齐鲁名校大联考2025届山东省高三第六次学业水平联合检测数学试卷（含答案）

这是一份齐鲁名校大联考2025届山东省高三第六次学业水平联合检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知2+i1−i=a+bi(a,b∈R)，则ab=( )
A. 3B. −3C. 34D. −34
2.已知集合A={x|x+1x3≥0}，B={x|x≤a}，若(∁RA)∩B=∁RA，则a的取值范围是( )
A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (−∞,−1)D. (−∞,−1]
3.已知△ABC的面积为4，在平面ABC内，将△ABC绕A点旋转180∘得到对应的△AB1C1，则△AB1C的面积为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x−3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线，圆C覆盖圆C1，C2，则圆C面积的最小值为( )
A. 9πB. 12πC. 16πD. 18π
5.已知sin(α+π3)=13，则cs (2α−π3)sin (α−2π3)=( )
A. −79B. 37C. −73D. 73
6.已知直线l:y=12x与双曲线C:x24−y2b2=1(b>0)相交于A，B两点，若|AB|= 30，则C的离心率为( )
A. 52B. 62C. 72D. 32
7.若方程x2− 2x+ 2−1=0的非整数根是函数f(x)=ax3−bx+a+1(a,b∈N∗)的一个零点，则f(x)图象的对称中心为( )
A. (0,1)B. (0,2)C. (2,0)D. (2,1)
8.若定义在D上的函数f(x)，∀x1，x2，x3∈D，f(x1)，f(x2)，f(x3)可以作为一个三角形的三条边长，则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xlnx+t是定义在区间[1e2,e2]上的“三角形函数”，则t的取值范围是( )
A. (2e2+2e,+∞)B. (2e2+1e,+∞)C. (2e+1e,+∞)D. (e+1e,+∞)
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是2024年11月27日国家统计局发布的2023年1−10月到2024年1−10月的各月累计营业收入与利润总额同比增速的折线图，则( )
A. 累计营业收入同比增速的方差大于累计利润总额同比增速的方差
B. 累计利润总额同比增速的极差为18
C. 累计营业收入同比增速的众数为2.9
D. 累计利润总额同比增速的40%分位数为−2.3
10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，P是侧面BCC1B1内的动点，下列说法正确的是( )
A. 平面APC1⊥平面A1BD
B. 若四面体A1−BDC1的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为48π
C. 当点P在线段BC1上运动时，异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是[π3,π2]
D. 当直线PE与直线CD所成的角是π3时，点P的轨迹长度为 3π2
11.已知互不相等的正实数ai∈{1,2,3,4}(i=1，2，3，4)，ai1，ai2，ai3，ai4是a1，a2，a3，a4的任意顺序的一个排列，定义随机变量X，Y满足X=max{min{ai1,ai2},min{ai3,ai4}},Y=min{max{ai1,ai2},max{ai3,ai4}},则( )
A. P(X>Y)=13B. P(X>Y)=14
C. P(X0,00)的离心率为 32，M上的点与其中一个焦点的距离的最小值为2− 3．
(1)求M的方程;
(2)设直线l:y=kx+2与M相交于不同的两点C，D．
(ⅰ)点C关于原点的对称点为C′，直线DC′的斜率为k′，证明：kk′为定值;
(ⅱ)当|CD|=2413时，求k的值．
19.“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数y=f(x)满足如下条件： ①在区间[a,b]上的图象是连续的; ②在区间(a,b)上可导，则在区间(a,b)上至少存在一个实数ξ，使得f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)成立.已知函数f(x)=ex−x2+mx．
(1)∀a，b∈(0,+∞)，且a0)，使f(a)+f(b)2>f(a+b2)?若存在，写出证明过程;若不存在，说明理由;
(3)当m34，且x1+x2=−16k1+4k2、x1x2=121+4k2．
因为点C关于原点的对称点为C′，所以C′−x1,−y1．
因为k=y2−y1x2−x1、k′=y2+y1x2+x1，所以kk′=y2−y1x2−x1·y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12．
因为点C、D是椭圆M上的点，所以y22=1−x224、y12=1−x124，
因此kk′=1−x224−1−x124x22−x12=−14，所以kk′为定值−14．
(ⅱ)由(ⅰ)知：x1+x2=−16k1+4k2、x1x2=121+4k2，
因此|CD|= 1+k2· x1+x22−4x1x2= 1+k2· −16k1+4k22−481+4k2= 1+k2·4 4k2−31+4k22．
因为|CD|=2413，所以 1+k2·4 4k2−31+4k22=2413，即(1+k2)(4k2−3)(1+4k2)2=36169，
化简得100k4−119k2−543=0，解得k2=3或kz=−181100(舍去)，
因此k=± 3，符合k2>34，所以k的值为± 3．
19.解：(1)根据“拉格朗日中值定理”在区间(a,b)上可导，
则在区间(a,b)上至少存在一个实数ξ，使得f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)成立，
∀a，b∈(0,+∞)，且a1，
由f(x)=ex−x2+mx，得f′(x)=ex−2x+m，
所又ex−2x+m>1在(0,+∞)恒成立，
令g(x)=ex−2x+m−1，则g′(x)=ex−2，
从而由g′(x)>0，得x>ln2，由g′(x)ln2，
所以g(x)=ex−2x+m−1在(−∞,ln2)上递减，在(ln2,+∞)递增，
所以g(x)=ex−2x+m−1有最小值g(ln2)=1−2ln2+m，
据题意1−2ln2+m>0，
所以m>2ln2−1；
(2)m=−32时，f(x)=ex−x2−32x，则f′(x)=ex−2x−32，
令ℎ(x)=f′(x)=ex−2x−32，定义域为(0,+∞)，
则ℎ′(x)=ex−2，当x∈(0,ln2)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增．
从而当ln2⩽a