中考数学一轮复习备考知识清单23 与圆有关的位置关系及计算

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单23 与圆有关的位置关系及计算，共12页。学案主要包含了切线的性质与判定，三角形的外接圆与内切圆，与圆有关的计算等内容，欢迎下载使用。
一、点、直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系分三种（设的半径为，点到圆心的距离）:
【注意】符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
【拓展】圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合；圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合.
【重点】
（1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距离和半径的大小关系.
（2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系，反过来，由点与圆的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与半径的关系.
直线和圆的位置关系
【注意】相切的定义中“只有一个”是“有且只有一个”的意思.
【重点】
（1）判断直线和圆的位置关系有两种方法：①将圆心到直线的距离与圆的半径相比较；②根据直线与圆的交点的个数判定.
（2）直线与圆相切是一种特殊的位置关系，此时直线与圆只有一个交点.一个圆有无数条切线，每一条切线与圆都只有一个切点.
二、切线的性质与判定
切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，是的半径，若于点，则是的切线.
【注意】应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如图，若切于点，则.
3.切线的判定方法
（1）定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【拓展】切线的性质定理的推论：
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
【重点】根据切线的定义，可以知道切线具备的性质还有：①切线和圆只有一个公共点；②切点到圆心的距离等于半径.
切线长及切线长定理
1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【注意】切线是一条直线，无法度量，切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图所示，过点作的两条切线，则，
【注意】经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.
【重点】
（1）上图是切线长定理的一个基本图形，还可以得到很多结论，如,等.
（2）利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等.
三、三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆
1.三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
【注意】一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆.
2.三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部，如图（1）所示；直角三角形的外心是斜边的中点，如图（2）所示；钝角三角形的外心在三角形的外部，如图（3）所示.
3.三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
【重点】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆可知，任意三角形都有外接圆.
三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【注意】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
3.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
【拓展】三角形内切圆的作法：作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.
四、与圆有关的计算
弧长公式
在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即.于是的圆心角所对的弧长为.
【注意】
（1）题目中若没有写明精确度，可用含的代数式表示弧长，如弧长为等.
（2）公式中的和180表示倍数关系，没有单位.
【辨析】不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
扇形及扇形的面积公式
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，劣弧与半径围成的图形记作扇形；优弧与半径围成的图形记作扇形.
2.扇形的面积公式
（1），其中扇形的圆心角为，半径为.
推导过程：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是.于是圆心角为的扇形面积是.
（2），其中扇形所对的弧长为，半径为.
推导过程：，其中为扇形的弧长，为半径.
【注意】扇形面积公式中的“”和弧长公式中的“”一样，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
【拓展】
（1）弓形：
①弓形的定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
②弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：
如图（1），弓形的面积小于圆面积的一半，此时；
如图（2），弓形的面积大于圆面积的一半，此时；
如图（3），弓形的面积等于圆面积的一半，此时.
（2）扇形的周长公式：，其中为弧长，为半径.
圆锥的侧面积和全面积
1.与圆锥有关的概念
（1）圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体（如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形.
（2）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
（3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.
2.圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面的圆心并垂直于底面；
（2）圆锥的母线有无数条，它们的长都相等；
（3）圆锥的母线、圆锥的高、圆锥底面圆的半径恰好构成一个直角三角形（如上图所示），满足，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
3.圆锥的侧面积和全面积
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积，圆锥的全面积.
【注意】圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，要与底面半径区别开来.
正多边形及其有关概念
1.正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
【注意】正多边形必须同时满足两个条件：①各边相等；②各角相等，二者缺一不可.如菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以不能说它们一定是正多边形.
2.圆内接正多边形：把圆分成等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正边形，这个圆就是这个正边形的外接圆.
3.与正多边形有关的概念
4.正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心.为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
【拓展】圆的外切正边形：把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径，而不是内切圆的半径.
【重点】任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆；任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
方法点拨
考向一 与圆有关的位置关系
1.解三角形外接圆的问题
任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等.三角形外接圆的相关问题，多为与圆有关的概念和性质的综合题，通常利用垂径定理、圆周角定理等知识解决.
【注意】锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部.
2.切线性质的应用问题
圆的切线垂直于过切点的半径.当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心.根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明.
【方法总结】
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径，如果已知中有圆的切线时，一般根据切线的性质得到直角；（2）根据相似三角形的性质列出比例式可以求出线段的长度.
3.解切线的判定问题
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点已知，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”.
4.解切线长定理的应用问题
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解.
5.三角形的内切圆问题
任何一个三角形都有一个内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，实质上，三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.解三角形的内切圆问题，通常分别连接内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解.对于直角三角形的内切圆有两个重要结论：①如果三角形的三边长分别为，内切圆半径为，则三角形的面积；②如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则此直角三角形内切圆的半径.
考向二 圆的有关计算
1.解正多边形与圆的计算问题
与正边形有关的计算公式（正边形的半径为，边长为，边心距为）：
正边形的外接圆半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正边形各元素间的关系，故可以把正边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.
由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多边形的中心角和内角互补.
【点拨】正多边形的有关结论
（1）正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；正方形的边长等于其外接圆半径的倍.
（2）若已知正边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出其他各项.
2.解弧长公式的应用问题
（1）在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径和弧所对的圆心角的度数；（2）在弧长公式中，已知中的任意两个量，都可以求出第三个量.
3.解扇形面积公式的应用问题
（1），其中扇形的圆心角为，半径为.
推导过程：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是.于是圆心角为的扇形面积是.
（2），其中扇形所对的弧长为，半径为.
推导过程：，其中为扇形的弧长，为半径.
【注意】扇形面积公式中的“”和弧长公式中的“”一样，表示“”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
【拓展】
（1）弓形：
①弓形的定义：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
②弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：
如图（1），弓形的面积小于圆面积的一半，此时；
如图（2），弓形的面积大于圆面积的一半，此时；
如图（3），弓形的面积等于圆面积的一半，此时.
（2）扇形的周长公式：，其中为弧长，为半径.
4.不规则图形面积的求解方法
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
【技巧点拨】
计算不规则图形的面积时，若整体图形为规则图形，可以利用整体图形的面积减多余部分的面积来计算，必要时可通过图形的叠加再减去重叠部分的面积求解.
5.解圆锥的侧面展开图问题
在解决有关原罪及其侧面展开图的计算题时，常借助“圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即”来建立圆锥底面圆的半径、圆锥母线和侧面展开图扇形圆心角之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式（其中为底面圆半径，为母线长）来解决问题.
【总结】
圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
点和圆的位置关系
特点
性质及判定
图示
点在圆外
点到圆心的距离大于半径
点在圆外.
点在圆上
点到圆心的距离等于半径
点在圆上.
点在圆内
点到圆心的距离小于半径
点在圆内.
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交.
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切.
直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
图示
公共点个数
2
1
0
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称
交点
切点
直线名称
割线
切线
总结
直线与
相交.
直线与
相切.
直线与
相离.
名称
定义
图形
中心
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
半径
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心角
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
边心距
正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
名称
公式
图示
内角
正边形的每个内角为.
中心角
正边形的每个中心角为.
外角
正边形的每个外角为.
半径、边长、边心距的关系
.
周长
正边形的周长.
面积
正边形的面积.