黑龙江省哈尔滨德强高级中学2024-2025学年高二下学期开学验收考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知集合或，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则（ ）
A．10B．9C．D．
3．若在等差数列中，．则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．6
4．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥的外接球半径为，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象向左平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递增
D．为偶函数
8．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在取得极小值，极小值为
C．只有一个零点
D．若在上恒成立，则
二、多选题
9．对于，直线恒过定点P，则（ ）
A．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是
B．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是
C．点P的坐标为
D．点P的坐标为
10．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
11．平面直角坐标系中，抛物线，过的焦点作直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．则，则直线的倾斜角为60°
C．过线段的中点作轴的垂线，交于点，交的准线于点，则点为线段的中点
D．过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则的最小值为2
12．如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点为的中点，点为底面上的动点，则（ ）
A．当时，存在唯一的点满足
B．当时，存在点满足
C．当时，满足的点的轨迹长度为
D．当时，满足的点轨迹长度为
三、填空题
13．的内角的对边分别为，若，，的面积为，则 .
14．等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为 .
16．已知函数，其中存在三个零点，且，给出下列4个结论：
①；
②；
③的取值范围为；
④若成等差数列，则；
则所有正确的结论的序号为 .
四、解答题
17．求下列函数的导数．
(1)；
(2)．
18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.

(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.
19．已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)求的面积.
20．已知正项数列的前n项和为．
(1)求数列的前n项和；
(2)令，求数列的前9项之和．
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，，证明：．
22．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
(3)求的取值范围.