
14．在圆内接四边形中，，则面积的最大值为 ．
四、解答题
15．在三角形中，分别是边的中点，已知．
(1)求三角形的面积；
(2)求三角形的周长．
16．已知复数，其中i为虚数单位．
(1)若，求；
(2)若，求的值．
17．已知是平面内两个不共线的向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和共线；
(3)若，求实数的值．
18．已知三角形的内角的对边分别是，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；
(3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．
19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．
1．D
利用向量的坐标运算求解即得.
【详解】由向量，得.
故选：D
2．A
根据给定复数进行除法运算即可得解.
【详解】.
故选：A
3．A
利用三角形面积公式计算.
【详解】.
故选：A.
4．C
根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断.
【详解】在中，为的角平分线，，
，即，
因此，所以.
故选：C
5．A
利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
6．B
将向量对应的复数表示为，再由给定信息求出向量对应的复数即可.
【详解】设射线为终边的角为，而，则，
，，
向量对应复数，
所以向量的坐标为.
故选：B
7．C
作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解.
【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为，
依题意，，
则，则，得，
因此
.

故选：C
8．B
先确定向量所表示的点的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求出最小值．
【详解】设向量共起点，由，得，
令，则，，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，
由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，

而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，，
所以的最小值为.
故选：B
9．ABD
根据给定条件，求出的坐标，再结合数量积的坐标运算逐项求解判断.
【详解】由向量，得，，
对于A，，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，则，C错误；
对于D，，向量在上的投影向量，D正确.
故选：ABD
10．AB
利用复数的乘法、共轭复数的意义及复数的模的公式求解判断AB；举例说明判断CD.
【详解】设，
对于A，，则，
，A正确；
对于B，
，B正确；
对于C，取，满足，而，，C错误；
对于D，取，，而，D错误.
故选：AB
11．ACD
根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断.
【详解】对于A，由重心为G，得，
则，A正确；
对于B，外心为O，有，，
，B错误；
对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得，
因此，C正确；
对于D，由，得，则，
，D正确.
故选：ACD
12．
由纯虚数概念可得答案.
【详解】，因为纯虚数，
则.
故答案为：
13．3
运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果.
【详解】由，得，
而，，则，
又、、三点共线，则，所以.
故答案为：3
14．
根据给定条件，利用余弦定理确定的形状，设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式求出最大值.
【详解】在中，，
由余弦定理得，
则，，是四边形外接圆直径，，

设，则，
在中，，
由正弦定理得，即，
在中，，
，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
如图设，利用结合余弦定理可得三角形三边.
（1）由余弦定理可得，进而可得，即可得面积；
（2）三边相加可得周长.
【详解】（1）如图，因分别是边的中点，
则设.
注意到，
则.
则由余弦定理：
.
解得.则在三角形中，.
由余弦定理可得，
从而.
则三角形的面积为：；
（2）由（1）易得三角形的周长为
16．(1)
(2)
（1）利用复数的模和共轭复数的运算结论代入已知表达式，利用复数相等的条件：实部和虚部相等，建立方程组求解；
（2）利用错位相减法，结合复数虚数单位的幂的运算求解.
【详解】（1）首先，复数的模长平方 ，共轭复数 .
代入方程得：，
展开并整理实部和虚部：，
根据复数相等的条件，得到两个方程：，
解得，代入第一个方程：
，
因此，复数；
（2）考虑.
则.
相减得：
其中，（因为），且。
因此：
解得：，
因此，，即，，
故.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）计算 ，观察 与 的关系，即可得到结论；
（2）根据向量共线的条件，利用向量共线定理，求得；
（3）计算 和 的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得.
【详解】（1）,
所以，则有 ，
又 与 有公共点，因此 三点共线.
（2）由于 和 共线，存在实数 使得：
和共线，有，
则有，解得 ，
所以.
（3），
则，，
由，
则，解得.
18．(1)
(2)
(3)
（1）由正弦定理边角互化结合三角函数和差角公式可得答案；
（2）由三角形面积及内切圆的半径可得，由三角形面积及（1）可得，最后结合余弦定理可得答案；
（3）如图由几何知识可设，则，据此可得面积表达式，然后由两角和的正切公式结合基本不等式取等条件可得答案.
【详解】（1）由正弦定理边角互化可得：
又，则，
从而，结合，
则或（舍去）.
故.
（2）因三角形的面积为10，内切圆的半径为.
则，则.
又由（1），.
则由余弦定理：.
化简后可得：；
（3）如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F.
由（1）可得，则，
又由角平分线性质可得，
又注意到，，
则，设，则.
又，则.其中.
故三角形面积为：
.
注意到.
则.要使最小，则需使最大.
注意到，则由基本不等式取等条件可得，
要使最大，需满足.
则，此时，即三角形为等边三角形.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
（1）由题可写出答案；
（2）考虑存在14个两两垂直的14维信号向量，任取其中两个，可得有7个分量相同，则有7个分向量不同，再通过假设第三个与他们垂直向量存在，从而利用反证法完成证明；
（3）通过个2024维信号向量后个分量组成的向量的和向量模长为非负数，结合题意可完成证明.
【详解】（1）由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为：
；
（2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
任取其中两个不同向量，.
因，
则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同.
因，则.
再取任意与和不同向量，
设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反.
因，则.
由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，
则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.
因，则
则此时，这显然不可能，则在14维信号向量中，找不到两两垂直的3个向量，即不存在14个两两垂直的14维信号向量；
（3）取个2024维信号向量后个分量组成的向量为：
，因两两内积为0，它们的前个分量都是相同的，
则两两内积为.又注意到.
则，
注意到展开式中，形如的项有个，
则.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
A
B
C
B
ABD
AB
题号
11









答案
ACD