2024年吉林省长春市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年吉林省长春市中考数学试卷【含解析】，文件包含2026年高考英语题型专练全国通用题型29读后续写话题之人性品德类原卷版docx、2026年高考英语题型专练全国通用题型29读后续写话题之人性品德类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。
1．（3分）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）
2．（3分）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
A．主视图B．俯视图C．左视图D．右视图
3．（3分）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54°B．60°C．70°D．72°
4．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a•3a＝6aB．a2•a3＝a6
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
5．（3分）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bcD．若a＞b，c＞0，则
6．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米B．千米C．acsθ千米D．千米
7．（3分）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠BB．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CMD．OMAB
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，2）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（3分）单项式﹣2a2b的次数是 ．
10．（3分）计算： ．
11．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 ．
12．（3分）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是 .（写出一个即可）
13．（3分）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 cm．（结果保留π）
14．（3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG；
④当2，AB＝6时，△DFG的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（6分）先化简，再求值：，其中x．
16．（6分）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
17．（6分）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
18．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
19．（7分）某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．高中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a、b，则a b；（填“＞”“＜”或“＝”）
②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
20．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
21．（8分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
22．（9分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．
（1）当点D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当BD＝4时，点D到直线AC的距离为 ；
（3）连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .（写出一个即可）
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
2024年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）
A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）
【答案】D
【解答】根据有理数加法法则第2条：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
2+（﹣3）
＝﹣（3﹣2）
故答案为D．
2．（3分）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）
A．主视图B．俯视图C．左视图D．右视图
【答案】B
【解答】解：南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的俯视图．
故选：B．
3．（3分）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ ）
A．54°B．60°C．70°D．72°
【答案】D
【解答】解：∠α＝180°72°，
故选：D．
4．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．2a•3a＝6aB．a2•a3＝a6
C．（ab）2＝a2b2D．（a3）2＝a5
【答案】C
【解答】解：A．2a•3a＝6a2，故本选项不符合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
C．（ab）2＝a2b2，故本选项符合题意；
D．（a3）2＝a6，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a＞b，b＞c，则a＞c
C．若a＞b，c＞0，则ac＞bcD．若a＞b，c＞0，则
【答案】A
【解答】解：由题意得，a＞b，
∴a+c＞b+c，
∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c．
故选：A．
6．（3分）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米B．千米C．acsθ千米D．千米
【答案】A
【解答】解：在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ，
∴sinθ，
∴AL＝AR•sinθ＝asinθ（千米）．
答：火箭距海平面的高度AL为asinθ千米，
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠BB．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CMD．OMAB
【答案】D
【解答】解：由作图过程可知，∠AOM＝∠B，
故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOM＝∠B，
∴OM∥BC，
∴∠OMC+∠C＝180°，
故B选项正确，不符合题意；
∵O是边AB的中点，OM∥BC，
∴点M为AC的中点，
∴AM＝CM，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出OMAB，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，2）
【答案】B
【解答】解：由题意，∵点A（4，2）在函数y上，
∴k＝4×2＝8．
∴反比例函数为y．
设直线OA为y＝kx，
∴4k＝2．
∴k．
∴直线OA为yx．
又设向上平移m个单位到直线BC，
∴B（0，m），直线BC为yx+m．
再设（a，）（a＞0），
∴a+m．
∴ma．
作CH⊥y轴于H，
∴CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2．
∴a2+a2＝5．
∴a＝2．
∴4﹣m＝1．
∴m＝3．
∴B（0，3）．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（3分）单项式﹣2a2b的次数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：单项式﹣2a2b的次数是：3．
故答案为：3．
10．（3分）计算： ．
【答案】．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：．
11．（3分）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 c ．
【答案】c．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，
∴Δ＝1﹣4c＜0．
∴c．
故答案为：c．
12．（3分）已知直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），且y随x的增大而减小，则b的值可以是 2（答案不唯一） .（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）．
【解答】解：∵直线y＝kx+b（k、b是常数）经过点（1，1），
∴1＝k+b．
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
当k＝﹣1时，1＝﹣1+b，
解得：b＝2，
∴b的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
13．（3分）一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12cm．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 8π cm．（结果保留π）
【答案】8π．
【解答】解：有题可知点A经过的轨迹是以B为圆心的弧AA'．
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°
∴∠CBC'＝120°，
∴∠ABA'＝120°，
弧AA'得长度为：8π．
故答案为：8π．
14．（3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠DAC；
②AF＝FG；
③当DG＝2，GB＝3时，FG；
④当2，AB＝6时，△DFG的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：①∵点D是的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠DAC，
故结论①正确；
②∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AF＝FD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°，
又∵∠ADE＝∠DAC，
∴∠BDE＝∠AGD，
∴FD＝FG，
∴AF＝FG，
故结论②正确；
③∵DG＝2，GB＝3，
∴BD＝DG+GB＝5，
在Rt△ADG中，tan∠DAC，
在Rt△ABD中，tan∠ABD，
∵∠ABD＝∠DAC，
∴，
∴AD2＝10，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG，
∴AF＝FGAG，
故结论③正确；
④∵点D是的中点，2，
∴，
即点D，C为半圆弧上的三等分点，
∴∠ABD＝∠DAC＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×sin30°＝3，
在Rt△ADG中，tan∠DAC，
∴DG＝AD•tan∠DAC＝3×tan30°＝√3，
∴S△ADGAD•DG3，
∵AF＝FG，
∴S△DFGS△ADG，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（6分）先化简，再求值：，其中x．
【答案】2．
【解答】解：原式

＝x2；
当x时，
原式2．
16．（6分）2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．
【答案】．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有：（A，A），（B，B），（C，C），共3种，
∴这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为．
17．（6分）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
【答案】合伙人数为33人，金价为9800钱．
【解答】解：设合伙人数为x人，
由题意得，400x﹣3400＝300x﹣100，
解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝9800（钱），
答：合伙人数为33人，金价为9800钱．
18．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解答．
【解答】解：由题可知，
∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴DA＝CB，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
19．（7分）某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：（数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）
b．高中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：
8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 8.3 ；
（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a、b，则a ＞ b；（填“＞”“＜”或“＝”）
②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．
【答案】（1）8.3；
（2）①＞；
②360人．
【解答】解：（1）由题意得，m8.3，
故答案为：8.3；
（2）①∵初中部的中位数为8.5，
∴a≥10，
由题意得，b＝4+5＝9，
∴a＞b，
故答案为：＞；
②800360（人），
答：高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数约为360人．
20．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．
（2）如图②，四边形ABCD即为所求．
（3）如图③，四边形ABCD即为所求．
21．（8分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）
【答案】（1）；
（2）y＝90x+2（x）；
（3）没有超速．
【解答】解：（1）由题意得，100a＝20，
解得a，
故答案为：；
（2）设当x时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则：
，
解得，
∴y＝90x+2（x）；
（3）当x时，y＝902＝9.5，
∴先匀速行驶小时的速度为：114（千米/时），
∵114＜120，
∴辆汽车减速前没有超速．
22．（9分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 30 度，线段MN长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）30，；（3）．
【解答】（1）证明：∵CP∥MN，MP∥NC，
∴四边形CPMN是平行四边形，
∴MP＝NC，
又∵AM＝CN，
∴AM＝MP．
（2）解：∵AM＝MP，
∴∠CAP＝∠MPA，
∵∠PMC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAP＝∠MPA＝30°．
∵四边形CPMN是平行四边形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AP最小时，MN也有最小值，
此时PCAC．
∴MN最小值是．
故答案为：30，．
（3）解：如图过M、D作ED、MN的平行线，则四边形MNDP是平行四边形，
∴MN＝DP，∠PMC＝∠ACB＝30°，
∴∠PAM＝∠APM＝15°，
当DP⊥AP时，DP最小，
∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，
在△ACD中，ADAC＝2，
∴DP＝AD•sin45°．
故答案为：．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点D是边BC上的一点（点D不与点B、C重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN，使点M和点C在直线AD同侧．
（1）当点D是边BC的中点时，求AD的长；
（2）当BD＝4时，点D到直线AC的距离为 ；
（3）连结PN，当PN⊥AC时，求正方形APMN的边长；
（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍，则CD的长为 或 .（写出一个即可）
【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）或．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵BC＝6，
∴BDBC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD4．
（2）如图①，过D作DE⊥AC于点E，作AF⊥BC于点F，
∵BC＝6，BD＝4，
∴CD＝2，
由（1）知AF＝4，
∵S△ACDAC•DECD•AF，
即5DE＝8，
∴DE，
∴点D到AC的距离是．
故答案为：．
（3）当PN⊥AC时，如图②，
∵∠DAC＝45°，设AP＝x，则CD＝6﹣x．
∴，，
∴，
解得：，
即正方形边长为．
（4）①M、N在AC同侧时如图③，
∵点N到直线AC的距离是点M到AC距离的3倍，
∴，
设CD＝x，，，
∴，
∴，
解得：．
②M、N在AC两侧时如图④，
∵点N到直线AC的距离是点M到AC距离的3倍，
∴，
设CD＝x，，，
∴，，
解得：x．
综上，CD的值为：或．
故答案为：或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝x2+2x+c（c是常数）经过点（﹣2，﹣2）．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、﹣m，点C的横坐标为﹣5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣2；（2）证明过程见解析；（3）①9，②m≤﹣3或﹣1≤m＜0或0＜m≤4．
【解答】（1）解：将点（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：4﹣4+c＝﹣2，
∴c＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣2．
（2）证明：A（m，m2+2m﹣2），B（﹣m，m2﹣2m﹣2），C（﹣5m，m2+2m﹣2），
①当m＜0时，如图1，作BH⊥AC于点H，
tan∠CAB2；
②当m＞0时，如图2，作BH⊥AC于点H，
tan∠CAB2；
综上，当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2．
（3）解：①∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴对称轴x＝﹣1，
由题可得A（m，m2+2m﹣2），B（﹣m，m2﹣2m﹣2），C（﹣5m，m2+2m﹣2），
∵四边形ADCE是菱形，且DE与对称轴重合，交AC于点M，
∴xD2m，
∴﹣2m＝﹣1，
∴m，
∴AM，AC＝3，
∵tan∠CAB＝2，
∴DM＝3，DE＝6，
∴S菱形ADCE3×6＝9．
②（Ⅰ）如图3，当m＜0，且AE过顶点（﹣1，﹣3）时，
∴2，即yA+3＝﹣2xA﹣2，
∴m2+2m﹣2+3＝﹣2m﹣2，
整理得m2+4m+3＝0，
∴m＝﹣1或m＝﹣3，
∴m≤﹣3或﹣1≤m＜0；
（Ⅱ）如图4，当m＞0，且CD过顶点（﹣1，﹣3）时，
∴，即yC+3＝﹣2xC﹣2，
∴m2+2m﹣2+3＝10m﹣2，
整理得m2﹣8m+3＝0，
∴m＝4或m＝4，
∴0＜m≤4；
综上，m≤﹣3或﹣1≤m＜0或0＜m≤4．
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