吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
2. 已知直线,直线.若,则（ ）
A. 4B. -2C. 4或-2D. 3
3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. D.
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为
D. 直线与圆可以相切
11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，点，到直线距离相等
B. 当时，直线的斜率不存在
C. 当时，直线在轴上的截距为
D. 当时，直线与直线平行
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.
13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
14. 已知等差数列的前项和为，若，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．
（1）证明：数列和均为等比数列．
（2）设数列的前项和为，求．
17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．
（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；
（2）求平面与底面所成角的余弦值．
18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
所以直线l的方程为，即．
19. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.
DADC BDBB 9AC 10AC 11CD 12
13
【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）
14 【答案】46
15
解：（1）由，得，所以.
（2）设这5个数组成的等差数列为，
则，，
得该数列的公差，
所以，，.
因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.
16解：（1）因为复数是虚数单位，，且，，
所以，
所以，
所以，
又可得,
所以，
所以：数列和均是等比数列.
（2）因为，
所以，
所以，
.
17解：（1）取的中点，连接，
因为，，所以，，.
又因为是菱形，，所以，，
因为，所以，平面，
所以平面，
因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以.
因为，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，
所以，所以为棱的中点.
（2）因为平面，平面ABCD，
所以，，又，
如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，P0,0,1，
所以，，，，
底面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，，得.
设平面与底面所成角为，
所以，
平面与底面所成角的余弦值为.
18解：（1）依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为．
（2）设，由题意知直线l斜率存在，则，
则，

两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，即直线l的斜率为，
19解：（1）在圆中，令，解得或，则，
因此椭圆半焦距，长半轴长，短半轴长，
所以椭圆的方程为.
（2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消去得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
所以线段的中点的轨迹方程是.
（3）由，得，
不妨令，直线斜率，
则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.