【2025届上海高三数学二模】2025届上海浦东新区高三数学二模试卷与答案

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一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.已知集合），集合，则____________。
2.不等式的解集为____________。
3.已知向量），），若，则____________。
4.已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为____________。
5.在的二项展开式中，常数项的值为____________。
6.已知，若，则____________。
7.直线与圆相交所得的弦长为____________。
8.已知复数z1，z2满足，|，，则的值为____________。
9.在由1、2、3、4、5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为____________。
10已知某次数学的测试成绩X服从、的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了____________%的学生（精确到0.1%）。
（参考数据：，，）
11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为立方米的球形景观灯所在球面上。考虑到抗风，抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足。当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为____________米（精确到0.01米）。
12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点移动到点P1，第二次从点P1移动到点P2，……，第k次从点Pk-1（规定）移动到点Pk。记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成）角。设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为____________。
二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13.已知实数a、b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（）
A.B.C.D.
14.已知平面和平面，直线，直线，则下列结论一定成立的是（）
A.若，则B.若m与n为异面直线，则
C.若，则D.若，则
15.已知关于x的不等式|在区间内有k个整数解，则k的值为（）
A.3B.4C.5D.6
16.设数列满足），记其前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列结论正确的是（）
A.数列{Sn}和数列{Tn}均不是周期数列
B.数列{Sn}是周期数列，数列{Tn}不是周期数列
C.数列{Sn}不是周期数列，数列{Tn}是周期数列
D.数列{Sn}和数列{Tn}均为周期数列
三、解答题（本大题共有2个小题，第14+14+18=46分）
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，。
（1）若，证明：；
（2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥整器，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个整器，并计算它的体积和表面积。
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
已知函数，其中，a、b为实常数且。
（1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值；
（2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围。
19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分
某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图。
（1）估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）估计该校学生课外阅读时间位于区间[30，60）（单位：小时/月）的概率；
（3）已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例。（精确到0.1%）
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知椭圆，F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点。
（1）求的最小值；
（2）当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）若直线PQ与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线PR与交于点E，求线段的取值范围。
21.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
已知函数，其中，（），定义集合，对于点，定义集合。若对任意，均有，则称点P为平衡点。
（1）当时，判断点是否为平衡点；
（2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点；
（3）求所有实数a和b，使得点是平衡点。
参考答案
一、填空题
1.[1，3]2.（-1，2）3.84.5.606.
7.8.9.10.97.712.13
二、选择题
13.B14.D15.C16.B
三、解答题
17（1）略；（2），
18.（1）；（2）
19.（1）32；（2）0.6；（3）9.4%
20.（1）
（2）设，
有题意易得，当时有最大值，
此时代入解得
（3）由题意，l1斜率存在，设，
即
易得D（-3，-6k）
即）
21.（1）由题意，代入易得点为平衡点；
（2）由题意，，由是平衡点，
即时，，
（3）由题意，对于任意的，，分类讨论：
（1）当时，在单调递增
即不成立；
（2）当时，在单调递减，在单调递增，
即
即;
（3）当时，在单调递减，在单调递增，
即
即;
（4）当时，在单调递减，
即不成立；
综上，当时，;
当时，.