2024-2025学年山东师范大学附属中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东师范大学附属中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▵ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 14AB+34ACB. 34AB+14ACC. 14AB−34ACD. 34AB−14AC
2.设e1，e2为一组基底，已知向量AB=e1−ke2，BC=2e1−e2，CD=3e1−3e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值是( )
A. 2B. −2C. 45D. 15
3.平面向量a⇀与向量b⇀满足a⇀⋅(a⇀+b⇀)=3，且a⇀=2，b⇀=1，则向量a⇀与b⇀的夹角为
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知a=2,−3，b=1,−2，且c⊥a，b⋅c=1，则c⇀的坐标为( )
A. 3,−2B. 3,2C. −3,−2D. −3,2
5.在ΔABC中，AB=3，AC边上的中线BD= 5，AC⋅AB=5，则AC的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.向量b=3,4在向量a=2,1方向上的投影向量的模为( )
A. 2B. 2 5C. 5D. 25
7.在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
A. 4003 3mB. 2003 3mC. 4003mD. 2003m
8.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c−b=2bcsA，则ca−b的取值范围是( )
A. −1,2B. 32,2C. 32,3D. 2,3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a//b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
10.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π3,b=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=1，则CA⋅AB=1
B. 当t∈R时，AC−t⋅AB最小值为 3
C. 当▵ABC有两个解时，a的取值范围是 3,2
D. 当▵ABC为锐角三角形时，a的取值范围是 3,2 3
11.对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是( )
A. OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC
B. AO⋅AB=12AB2
C. 向量AH与ABABcsB+ACACcsC共线
D. 过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AE=λAB，AF=μAC，则1λ+1μ=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=π3，a=2，b= 3，则△ABC的面积为 ．
13.在▵ABC中，BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设CE=xCA+yCB，则6x+yxy的最小值是 ．
14.如图，在△ABC中，AB=2，AC=1，D,E分别是直线AB,AC上的点，AE=2BE，CD=4AC且BD⋅CE=−2，则∠BAC= ;若P是线段DE上的一个动点，则BP·CP的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，a=2e1+e2，b=−3e1+2e2．
(1)求a，b；
(2)求a与b的夹角．
16.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=75°，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠BCD=135°．
(1)求BD的长；
(2)求CD的长．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，点P满足PC=2BP，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E,F．
(1)若AF=23AC，求AEEB的值；
(2)若EB=λAE(λ>0)，FC=μAF(μ>0)，求1λ+1μ+1的最小值．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2csAcsC=tanBtanA+tanC．
(1)求B；
(2)若b=2.求a+c的取值范围．
19.(本小题17分)
A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与点P,Q任一点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记P,Q;M=APsin∠PAMAQsin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=−APsin∠PAMAQsin∠MAQ.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，点D在射线BC上.
(1)若AD是角A的平分线，且b=3c，由A点对BC施以视角运算，求B,C;D的值；
(2)若A=60∘,a=4,AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，B,C;D=2−2 3，求▵ABC的周长；
(3)若A=120∘，AD=4，由A点对BC施以视角运算，B,C;D=cb，求b+4c的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BD
11.BCD
12. 32
13.16
14.π3；；377
15.解：(1)因为e1，e2是两个单位向量，其夹角为60°，
则e1=1，e2=1，e1⋅e2=12，
又a2=2e1+e22=4e12+4e1⋅e2+e22=7，
所以a= 7，
同理b2=−3e1+2e22=9e12−12e1⋅e2+4e22=7，
所以b= 7；
(2)由题得，a⋅b=2e1+e2⋅−3e1+2e2=−6e12+e1⋅e2+2e22=−72，
设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅bab=−72 7× 7=−12，
因为θ∈[0,π]，所以θ=2π3，
则向量a与b的夹角为2π3．

16.解：(1)在▵ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60∘，
由余弦定理可得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠BDA,
即49=25+BD2−2×5⋅BD⋅cs 60∘，则BD2−5BD−24=0，
解得BD=8(BD=−3舍去)．
(2)在▵BCD中，∠BDC=∠ADC−∠BDA=75∘−60∘=15∘，
又∠BCD=135∘，则∠CBD=180∘−135∘−15∘=30∘．
由(1)得BD=8，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，即CDsin30∘=8sin135∘，
解得CD=4 2．
17.解：(1)因为PC=2BP，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(BA+AC)=23AB+13AC，
因为O是线段AP的中点，所以AO=12AP=13AB+16AC，
又因为AF=23AC，设AB=xAE，则有AO=x3AE+14AF，
因为E,O,F三点共线，所以x3+14=1，解得x=94，即AE=49AB，
所以AEEB=45；
(2)因为AB=AE+EB=AE+λAE=(1+λ)AE，AC=AF+FC=AF+μAF=1+μAF，
由(1)可知，AO=12AP=13AB+16AC，所以AO=1+λ3AE+1+μ6AF，
因为E,O,F三点共线，所以1+λ3+1+μ6=1，即2λ+μ=3，
所以1λ+1μ+1=14(1λ+1μ+1)⋅(2λ+μ+1)=142+μλ+1λ+2λμ+1+μμ+1+1μ+1⩾14(3+2 μ+1λ2λμ+1)=3+2 24，
当且仅当μ+1= 2λ，即λ=4−2 2，μ=4 2−5时取等号，
所以1λ+1μ+1的最小值为3+2 24．

18.解：(1)∵2csAcsC=tanBtanA+tanC，∴2csAcsC(sinAcsA+sinCcsC)=sinBcsB，
∴2csCsinA+2csAsinC=sinBcsB，∴2sin(A+C)=2sinB=sinBcsB，
∵B∈(0,π)，∴sinB>0，∴csB=12，
∴B=π3；
(2)∵b=2，B=π3，
∴由余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB，即4=(a+c)2−2ac−ac，
∴3ac=(a+c)2−4≤3(a+c)24，∴(a+c)2≤16，
∴0b，∴20，所以ABsin∠BADACsin∠DAC=cb，则∠BAD=∠DAC，
因为A=120∘，所以∠BAD=∠DAC=60∘，
又S▵ABC=S▵ABD+S▵ADC，所以12bcsin120∘=12b⋅ADsin60∘+12c⋅ADsin60∘，
又AD=4，所以bc=4b+c，所以4b+4c=1，
所以b+4c=(b+4c)(4b+4c)
=16cb+4bc+20
⩾2 16cb⋅4bc+20=36，
当且仅当16cb=4bc，即b=12，c=6时等号成立，
所以b+4c的最小值为36．