2024-2025学年江苏省徐州市新沂市八年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市新沂市八年级上册期中数学检测试卷合集2套（含解析），共57页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）生活中我们会看到很多标志，在下列标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，2
3．（3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（ ）
A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠3＝∠4
5．（3分）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
6．（3分）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边上高的交点
7．（3分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）
9．（4分）矩形有 条对称轴．
10．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 ．
11．（4分）若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB＝30，DF＝25，则BC长为 ．
12．（4分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度．
13．（4分）等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ．
14．（4分）如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC＝5cm，则△BCE的周长是 cm．
16．（4分）在△ABC中，AC，BC，AB的长分别是6、8、10，点D是AB边的中点，则CD＝ ．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，垂足为D，若PD＝2，则PC＝ ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝5，BC＝6，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF＝ ．
三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分）
19．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC．
20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数．
21．（8分）如图，已知ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AC＝BD，且AE＝BF．求证：AE∥BF．
22．（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线；
（3）已知Q是直线l上一个动点，则QB+QC的最小值为 ．
四、解答题（本大题共有2小题，每小题8分，共16分．）
23．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝CE．
24．（8分）如图，每个小方格的边长都为1．
（1）求图中格点△ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
五、解答题（本大题共有2小题，第25题8分，第26题10分，共18分．）
25．（8分）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A，B，且AB＝2.5km，CA＝1.5km，BD＝1.0km．
（1）请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求图书室E到居民区A的距离．
26．（10分）如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．
（1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由；
（2）求∠D的度数．
六、解答题（本题10分）
27．（10分）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求线段BF的长．
【灵活运用】
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE，CF，EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）生活中我们会看到很多标志，在下列标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的定义判断即可．
解：A．沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
B．沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意；
C．沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
D．沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键．
2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，7，5B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，2
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
解：A、∵42+52≠72，
∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵12+22≠22，
∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3．（3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABC≌△ABD的条件是（ ）
A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠3＝∠4
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解：A、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故本选项错误；
B、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若BC＝BD，则不一定能使△ABC≌△ABD，故本选项正确；
C、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故本选项错误；
D、∵∠1＝∠2，AB为公共边，若∠3＝∠4，则△ABC≌△ABD（ASA），故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可得到答案．
解：∵一个三角形有两条边相等，
∴这个三角形是等腰三角形，
又∵这个三角形有一个内角为60°，
∴这个三角形一定为等边三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
6．（3分）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边上高的交点
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（3分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故选：C．
【点评】此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法．
8．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题意，画出图形，即可得到答案．
解：分三种情况①AP＝AB，②BA＝BP，③PA＝PB：
如图，①以点A为圆心，AB长为半径交直线AC于点P1和P2，
②以点B为圆心，BA长为半径交直线AC于点A和P3，
③线段AB垂直平分线与直线AC的交点记为点P4，
∴符合条件的点P共有4个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识，正确画出图形．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）
9．（4分）矩形有 2 条对称轴．
【分析】根据矩形的对称性解答即可．
解：如图，
矩形有2条对称轴，
故2．
【点评】本题考查了轴对称的相关知识，解题的关键是确定轴对称图形的对称轴条数．
10．（4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 80° ．
【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2＝80°，
∴顶角为80°．
故填80°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
11．（4分）若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB＝30，DF＝25，则BC长为 45 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC＝DF，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝25，
∵△ABC的周长为100，
∴BC＝100﹣30﹣25＝45．
故45．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边是解题的关键，作出图形更形象直观．
12．（4分）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 34 度．
【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°．
解：∵∠B＝40°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝104°
∵AB＝BD
∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故34．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
13．（4分）等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 5或3 ．
【分析】此题分为两种情况：5是等腰三角形的底边或5是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3，能够组成三角形．
所以该等腰三角形的底边为5或3，
故5或3．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．
14．（4分）如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（写一个即可） ．（写一个即可）
【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAD＝∠CAE，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．
解：添加AB＝AC，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
添加∠B＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠B＝∠C，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
添加∠ADB＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠ADB＝∠E，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
故AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠E（写一个即可）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．若BC＝5cm，则△BCE的周长是 14 cm．
【分析】证明EA＝EB，EB+EC＝AC，即可解决问题．
解：如图，∵DE⊥AB，且平分AB，
∴EA＝EB，EB+EC＝AC；
∴△BCE的周长
＝AC+BC＝9+5＝14（cm）；
故14．
【点评】该题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．
16．（4分）在△ABC中，AC，BC，AB的长分别是6、8、10，点D是AB边的中点，则CD＝ 5 ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得CD．
解：∵在△ABC中，AC，BC，AB的长分别是6、8、10，
∴AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∵点D是斜边AB的中点，
∴，
故5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，垂足为D，若PD＝2，则PC＝ 2 ．
【分析】依据角平分线的性质，即可得到PD＝PC，进而得出PC的长．
解：∵∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，
∴PD＝PC，
又∵PD＝2，
∴PC＝2，
故2．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝5，BC＝6，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF＝ ．
【分析】先求出AB，AC，再由翻折可得∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝6，AF＝EF，从而可证∠FEC＝90°，设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝8﹣x，用勾股定理即可得答案．
解：∵∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝5，
∴AB＝10，
∵BC＝6，
∴AC＝＝8，
由翻折可知：∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝6，AF＝EF，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠DEF+∠DEC＝90°，即∠FEC＝90°，
∴EF2+CE2＝CF2，
设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝8﹣x，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴AF＝，
故．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∠FEC＝90°，从而用勾股定理解决问题．
三、解答题（本大题共有4小题，每小题8分，共32分）
19．（8分）如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADC．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，利用SAS定理判断即可．
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．
20．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数．
【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，∠C＝0.5×（180°﹣36°）＝72°，
∵BD是边AC上的高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
21．（8分）如图，已知ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，AC＝BD，且AE＝BF．求证：AE∥BF．
【分析】证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得∠A＝∠B，再由平行线的判定即可得出结论．
证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠ADE＝∠BCF＝90°，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝BD+CD，
即AD＝BC．
在Rt△ADE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
22．（8分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）用无刻度直尺画出线段AB的垂直平分线；
（3）已知Q是直线l上一个动点，则QB+QC的最小值为 5 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）寻找相应的格点E、F，连接EF即可；
（3）根据轴对称的性质可得：QC1＝QC，再根据三角形三边关系可得，当Q、B、C1三点共线时，QC+QB最小．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，直线EF即为所求作的垂直平分线；
（3）连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，如图3，
由轴对称的性质可得：QC1＝QC，
∴QC+QB＝QB+QC1，
∵两点之间线段最短，
∴此时QC1+QB最小，即QC+QB最小，且最小值为线段BC1的长，
∴QC+QB的最小值为．
【点评】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
四、解答题（本大题共有2小题，每小题8分，共16分．）
23．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝CE．
【分析】过点A作AP⊥BC于P，根据等腰三角形三线合一，即可得到答案．
证明：如图，过点A作AP⊥BC于P，
∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，AP⊥BC，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【点评】本题考查等腰三角形性质：三线合一，解题的关键是作辅助线．
24．（8分）如图，每个小方格的边长都为1．
（1）求图中格点△ABC的面积；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）△ABC的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积；
（2）利用勾股定理求得AC2，BC2，AB2，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：（1）．
（2）△ABC是直角三角形．证明如下：
由图可知AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，AB2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
五、解答题（本大题共有2小题，第25题8分，第26题10分，共18分．）
25．（8分）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为A，B，且AB＝2.5km，CA＝1.5km，BD＝1.0km．
（1）请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求图书室E到居民区A的距离．
【分析】（1）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作；
（2）设图书室E到居民区A的距为x km，利用勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）如图，点E即为所求作．
（2）设图书室E到居民区A的距为x km，即AE＝x km，EB＝（2.5﹣x）km，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠CAE＝∠DBE＝90°，
∵CE＝DE，
∴由勾股定理得，AC2+AE2＝DB2+EB2，即1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，
解得：x＝1，
∴图书室E到居民区A的距离为1km．
【点评】本题考查了作图﹣垂直平分线，勾股定理的应用，解答本题的关键首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
26．（10分）如图，一块四边形的纸板剪去△DEC，得到四边形ABCE，测得∠BAE＝∠BCE＝90°，BC＝CE，AB＝DE．
（1）能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与△DEC全等？请说明理由；
（2）求∠D的度数．
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC（SAS）即可；
（2）由全等三角形的性质得出AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，得出∠ACD＝∠BCE＝90°，证出△ACD是等腰直角三角形，即可得出答案．
解：（1）能，沿AC剪下一刀，△ABC≌△DEC；理由如下：
连接AC，如图所示：
∵∠BAE＝∠BCE＝90°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
（2）∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠D＝∠DAC＝45°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
六、解答题（本题10分）
27．（10分）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 D ．
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜10 ．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求线段BF的长．
【灵活运用】
（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE，CF，EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可△ADC≌△EDB（SAS）解答；
（2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
（4）延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，根据勾股定理解答．
解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故D；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴EB＝AC＝8，
在△ABE中，
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣BE＜2AD＜AB+BE
∴2＜AD＜10，
故2＜AD＜10；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，
∵AE＝EF，EF＝3，EC＝2AE，
∴AC＝9，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB，
∴FN＝CB＝12，BM＝AC＝9，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即BF＝9；
（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2．
证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∵△BDE≌△CDG，EF＝GF，
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2024-2025学年江苏省徐州市新沂市八年级上学期期中数学检测试卷（二）
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．
1．（2分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0.B．C．D．0
4．（2分）“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客1781.5万人次，按可比口径较2019年增长43.3%．近似数1781.5万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
5．（2分）等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为（ ）
A．3或4B．5C．3或5D．3
6．（2分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
7．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣2aD．2b
8．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长为（ ）
A．4B．5C．10D．28
9．（2分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）
A．8B．12C．14D．16
10．（2分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．56B．60C．65D．75
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2分）△ABC中，AB＝BC，且∠A＝80°，则∠B大小为 °．
13．（2分）比较大小：﹣1 3．（填“＞”“＜”或“＝”号）
14．（2分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为 ．
15．（2分）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段枝蔓的长是 cm．
16．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 个．
17．（2分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．则重叠部分△DEF的面积为 cm2．
18．（2分）动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边AC上的动点，连接DB，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，则点D在运动过程中，线段CE长度的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共64分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）解方程：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）64（x+1）3＝﹣125．
21．（6分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
22．（8分）如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（1）在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图①中作出点M；
（2）若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图②中作出点N．
24．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
25．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
26．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上．
1．（2分）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
2．（2分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
解：A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故本选项符合题意；
D．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3．（2分）下列四个数中，无理数是（ ）
A．0.B．C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A．0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，是故本选项不符合题意；
C．无理数，故本选项合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2分）“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客1781.5万人次，按可比口径较2019年增长43.3%．近似数1781.5万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
【分析】根据近似数和有效数字的方法进行解题即可．
解：近似数1781.5万精确到千位．
故选：C．
【点评】本题考查近似数和有效数字，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．（2分）等腰三角形的周长是11，其中一边长为3，则该三角形的底为（ ）
A．3或4B．5C．3或5D．3
【分析】由于已知的长为3的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
解：当腰长为3时，底长为：11﹣3×2＝5；3+3＞5，能构成三角形；
当底长为3时，腰长为：（11﹣3）÷2＝4；3+4＞4，能构成三角形．
故底边长是5或3．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
6．（2分）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CD＝AB＝3cm，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（ ）
A．0B．﹣2C．﹣2aD．2b
【分析】利用已知条件确定出a+1，b﹣1，a﹣b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a
＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
8．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为70，AB＝16，BC＝12．求DE的长为（ ）
A．4B．5C．10D．28
【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．
解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，，
所以，14DE＝70，
解得DE＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
9．（2分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（ ）
A．8B．12C．14D．16
【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解．
解：作AE⊥BC于E，DF⊥CB交CB延长线于F，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝4，
∵∠EAB+∠ABE＝∠DBF+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠DBF，
∵∠AEB＝∠BFD＝90°，AB＝DB，
∴△AEB≌△BFD（AAS），
∴DF＝BE＝4，
∴S△DCB＝CB•DF，
∴S△DCB＝×8×4＝16，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形．
10．（2分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．56B．60C．65D．75
【分析】如解答图，易得BD＝5，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．
解：如图，
由题意可知，AB＝CD＝4，BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
则中间小正方形的面积为5×5＝25，
小正方形的外阴影部分的4S△ABD＝4×＝40，
∴阴影部分的面积为25+40＝65．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卡相应位置上．
11．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
解：根据题意得，2x﹣3≥0，
解得x≥．
故x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数列不等式是解题的关键．
12．（2分）△ABC中，AB＝BC，且∠A＝80°，则∠B大小为 20 °．
【分析】先根据等边对等角得出∠C＝∠A＝80°，再利用三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠A＝80°，
∴∠C＝∠A＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣2×80°＝20°．
故20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于180°是解决问题的关键．
13．（2分）比较大小：﹣1 ＞ 3．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【分析】估算出的大小，即可判断出所求．
解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，
∴﹣1＞3，
故＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，弄清无理数大小估算方法是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，BC分别交于点E，D，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为 17 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2CE＝8，由△ABC的周长＝25，得到AB+BC＝17，即可得到△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．
解：∵DE垂直平分线AC，
∴DA＝DC，AC＝2CE，
∵CE＝4，
∴AC＝8
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝25，
∴AB+BC＝17，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝17．
故17．
【点评】本题考查线段垂直平分的性质，关键是由垂直平分的性质推出AB+BC＝17．
15．（2分）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是24cm，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高18cm时，这段枝蔓的长是 30 cm．
【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
解：由题意可得，展开图中AB＝24cm，BC＝18cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝30（cm）．
∴这段枝蔓的长是30cm．
故30．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
16．（2分）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有 4 个．
【分析】由勾股定理求出AB＝＝，分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；即可得出结果．
解：由勾股定理得：AB＝＝，
分三种情况：如图所示：
①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有2个；
③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的C点有1个；
综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1＝4（个）；
故4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键．
17．（2分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝2cm，BC＝4cm．则重叠部分△DEF的面积为 cm2．
【分析】由矩形的性质得AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，再由折叠的性质得MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，设AE＝x cm，则ME＝x cm，DE＝（4﹣x）cm，然后在Rt△MDE中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出DE的长，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2cm，BC＝4cm，
∴AD＝BC＝4cm，CD＝AB＝2cm，∠A＝90°，
由折叠的性质得：MD＝AB＝2cm，∠M＝∠A＝90°，EM＝AE，
设AE＝x cm，则ME＝x cm，DE＝（4﹣x）cm，
在Rt△MDE中，由勾股定理得：ME2+MD2＝ED2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝（cm），
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣＝（cm），
∴△DEF的面积＝DE•CD＝××2＝（cm2），
故．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．（2分）动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D是边AC上的动点，连接DB，以DB为边在DB的左下方作等边△DBE，连接CE，则点D在运动过程中，线段CE长度的最小值是 3 ．
【分析】取AB的中点Q，连接CQ，DQ．由“SAS”可证△EBC≌△DBQ，推出EC＝DQ，推出当QD⊥AC时，EC的值最小．
解：如图，取AB的中点Q，连接CQ，DQ．则BQ＝AQ＝6，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBQ＝60°，
∵BQ＝AQ＝6，
∴CQ＝BQ＝AQ＝6，
∴△BCQ是等边三角形，
∴BC＝BQ，
∵∠DBQ＝∠CBQ＝60°，
∴∠EBC＝∠DBQ，
在△EBC和△DBQ中，
，
∴△EBC≌△DBQ（SAS），
∴EC＝DQ，
∴当QD⊥AC时，EC的值最小，
在Rt△AQD中，AQ＝6，∠A＝30°，
∴DQ＝AQ＝3，
∴CE的最小值为3，
故3．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化 的思想思考问题．
三、解答题：本大题共8小题，共64分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先计算二次根式、绝对值和立方根，再计算加减；
（2）先运用乘法分配律进行运算，再合并同类二次根式．
解：（1）
＝3+﹣1﹣3
＝﹣1；
（2）
＝﹣
＝6﹣
＝5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
20．（8分）解方程：
（1）4x2﹣9＝0；
（2）64（x+1）3＝﹣125．
【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可；
解：（1）原方程整理得：x2＝，
则x＝±；
（2）原方程整理得：（x+1）3＝﹣，
则x+1＝﹣，
解得：x＝﹣．
【点评】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键．
21．（6分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝16，
3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
22．（8分）如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠BFC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BP＝FP＝BC，CP＝EP＝BC，从而利用等式性质可得PE＝PF；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝110°，再利用（1）的结论可得FP＝BP，EP＝CP，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP，从而可得∠BFP+∠CEP＝110°，进而利用三角形内角和定理可得∠FPB+∠EPC＝140°，最后利用平角定义进行计算即可解答．
（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵P是BC边的中点，
∴BP＝FP＝BC，CP＝EP＝BC，
∴PE＝PF；
（2）解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
由（1）得：
PE＝PF，EP＝CP，
∴∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP，
∴∠BFP+∠CEP＝∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠FPB+∠EPC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP）＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠FPB+∠EPC）＝40°，
∴∠EPF的度数为40°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（6分）如图，已知四边形ABCD．请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（1）在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图①中作出点M；
（2）若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图②中作出点N．
【分析】（1）作出BC的垂直平分线，交AC于点M，点M即为所求；
（2）延长BA，CD相交于点G，作∠BGC的角平分线，交AC于点N，点N即为所求．
解：（1）如图①，以点B和点C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点E和点F，连接EF，交AC于点M，点M即为所求；
（2）如图②，延长BA，CD相交于点G，作∠BGC的角平分线，交AC于点N，点N即为所求；
过点N作NH⊥AB于点H，NI⊥CD于点I，
∵CN平分∠BGC，NH⊥AB，NI⊥CD，
∴NH＝NI，
∵AB＝CD，
∴△ABN和△CDN的面积相等．
∴点N即为所求．
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，平行线之间的距离等知识点，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
24．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.5＝16.5（米），
答：风筝的高度CE为16.5米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝＝＝10（米），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），
∴他应该往回收线7米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
25．（10分）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 是 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度．
【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题；
●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2；
●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题；
解：●特例感知：
① 等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为是．
②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，
于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，
∴CD＝．
●深入探究：
如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，
∴AD2＝CB2，
即AD＝CB；
●推广应用：
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC，
∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①．
又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②．
而∠AGD＝∠CDB＝90°……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），
∴DG＝BD．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD．
又AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝EC＝a，
∴ED＝2a．
【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
26．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．
（1）求证：PC＝PD；
（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；
（3）是否存在点P，使得△PAE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由l∥BC及CD平分∠BCP，推出∠PCD＝∠PDC即可得证结论；
（2）分①BP＝BC＝4，②PC＝BC＝4，③PC＝PB＝4，三种情况讨论求出t值即可；
（3）分①∠PAE＝90°，②∠APE＝90°，③∠AEP＝90°三种情况讨论求值即可．
解：（1）∵l∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵CD平分∠BCP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴PC＝PD；
（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴AC＝＝＝3，
若△PBC是等腰三角形，存在以下三种情况：
①当BP＝BC＝4时，又分以下P和P'两种情况：
作PH⊥BC，
∵∠ACB＝90°，l∥BC，
∴四边形ACHP是矩形，
∴PH＝AC＝3，
由勾股定理BH＝＝＝，
∴CH＝4﹣，
∴AP＝CH＝4﹣，
即2t＝4﹣，
解得t＝，
作P'H'⊥CB延长线于点H'，
同理可得AP'＝4+，
即2t＝4+，
解得t＝，
②当PC＝BC＝4时，
由勾股定理AP＝＝＝，
即2t＝，
解得t＝，
③当PC＝PB＝4时，P在BC的垂直平分线上，
∴CH＝BC＝2，
∴AP＝CH＝2，
即2t＝2，
解得t＝1，
综上：t＝1或或或；
（3）∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PD＝PE，
由（1）知，PD＝PC，
∴PC＝PE，
要使△PAE是直角三角形，则存在以下三种情况：
①∠PAE＝90°，
此时点C、A、E在一条直线上，且AE＝AC＝3，
∵PE＝PD，
∴PE平分∠ECD，
又∵CD平分∠BCP，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴AP＝AC•tan30°＝3×＝，
即2t＝，
解得t＝，
②∠APE＝90°，
∵D关于射线CP的对称点是点E，
∴PC平分∠EPD，
即∠APC＝∠EPC＝45°，
∴AP＝AC，
即2t＝3，
解得t＝，
③∠AEP＝90°，
在Rt△ACP中，PC＞AP，
在Rt△AEP中，AP＞PE，
∵PC＝PE＝PD，
故此情况不存在，
综上，△PAE是直角三角形时t＝或．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．