2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上册开学考试数学检测试卷合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上册开学考试数学检测试卷合集2套（含解析），共33页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，b＝4，B＝60°（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
3．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，方差为s2，则（ ）
A．，s2＞2B．，s2＜2C．，s2＜2D．，s2＞2
4．（5分）如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），则tan（3π﹣2α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
6．（5分）已知＝，＝，＝，则（ ）
A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线
7．（5分）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．12
8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零点，x＝（x）图象的对称轴，且f（x）在，则ω的最大值为（ ）
A．11B．9C．7D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2
D．z在复平面内的对应点位于第一象限
（多选）10．（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝sin|x|
C．D．
（多选）11．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π
B．函数y＝f（x）在单调递减
C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象
（多选）12．（5分）三角形ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cs2C，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若△ABC面积为，则△ABC周长的最小值为12
C．当b＝5，c＝7时，a＝9
D．若b＝4，，则△ABC面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.vD
13．（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么n＝ ．
14．（5分）sin21°cs9°+sin69°sin9°＝ ．
15．（5分）在边长为6的正△ABC中，若点D满足＝2，则⋅＝ ．
16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M为AB边上的中点，则AB＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设向量满足•＝3，，．
（1）求向量，的夹角及；
（2）若，则实数k的值．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a
19．（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业所取得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（），将学生的成绩整理后分成五组，60），[60，[70，80），90），[90，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
​（1）请补全频率分布直方图；
（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）．
20．（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，D两地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30°．（已知声音的传播速度为340m/s）
求：（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．​
21．（12分）已知向量＝（csx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
22．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求角B的大小和边长b的值；
（2）求△ABC面积的取值范围．
答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】利用复数相等的定义求解即可．
解：因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝5+i，
由复数相等的定义可得，﹣a＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，b＝4，B＝60°（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【分析】由正弦定理可得sinA＝，再结合大边对大角即可求得．
解：因为a＝4，b＝4，
所以由正弦定理有：，
所以＝，
因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，
所以A＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
3．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，方差为s2，则（ ）
A．，s2＞2B．，s2＜2C．，s2＜2D．，s2＞2
【分析】利用平均数、方差的定义直接求解．
解：∵某8个数据的平均数为5，方差为7，
此时这9个数的平均数为，方差为s2，
∴＝＝5，＝．
故选：B．
【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
4．（5分）如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】取BC中点F，由BC＝2AD可知AD＝FC，从而可得四边形AFCD为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解
解：取BC中点F，由BC＝2AD可知AD＝FC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
则＝＝＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础基础试题．
5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），则tan（3π﹣2α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可计算得解．
解：因为sinα＝，α∈（，
所以csα＝﹣＝﹣＝﹣，
所以tan（3π﹣7α）＝﹣tan2α＝﹣＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）已知＝，＝，＝，则（ ）
A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线
【分析】利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论．
解：＝（）＝，
又＝，所以，则与，
又与有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
故选：A．
【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．
7．（5分）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：，∴a：b：c＝2：3：，
∵△ABC周长为10+2，即a+b+c＝10+3，
∴a＝4，b＝6，∴p＝，
∴△ABC的面积S＝＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零点，x＝（x）图象的对称轴，且f（x）在，则ω的最大值为（ ）
A．11B．9C．7D．5
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在上单调，可得ω的最大值．
解：∵x＝﹣为f（x）的零点为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即（n∈N）
即ω＝3n+1（n∈N）即ω为正奇数，
∵f（x）在上单调，则﹣＝≤，
即T＝≥，解得：ω≤12，
当ω＝11时，﹣+φ＝kπ，
∵|φ|≤，∴φ＝﹣，
此时f（x）在不单调；
当ω＝9时，﹣+φ＝kπ，
∵|φ|≤，∴φ＝，
此时f（x）在单调；
故ω的最大值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2
D．z在复平面内的对应点位于第一象限
【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数模公式，共轭复数的定义，实部和虚部的定义，复数的几何意义，即可求解．
解：＝＝，
对于A，，故A错误，
对于B，z的共轭复数为，
对于C，z的实部与虚部之和为，
对于D，z在复平面内的对应点（，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查复数模公式，共轭复数的定义，实部和虚部的定义，复数的几何意义，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（ ）
A．y＝sin2xB．y＝sin|x|
C．D．
【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性判断结果．
解：对于A，函数y＝sin2x既是奇函数，故A正确；
对于B：函数y＝sin|x|不是周期函数，故B错误；
对于C：既是奇函数，故C正确；
对于D：函数为偶函数．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和周期性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π
B．函数y＝f（x）在单调递减
C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象
【分析】先根据图象求出y＝f（x）的解析式，再分别验证A、B、C、D是否正确，根据图象得到的周期进行判定 A；求得的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B；计算，看是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断 D．
解：由图象可知：A＝2，周期，
∴；
由，解得：，
故函数．
对于A：T＝π，故A错误；
对于B：当时，因为[﹣π，不单调上不单调；
对于C：当时，即直线，故C正确；
对于D：y＝f（x）的图像向右平移个单位得到，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）12．（5分）三角形ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cs2C，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若△ABC面积为，则△ABC周长的最小值为12
C．当b＝5，c＝7时，a＝9
D．若b＝4，，则△ABC面积为
【分析】由正弦定理可得b2+a2﹣c2＝ab，再由余弦定理可得csC，可求C可判断A；由面积可得ab，进而由余弦定理可得c＝，进而可得周长的最小值可判断B；由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，可求a判断C；由正弦定理可求c，进而可求面积判断D．
解：对于A：∵1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cs3C，∴1﹣sin2A+5sinAsinB﹣sin2B＝sinAsinB+1﹣sin7C，
sin2A+sin2B﹣sin6C＝sinAsinB，由正弦定理可得b2+a2﹣c7＝ab，
由余弦定理得csC＝＝，
∵0＜C＜π，∴C＝；
对于B：absinC＝，∴ab＝16，
由余弦定理可得c2＝a6+b2﹣2abcsC＝a8+b2﹣ab，∴c＝＝，
a+b+c＝a+b+≥6+＝12，等号成立，
故△ABC周长的最小值为12，故B正确．
对于C：由余弦定理可得c4＝a2+b2﹣6abcsC，
∴49＝a2+25﹣5a，a6﹣5a﹣24＝0，解得a＝6或a＝﹣3（舍去）；
对于D：由正弦定理得＝，∴c＝＝，∴△ABC面积S＝×3×2
＝4×＝5+2；
故选：ABD．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.vD
13．（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么n＝ 192 ．
【分析】先求三层的比例，然后求得女学生中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．
解：由题意，因为200：1200：1000＝1：6：4，
所以女学生中抽取总人数的，
故N＝80÷＝192．
故192．
【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．
14．（5分）sin21°cs9°+sin69°sin9°＝ ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及正弦的两角和公式，即可求解．
解：sin21°cs9°+sin69°sin9°＝sin21°cs2°+cs21sin9°＝．
故．
【点评】本题主要考查正弦的两角和公式，属于基础题．
15．（5分）在边长为6的正△ABC中，若点D满足＝2，则⋅＝ 6 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解．
解：＝2，
则⋅＝＝＝．
故8．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，属于基础题．
16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M为AB边上的中点，则AB＝ ．
【分析】根据cs∠AMC＝﹣cs∠BMC，结合余弦定理，列方程组可求得AB．
解：在△AMC中，；
在△BCM中，；
∵∠AMC+∠BMC＝π，∴cs∠AMC＝﹣cs∠BMC，
∴，
整理，可得AC2+BC5＝2（CM2+AM3），即4+BC2＝4（7+AM2），
∴，∴6BC2﹣20＝AB2，
在△ABC中，AB2＝AC2+BC2﹣7AC⋅BCcsC＝4+BC2﹣5BC＝AB2，
∴4+BC5﹣2BC＝2BC5﹣20，解得BC＝﹣6（舍）或BC＝4，
∴．
故．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设向量满足•＝3，，．
（1）求向量，的夹角及；
（2）若，则实数k的值．
【分析】（1）由夹角公式及模长计算公式计算即可；
（2）由向量垂直的性质，利用数量积为0建立方程，求得k值．
解：（1）由＝（）|＝2，又，||＝3，
则cs＜＞＝＝＝，
又＜＞∈[0，所以＜，
||＝＝＝；
（2）由，可得（﹣）＝2，
即k+（2k﹣5）＝0，
由（1）可得：3k+6k﹣3﹣2＝0，解得k＝．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算和性质，考查向量垂直的性质，属基础题．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得csB＝，进而可求B的值；
（Ⅱ）由已知利用三角形内角和定理可求A的值，进而利用正弦定理即可求解a，c的值．
解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理可得csB（sinAcsC+sinCcsA）＝sinB，
所以csBsin（A+C）＝，
因为B为三角形内角，sinB≠0，
所以csB＝，
所以B＝45°；
（Ⅱ）因为B＝45°，C＝60°，
所以A＝180°﹣B﹣C＝75°，
由正弦定理，可得＝＝＝，
所以a＝2sin75°＝7（×+×）＝，
c＝7sin60°＝2＝．
【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业所取得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（），将学生的成绩整理后分成五组，60），[60，[70，80），90），[90，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
​（1）请补全频率分布直方图；
（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）．
【分析】（1）由频率和为1，求出成绩落在[60，70）的频率；
（2）由频率分布直方图计算样本的众数、平均数和百分位数．
解：（1）成绩落在[60，70）的频率为1﹣（0.030+5.015+0.010+0.005）×10＝2.40，
补全的频率分布直方图，如图所示：
（2）估计这1000名学生成绩的众数是×（60+70）＝65，
平均数是＝55×3.30+65×0.40+75×0.15+85×5.10+95×0.05＝67（分），
设80%分位数为x，则0.03×10+8.04×10+（x﹣70）×0.015＝0.3，
解得x＝≈67.67（分）．
【点评】本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，D两地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30°．（已知声音的传播速度为340m/s）
求：（1）B，C两地间的距离；
（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．​
【分析】（1）设BC＝x，利用在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，表示出BD，再由余弦定理，即可得解；
（2）在△ABC中，由正切函数的定义，即可得解．
解：（1）设BC＝x，
∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，
∴BD＝x﹣×340＝x﹣40，
在△BCD中，由余弦定理8＝BC2+CD2﹣4BC•CD•cs∠BCD，
∴（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420，
故B，C两地间的距离为420米．
（2）在△ABC中，BC＝420，
∴AB＝BC•tan∠ACB＝420×＝140米．
故该仪器的垂直弹射高度AB为140米．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．（12分）已知向量＝（csx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx＝﹣，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
解：（1）∵＝（csx，＝（3，﹣），∥，
∴﹣csx＝3sinx，
当csx＝0时，sinx＝4，
当csx≠0时，tanx＝﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x＝，
（2）f（x）＝＝3csx﹣（csx﹣cs（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣6≤cs（x+）≤，
当x＝0时，f（x）有最大值，
当x＝时，f（x）有最小值．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题
22．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求角B的大小和边长b的值；
（2）求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin（B+）＝1，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求S△ABC＝sin（2A﹣）+，由题意可求范围＜2A﹣＜，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
解：（1）∵csB+sinB＝2，
∴csB+，
∴sin（B+）＝1，
∴B+＝+2kπ，
∵B为锐角，
∴B＝，
∵，
由正余弦定理可得+＝，
整理可得＝，
解得b＝．
（2）∵＝＝＝＝3，
∴a＝sinA，c＝sinC＝sin（A+B）＝sin（csA+，
∴S△ABC＝acsinB＝csA+＝（sinAcsA+2A），
＝（sin4A﹣），
＝sin（2A﹣，
∵0＜A＜，7＜C＜﹣A，
∴＜A＜，
∴＜2A﹣＜，
∴＜sin（2A﹣，
∴S△ABC∈（，]
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上学期开学考试数学检测试卷
（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知复数z=1−2i，则z−在复平面上对应的点的坐标为( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)
2.已知向量a=(3,−2),b=(m,9)，若a⊥b，则实数m=( )
A. −8B. 8C. −6D. 6
3.某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为( )
A. 0.16B. 0.22C. 0.12D. 0.1
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=π3,b=3,a= 6，则A=( )
A. π6B. π4C. 5π12D. π2
5.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥βB. 若l/​/α，α⊥β⇒l⊂β
C. α⊥γ，β//γ⇒α⊥βD. 若l/​/α，α⊥β⇒l⊥β
6.在△ABC中，csA=12，AB=2，AC=3，D是线段上BC靠近C的一个三等分点，则AD⋅BD=( )
A. 229B. −229C. 169D. −89
7.定义：我们把每个数字都比其左边数字大的正整数叫做“渐升数”，比如258，123等.在二位“渐升数”中任取一数，则该数比48小的概率为( )
A. 14B. 13C. 35D. 23
8.某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为60°的位置有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各对向量中，共线的是( )
A. a=(2,3),b=(4,−6)B. a=(2,−3),b=(12,−34)
C. a=(1, 2),b=( 2,2)D. a=( 2,−1),b=(1, 2)
10.设z1，z2，z3为复数，z1≠0，则下列命题正确的是( )
A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3
B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3
C. 若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
D. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
11.一组数据按从小到大排列为2、3、3、x、10、13，若这组数据的平均数是中位数的32倍，则下列说法正确的是( )
A. x=5B. 众数为3C. 30%分位数为5D. 方差为503
12.已知一圆锥的母线长为2，底面半径为r，其侧面展开图是圆心角为 3π的扇形，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则( )
A. r= 3
B. 从A点经过圆锥的表面到达B点的最短距离为2 3
C. 该圆锥的体积为π
D. 过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量a=(1, 3),b=(−2,2 3)，则向量a在向量b上的投影向量为______ ．
14.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为45，乙同学一次投篮命中的概率为13，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，恰有一人命中的概率是______ ．
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，△ABC的面积为 5，c=3，则b= ______ ．
16.已知在三棱锥D−ABC中，AD⊥平面ABC，且BC=AD=2，∠BAC=π4，则三棱锥D−ABC的外接球的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知向量a=(1,3),b=(2,−1)．
(1)若向量a+2b与ka+b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c满足(a+b)//c且|c|= 26，求向量c的坐标．
18.(本小题12.0分)
某工厂在加大生产量的同时，狠抓质量管理，不定时抽查产品质量.该企业质检人员从所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100].得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和60%分位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，60%分位数精确到0.01)．
19.(本小题12.0分)
从条件①sinC= 63(0